平面幾何在解析幾何中的應用

1、平面幾何在解析幾何中的應用南昌大學附中 陳一君，、活用幾何關系速解圓類問題在解析幾何中，作為二次曲線的圓是研究直線的延續(xù)和學習圓錐曲線的基礎圓既是軸對稱圖，又是中心對稱圖形， 其中蘊藏著諸多位置關系和數(shù)量關系，對于解析幾何中圓的某些問題，若能活用題中幾何要素的關系，解題就會變得簡單而快捷，圓涉及的知識點主要有： 圓中切割線定理、圓冪定理、垂徑定理活用圓的幾何性質可以快速解決圓類問題，降低運算量，培養(yǎng)學生認真分析圖形的幾何性質，養(yǎng)成綜合應用知識的習慣，提高解題技巧與能力解題時，若能把握形的幾何特征，注意挖掘隱蔽條件， 靈活利用平面幾何知識， 對于拓廣解題思路， 減少運算量，將會起到非 常重要的作

2、用，今天我們帶領大家學習如何活用幾何關系速解圓類問題【例題】已知直線l: y x b和圓C : x2 y2 2y 0相交于不同兩點 A, B,點p在直線l上，且滿足 PA PB2，當b變化時，求p的軌跡.【常規(guī)解法】設點P（m, n）,則l : y x b的參數(shù)方程為2 （t為參數(shù)）2(1)將（1）代入x2 y2 2y 0，得m2 石mt1 2 2 t nT2nt】t22nV2t0,22t2 (運m近n72) t2 m2 n2n0, (2)顯然0.設方程（2）的兩根為t1,t2，由PAPB2 ,依題意點p在AB或BA的延長線上, PAPBPA PB 2，即 t1 t22m2 n2 2n 2.即

3、x2 y2 2y 2為p的軌跡方程，表示以 0,-1為圓心，3一為半徑的圓.【點評】由PA PB 2聯(lián)想到直線的參數(shù)方程中t的幾何意義雖然也很自然， 但相還有運算量相比較還是比對與參數(shù)方程在教材中的地位來說對更多高三學生來說亦屬不易,較大的，時間成本的控制不如方法需要說明的是如果不用直線的參數(shù)方程的方法，純代數(shù)解幾的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定時間內完成16【利用圓的幾何性質解法】圓C:x2 y2 2y 0的圓心C(0,1),r1 由切割線定理,如圖1所示，有PT 2 PA PB 2 1，故點p在圓C夕卜， PC 二 J|pt|2+|ct|2 =73點p的軌跡方程為x2 (y 1)

4、23 .【點評】顯然直線AB是圓的割線，運用平面幾何知識中的切割線定理求軌跡就簡單明 了，結果是體現(xiàn)在運算量得到極大地減少，時間成本得到控制.通過本節(jié)微專題學習， 發(fā)現(xiàn)求解圓的問題時， 若能充分揭示問題中的幾何關系，靈活運用平面幾何知識，解題則會事半功倍切割線定理、圓幕定理、垂徑定理是圓的對稱性的反映，它們在圓中的應用程度非常之廣泛【針對訓練】(2013年福建高考文科試題)如圖，拋物線E : y2 4x 的焦點為F，準線I與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓 心，|OC|為半徑作圓，設圓 C與準線I交于不同的兩點 M、N.(I) 若點C的縱坐標為2,求|MN| ;2(II) 若 A F

5、 = AM AN ，求圓C的半徑.【分析】本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質、 直線與圓的位置關系等基礎知識.根據(jù)條件圓心 C在拋物線上且過原點，解法如下：(I)拋物線E :2y 4x的準線I的方程為x=-1,由點C的縱坐標為2,得點C坐標1,2 ,所以點C到準線l的距離d=2，又|CO|=5 .所以MN2 2CO d2【常規(guī)解法2】設C(叵,y),則圓C的方程為:42 2y0x4（yy。）24 y。2y。，即x22y 2yy 0,由 x 1 ,y2 2yy1$、=4y2 4（1 空）N1, y2 得到y(tǒng)22yo2 4 0由 A F 2= AM AN ，得 y1y24,2y。yo圓心C的

6、坐標為C(|g 或si 6從而得2CO33,CO4即圓C的半徑為r二色2【利用圓的幾何性質解法 】抓住圓的幾何特征結合垂徑定理，從圓幕定理為切入點有下列簡潔解法：設圓C與x軸交于不同的兩點 0、G.由圓幕定理知：|A0| |AG|=|AM| |AN| .由2條件 F 1,0 , A F = AM AN ，即 4= |AM| - |AN|= |AO| - |AG|,由條件設C(2yo2AG=號+1=4,yO=6, yo=6, C(|6)或C(-6) , r332【點評】(I)涉及拋物線與圓的位置關系問題，關鍵要抓住圓心在拋物線上、圓過原點這些 幾何特征，結合垂徑定理和根與系數(shù)關系解決問題.(II

7、)根據(jù)條件抓住幾何特征通過圓幕定理解決，顯然比標準答案所給的方法簡單明了，關鍵就是充分利用了圓的幾何性質化難為易、化繁為簡，收到事半功倍的效果.】、解析幾何中巧用三角形相似簡化計算解析幾何是建立在坐標系的基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，用代數(shù)方法解決幾何問題的一門學科，它開創(chuàng)了數(shù)、形結合研究方法解決解析幾何問題的最大難度是如何把握好解題的總體思想策略但在平時的解析幾何教學中，師生往往偏重于相關量的數(shù)量關 系的研究，摒棄了最基本，最直接的解題思路，不重視平面幾何知識，但解析幾何的“魂”還是“幾何”特征.在現(xiàn)代中學教學中，解解析幾何時，可以靈活應用平面幾何知識，找到簡捷的解題途徑， 簡化解析

8、幾何的解題過程，降低運算量運用平面幾何知識，能培養(yǎng)學生認真分析圖形的幾2x【例題】如圖：橢圓令ab2何性質，養(yǎng)成綜合應用知識的習慣， 提高解題技巧與能力解題時，若能把握形的幾何特征， 注意挖掘隱蔽條件， 靈活利用平面幾何知識， 對于拓廣解題思路， 減少運算量，將會起到非 常重要的作用，今天我們帶領大家學習如何利用平面幾何的三角形相似知識巧妙解決解析幾 何的問題.1(a b o)的左右焦點為 F2，上頂點為A，離心率e -,2點P為第一象限內橢圓上的一個點，且SVPFA : S/pfiF22:1,則直線PF1的斜率為 【常規(guī)解法一】P到直線AF1的距離和到x軸的距離的比為 2:1,設出P點坐標，

9、進而求Kpf1.設P（m,n），由題意知直線AF1 : bxeybeP到直線AF1的距離dbm enbe2n,即 bm en be 2an,（點P在直線AF1的右側，可直接去掉絕對值符號）整理得m e 2a e乜（體現(xiàn)了設而不求）5【常規(guī)解法二】A與F2到直線PFi的距離的比為2:1，用點到直線的距離公式直接解出Kpf1設直線PFi方程為0 b ek|kx y ek 0,由A（0,b）與F2（c,0）到直線PFi的距離的比為2:1得到2 ek 0 ek，即 b ek 4 ek, k B 込.1 k25e 5等式.1 k2（注意點到直線距離公式中絕對值符號是如何去掉的）【利用 相似比解法一】連接

10、 AF2與PF1交于點B，證明B是線段AF2的三等分點，進而求 KPF|如圖，作AM垂直于PF1于點M，作F2N垂直PF1于點N ,S/afp ： S/PF1F2 AM : F2 N 2:1，連接 AF2交 PFi于點 B，由相似比知AB : BF22:1，所以B是線段AF2的三等分點，而A(O,b), F2(c,0)，求出B點坐標是b - 3BF1K=CO-3-5b 一5C【利用點坐標，進而求KPFi1:2，由 SvPF1A : Svpf1f2連接 0P，知 SvPF2O ： SvPF1F22:1，得出 SvPF1A : Svpf1o4:1，相似比解法二】AO與PFi交于點B，證明B是線段A

11、O的五等分點，就能得出 B作AM垂直PFi于點M，作ON垂直于PFi于點N,設PFi與y軸的交點為B，由相似比知 AB : B0 4:1，所以B是線段A0的五等分點,而A(O,b)，求出B點的坐標是 O,b，所以KpFKbFiOO ( C)5c 5【評析】靈活地應用平面幾何知識， 可以快速化解題目的難點之處 幾何分析是“形”向“數(shù)” 的轉化，是特殊性方法，是“數(shù)形結合”思想應用通過本節(jié)微專題學習， 對于某些解析幾何問題， 我們不一定都要通過常規(guī)方法入手，只要我們認真分析題目中幾何量之間的關系，運用平面幾何的觀點來審題，認清題目的本質特征，然后再動筆，往往帶來很多方便要讓學生在自然的代數(shù)過程中聯(lián)

12、系幾何轉化，不要刻意分割解析幾何中的“數(shù)”與“形”，讓數(shù)形結合思想真正融入解題思維里.2 2 2【針對訓練】已知圓 x +y r ,直線丨：x a (ar ), P為i上的一點，射線 OP交圓于2點R,點Q在OP上，且滿足 OQ OP OR ,當P點在I上移動時，求點 Q的軌跡方程【分析】常規(guī)解法相當繁瑣，令人頭疼 限于篇幅，這里不再展示常規(guī)解法，但是，如果采 用三角形相似來解決的話，會很簡單 由 RtVOHQ RtVOTP，得OHOQ解：如圖所示，過點 P作圓的切線PM，M為切點，連接 MQ，易證MQ OPOP2，即 OH a OQ OP OR OT2r故OH 為定值，又MQ OP,a24故

13、點Q的軌跡方程為（x ）2 y2 丄萬2a4a【點評】到目前為止，這是我所見到的本題最簡潔的解法 ，簡煉有力，令人驚嘆!三、平面幾何在求軌跡方程中的應用在最近幾年的教學中， 我發(fā)現(xiàn)了同學們學習中存在的一個普遍問題：學哪一段就用哪一段的方法，這樣做產生的后果是：思路閉塞，運算繁瑣伴隨著年齡的增長，同學們所掌握的 數(shù)學方法越來越多， 進入高中以后，特別是接觸到解析幾何后，我們不少同學就有點喜新厭舊了，把以前初中的平面幾何知識拋到一邊，認為有點過時了其實不然，數(shù)學方法并沒有過時的說法，一些簡單地定理往往能帶來令人意想不到的效果，如中線定理、角平分線定理、射影定理等平面幾何中的基本知識，如果運用得當?shù)?/p>

14、話，就可以將你從解析幾何繁復的運算中解放出來，甚至能讓你拍案叫絕 求軌跡方程是解析幾何中的兩大基本問題之一，也是高考重點考查的內容其方法多種多樣，但在求軌跡方程中，如果能夠充分利用平面幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運算 量，將會起到非常重要的作用，今天我們帶領大家學習應用平面幾何求解軌跡方程的問題【例題】已知圓 O的方程是x2 y2 36，定點P 4,0，如圖作矩形APBQ（ A、B兩點在圓上）求矩形的頂點Q的軌跡方程.【常規(guī)解法】設Q x, y , A Xi, yi,B X2, y2，則:xj yj 36 x22 y22 36 又亠 1,x1 4 x2 4即 x-|X2 y1y24(x-|

15、X2)160.Q x-ix2x 4, y1y2yx y(X1 X24)2(y1y2)22 2 2 2XiX2yiy 8(X1 X2) 2y2 2x1X2 16722X1X2 yy 4(X1 X2) 1672 1656即所求矩形的頂點 Q的軌跡方程為：x2 y256.【點評】以上解法很常規(guī)，但其消元的過程是在太巧妙了！不易想到除此之外，還可利用FA斜率K為參數(shù)，建立 Q的參數(shù)方程來解決，但其運算過程相當復雜，不易求解【利用中線定理幾何性質解法】如上圖，連接 OP,OQ,OA,OB,OM（ M為矩形AFBQ的對角線的交點）由平面幾何的中線定理知識可知:在VOPQ 中,2OP2OQ =22OM +

16、PM2在厶AOB中，OAOB =22OM + AMQ PM AM2OP2OQ = OA2+ OB222從而可得：OQ =56，故x y 56為所求方程【點評】在求軌跡方程中，充分利用平面幾何知識，結合圓錐曲線的定義，在解題中，特別 是在考試的客觀題解答中，將使解題過程簡單，迅速得出正確答案通過本節(jié)微專題學習， 發(fā)現(xiàn)求解解析幾何的軌跡方程問題時，若能充分靈活運用平面幾何知識（中線定理）快速地給出了解答，方法之妙令人叫絕，解題則會事半功倍平時教學中，教師應注意這方面的指導 【針對訓練】點 A，B，C依次在直線I上，且AB=4BC，過C作I的垂線，M是這條垂線上的動點，以 A為圓心，為 AB半徑作圓

17、， Mt與MT2是這個圓的切線，求MTT 2垂心的軌跡.【分析】如圖，以A為原點，直線AB為x軸建立坐標系,H為MTT 2的垂心，N為T1T2與22AM的交點，記BCh .以A為圓心的圓方程為 x y16，連結 ATi, AT2, at2 mt2,t,hmt2, AT2/ T1H，同理 AT,/ HT2.又AT, =AT2，二 AT1HT2是菱形二 2AN AH .又AM TT2, AT, MT, AT,2 AN AM設點H坐標為（x, y）,點M坐標為（5, b），則點N坐標為將坐標代入 AT,2 AN AM，再由b 1，得5 x4在AB上取點K，使AK AB，所求軌跡是以5【點評】本題解法

18、的可取之處在于嫻熟的運用了平幾知識，得出K為圓心,AK為半徑的圓.形對角線互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影定理OT,HT2是菱形后，依據(jù)菱OT,2 ON OM ?得出結論整個解法“平幾味”甚濃，扣“形”不放，堪稱數(shù)形結合的典范，事半功倍.四、巧用投影優(yōu)化計算高考的解析幾何題， 似曾相見曾相識，看似平淡需真功。很多時候，解析幾何綜合題的復雜性讓許多學生望而卻步，成為學生高考成敗的關鍵。單純地依賴代數(shù)方法解決幾何問題， 不光導致運算十分復雜，也有可能導致思路無法展開， 能不能有效避開一些繁難計算，有時關注試題中的幾何特征是解決解析幾何問題的關鍵.今天我們帶領大家探討是平面上兩點間距離的轉

19、化問題，平面上兩點間距離公式是先求平方和再開方，運算十分雜，但利用一條直線上兩線段長度比值與它們在同一坐標軸上的投 影比值相等性質，可將其轉化為數(shù)軸上兩點間距離，將二維運算簡化為一維運算，能夠化繁為簡，打開“柳暗花明又一村”的新局面.【例題】在平面直角坐標 xOy中，點A(1,1)與點B關于原點0對稱，P是動點.且直線AP1與BP的斜率之積為 -3(I)求動點P的軌跡方程(x2 3y21 )；(n)設直線問是否存在點在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.AP和BP分別與直線xP，使得 PAB與 PMN的面積相等？若存3交于點8【過程分析】試題中是兩條動弦與橢圓相交，不再是一條直線與橢圓相交

20、的位置關系，避開了常規(guī)的聯(lián)立方程模式套路.試題中涉及A、B、P、M、N五個點，而且點 M、N是由點P生成的，所以先要通過設點P(Xo,y。)坐標為參變量，然后計算點 M、N的坐標，再利用五個點坐標分別表示PAB與 PMN的面積，將它們用引入參變量表示，禾U用它們相等的關系，進而求出 P的坐標.【解析】思路一：計算AB長與點P到AB的距離，P到MNPMN兩個面積，思路雖自然，運算有一定困難.依題意：設P(x0, y0)、的距離，分別計算 PAB與則直線AP方程：y分別令x 3，得yMM(3,Ym)、N (3, Yn )yo 1/(xXo 14y。Xo 3Xo 11)，直線BP方程：y 1H(x

21、1)yN2 yoxo3(多個字母參數(shù)的運算是學生死Xo 1穴，這種計算比較復雜,.曰1于是 S PMN| yM面積代數(shù)轉化有困難)學生在心理上就已經發(fā)抖、害怕)2山0Yo(3 X。)( M、N點坐標復雜導致三角形Yn | (3 Xo)又直線AB的方程為x yo，且P(Xo, yo)到直線AB的距離d | xo . Yo |且 |AB| 2、. 2，所以 S pab1-|AB|d |xo Yol由題設條件S PMN S PAB，得| xoYo |2| xoYo |(3 Xo)225又|xoyo| ，所以xo1(3xo)，得xo3 .代入橢圓方程得yo 339 ，55/33故存在點P(,)，使得

22、PAB與 PMN的面積相等.39【評析】解析幾何的代數(shù)特征經常體現(xiàn)在“設而不求”技巧上，上述解法中困難是計算N點坐標.是不是一定要求出 M、N點坐標呢？這就讓我們進一步思考，三角形面積一定 要表示成“底乘以高”的形式么 ？1思路二：我們發(fā)現(xiàn)要求的兩個二角形有共同的頂角，利用S absi n 這個三角形面積公2式更容易表示 PAB與 PMN的面積并可回避M、N點坐標計算.解決問題需要理論支撐：在解析幾何中很少直接用平面上兩點間距離公式計算距離，多采用同一條直線上兩線段長度比值化歸轉化為兩線段在數(shù)軸上投影的線段比值，回避距離公八F極大地簡化計算.式中的先平方再開方運算， 將平面上二維的運算化歸到數(shù)

23、軸上一維的運算, 依題意：假設存在點 P，使得 PAB與 PMN的面積相等設 P（Xo,y。），則 Spab 丄 |PA|PB|sin APB，21S PMN |PM|PN|sin MPN2所以 |PA|PB| | PM | PN |，J PA| | PN |即（在這不可能去求平面上兩點間的距離，|PM | PB |而是利用這四條線段在坐標軸上的投影也成相應比例關系進行轉化，如此二維的平面兩點距離運算轉化為一維的數(shù)軸上兩點距離運算，使運算簡潔明了，正確率必然大大提高） 即汨 詵，化簡得冷21 （3 xo）2，得xo 3 （后面同解法一）1【評析】共同的頂角兩三角形面積關系，利用S abs in 這個三角形面積是關鍵，如果2把 PAB與 PMN的面積關系調整成比例關系，也同樣適用；幾何分析是“形”向“數(shù)”的轉化，是特殊性方法，是“數(shù)形結合”思想應用，用好它 的前提是掌握好基本幾何圖形（三角形、四邊形、圓等）的幾何性質及基本幾何關系 （平行、垂直、相交、相切等）應用主要體現(xiàn)在用比較簡潔的“形”的性質去轉化“數(shù)”的運算和