2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊提高練習(xí)3.3.2《拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）》（解析版）

1、3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2） -B提高練一、選擇題1（2020江西宜春高二期中）已知點A，拋物線C：的焦點F射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，則=（ ）ABCD【答案】C【解析】拋物線C：x2=4y的焦點為F（0，1），定點A（2，0），拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)準(zhǔn)線與y軸的交點P，則FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），直線FA為：x+2y-2=0，當(dāng)y=-1時，x=4，即N（4，-1），=.2（2020遼寧大連高二月考）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點A（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ）ABCD【答案】A【解

2、析】由題意，設(shè)在拋物線準(zhǔn)線的投影為，拋物線的焦點為，則，根據(jù)拋物線的定義可知點到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為,則點到點的距離與點到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和，故選A.3.已知拋物線y2=8x的焦點為F,過點F的直線與該拋物線交于A,B兩點,且16|AB|24,O為坐標(biāo)原點,記直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,則1k1+1k2的取值范圍是()A.-2,-22,2B.-2,-11,2 C.-2,-11,2D.-2,2【答案】B【解析】對于一般的拋物線方程y2=2px,設(shè)過焦點的直線方程為x=my+p2,與拋物線方程聯(lián)立可得y2-2pmy-p2=0,設(shè)Ay122p,y1,By222p,y2,故y1+y2=

3、2pm,則1k1+1k2=y122p1y1+y222p1y2=2pm2p=m=1k,其中k為直線AB的斜率,設(shè)AB所在直線的傾斜角為,由拋物線的焦點弦公式可知|AB|=2psin2=8sin216,24,則sin213,12,tan2=1cos2-1=11sin2-112,1,故1k1+1k221,2,所以1k1+1k2的取值范圍是-2,-11,2.4（2020河南洛陽高二月考）已知拋物線y2=16x的焦點為F,過點F作直線l交拋物線于M,N兩點,則|NF|94|MF|的最小值為()A.23B.-23C.-13D.13【答案】D【解析】拋物線y2=16x的焦點為F,則F(4,0),當(dāng)直線l的斜

4、率不存在時,直線l為x=4,由y2=16x,x=4,可得M(4,8),N(4,-8),|MF|=|NF|=8,|NF|94|MF|=718.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)過點F的直線l的方程為y=k(x-4),不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=16x,y=k(x-4),消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,x1+x2=8+16k2,x1x2=16,|MF|=x1+p2=x1+4,|NF|=x2+p2=x2+4,1|MF|+1|NF|=x1+x2+84(x1+x2)+x1x2+16=16+16k232+64k2+16+16=14.|NF|94|MF|=|NF|9+4|NF|

5、-12|NF|94|NF|-1=13,當(dāng)且僅當(dāng)|NF|=6時取等號.故|NF|94|MF|的最小值為13.5（多選題）（2020江蘇如皋高二月考）已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（ ）A點的坐標(biāo)為B若，三點共線，則C若直線與的斜率之積為，則直線過點D若，則的中點到軸距離的最小值為2【答案】BCD【解析】由拋物線，可得，則焦點坐標(biāo)為，故A錯誤；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，所以，故B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，因為直線與的斜率之積為，即，可得，解得，所以直線的方程為，即直線過點，故C正確；因為，所以，所以，因為，所以的中點到軸的距離：

6、 ，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的中點到軸的距離的最小值為2，故D正確，綜上所述，正確命題為BCD.6. （多選題）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過點F的直線與拋物線交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,點P在l上的射影為P1,則下列結(jié)論中正確的是()A.若x1+x2=6,則|PQ|=8B.以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C.設(shè)M(0,1),則|PM|+|PP1|2D.過點M(0,1)與拋物線C有且只有一個公共點的直線至多有2條【答案】ABC【解析】若直線的斜率存在,設(shè)y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2k2+4

7、k2,x1x2=1.對于A,若x1+x2=6,則k2=1,故k=1或-1,|PQ|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=242=8,故A成立;對于B,取PQ點中點N,N在l上的投影為N,Q在l上的投影為Q,根據(jù)拋物線的定義,|PP1|=|PF|,|QQ|=|QF|,NN為梯形的中位線,故|NN|=12(|PP1|+|QQ|)=12|PQ|,故B成立;對于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|MF|=2,故C成立;對于D,過M(0,1)且與拋物線相切的直線有2條,過M(0,1)且與x軸平行的直線與拋物線相交且有一個交點,所以至多有三條,故D不成立.二、填空題7（2020博興第

8、三中學(xué)高二月考）以拋物線的焦點為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為_.【答案】【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以圓的圓心為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：8.已知M,N是過拋物線C:y2=2px(p0)的焦點F的直線l與拋物線C的交點,O是坐標(biāo)原點,且滿足MF=3FN,SOMN=3|MN|,則p的值為.【答案】8【解析】不妨設(shè)直線MN的斜率k0,過M,N作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為G,H,過N作NKMG于K,由MF=3FN,得|MF|=3|FN|,|MG|=3|NH|,|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|,|NK|=|MN|2-|MK|2=32|MN

9、|,由SOMN=SOMF+SONF=12|OF|NK|=38p|MN|,又SOMN=3|MN|,38p|MN|=3|MN|,得p=8.9（2020華南師大附中高二月考）已知拋物線在第一象限內(nèi)的一點到拋物線焦點F的距離為4，若P為拋物線準(zhǔn)線上任意一點，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時，點P到直線的距離為_.【答案】【解析】由已知及拋物線的定義得點A到準(zhǔn)線的距離為4，因此有，解得，故拋物線方程為，從而.當(dāng)?shù)闹荛L最小即的值最小，設(shè)F關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，則，連接，則與準(zhǔn)線的交點即為使得的值最小的點P，此時可求得.又因為，所以直線的方程為，即，故點P到直線的距離.10. （2020山西師大附中高二月考）拋物線有如下光學(xué)

10、性質(zhì):由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后,沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px(p0),如圖,一平行x軸的光線射向拋物線上的點P,反射后又射向拋物線上的點Q,再反射后又沿平行x軸方向射出,且兩平行光線間的最小距離為3,則拋物線的方程為.【答案】y2=3x【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得,PQ必過拋物線的焦點Fp2,0.當(dāng)直線PQ斜率不存在時,易得|PQ|=2p;當(dāng)直線PQ斜率存在時,設(shè)PQ的方程為y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-px+p24=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x

11、2=p+2pk2,x1x2=p24.所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k22p.綜上,當(dāng)直線PQ與x軸垂直時,弦長最短,又因為兩平行光線間的最小距離為3,故2p=3,拋物線方程為y2=3x.三、解答題11. （2020利川市第五中學(xué)高二期中）已知動點在拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，動點滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）點，過點且斜率為的直線交軌跡于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求的值.【解析】（1）設(shè)點，可得，則可得出點的坐標(biāo)為，得動點軌跡的方程為.（2）設(shè)過點的直線方程為，聯(lián)立方程有，可得，則.，.12.（2020全國高二專題練）如圖，已知點F（1，0）為拋物線y22px（p0）的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得ABC的重心G在x軸上（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程 ；（2）求證：直線OA與直線BC的傾斜角互補； （3）當(dāng)xA（1，2）時，求ABC面積的最大值【解析】（1）點為拋物線的焦點，即，即，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明