2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.2.2《直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程》導(dǎo)學(xué)案(含答案)

1、2.2.2直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程 1.掌握直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程和截距式方程.2.會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€(xiàn)方程.3.能用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程與截距式方程解答有關(guān)問(wèn)題.重點(diǎn)：掌握直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式及截距式難點(diǎn)：會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€(xiàn)方程一、自主導(dǎo)學(xué)1直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程(1)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的定義 _就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直線(xiàn)方程，我們把它叫做直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式點(diǎn)睛：1.當(dāng)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線(xiàn)斜率不存在(x1=x2)或斜率為0(y1=y2)時(shí),不能用兩點(diǎn)式方程表示,即兩點(diǎn)式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn).2.對(duì)于兩點(diǎn)式中的兩個(gè)

2、點(diǎn),只要是直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)即可;另外,兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān),如直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P1(1,1),P2(2,3),由兩點(diǎn)式可得y-13-1=x-12-1,也可以寫(xiě)成y-31-3=x-21-2.二、直線(xiàn)的截距式方程 點(diǎn)睛：直線(xiàn)的截距式方程是直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的特殊情況,由直線(xiàn)的截距式方程可以直接讀出直線(xiàn)在x軸和y軸上的截距,所以截距式在解決直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)非常方便.二、小試牛刀1. 把由直線(xiàn)上已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)得到的直線(xiàn)方程化為整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),對(duì)兩點(diǎn)的坐標(biāo)還有限制條件嗎?2.已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(3,1),B(2,0),則直線(xiàn)l的方程為

3、.3在x，y軸上的截距分別是3,4的直線(xiàn)方程是()A1 B1C1 D14.直線(xiàn)xa2yb2=1(ab0)在y軸上的截距是()A.a2B.b2 C.-b2 D.|b| 一、情境導(dǎo)學(xué) 我們知道在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線(xiàn)的幾何要素：點(diǎn)和傾斜角（斜率），即已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)和直線(xiàn)的斜率可以確定一條直線(xiàn)，或已知兩點(diǎn)也可以確定一條直線(xiàn)。 這樣，在直角坐標(biāo)系中，給定一個(gè)點(diǎn)p0(x0,y0)和斜率k,可得出直線(xiàn)方程。若給定直線(xiàn)上兩點(diǎn)p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直線(xiàn)的方程呢?二、典例解析例1 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:(1)BC邊所在的直線(xiàn)方程;(

4、2)BC邊上中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程.延伸探究例1已知條件不變,求:(1)AC邊所在的直線(xiàn)方程;(2)AC邊上中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程. 兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用 用兩點(diǎn)式方程寫(xiě)出直線(xiàn)的方程時(shí),要特別注意橫坐標(biāo)相等或縱坐標(biāo)相等時(shí),不能用兩點(diǎn)式.已知直線(xiàn)上的兩點(diǎn)坐標(biāo),也可先求出斜率,再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.例2過(guò)點(diǎn)P(1,3),且與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線(xiàn)方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0總結(jié)歸納：在涉及直線(xiàn)與兩個(gè)坐標(biāo)軸的截距問(wèn)題時(shí),常把直線(xiàn)方程設(shè)為截距式,由已知條件建立關(guān)于兩截距的方程,解得截距的值,從而確定方程.訓(xùn)練跟蹤1 直線(xiàn)

5、l過(guò)點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,求直線(xiàn)l的方程.跟蹤訓(xùn)練2將變式訓(xùn)練1中的條件“在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12”改為“在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等”,求直線(xiàn)l的方程.金題典例 如圖,某小區(qū)內(nèi)有一塊荒地ABCDE,已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m,AECD,BCDE,C=90,今欲在該荒地上劃出一塊長(zhǎng)方形地面(不改變方位)進(jìn)行開(kāi)發(fā).問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使開(kāi)發(fā)的面積最大?最大開(kāi)發(fā)面積是多少?歸納總結(jié) 二次函數(shù)最值問(wèn)題,一方面要看頂點(diǎn)位置,另一方面還要看定義域的范圍.結(jié)合圖形求解,有時(shí)并非在頂點(diǎn)處取得最值.1.過(guò)P1(2,0),P2(0,3)兩

6、點(diǎn)的直線(xiàn)方程是() A.x3+y2=0B.x2+y3=0C.x2+y3=1D.x2y3=12.已知ABC三頂點(diǎn)A(1,2),B(3,6),C(5,2),M為AB的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),則中位線(xiàn)MN所在的直線(xiàn)方程為()A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=03過(guò)點(diǎn)P(4，3)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)有() A1條 B2條 C3條 D4條4.若點(diǎn)P(3,m)在過(guò)點(diǎn)A(2,-1),B(-3,4)的直線(xiàn)上,則m=. 5.直線(xiàn)ax+by=1(ab0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是.6.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)求三角形

7、三邊所在直線(xiàn)的方程；(2)求AC邊上的垂直平分線(xiàn)的方程參考答案：知識(shí)梳理二、小試牛刀1. 答案:這個(gè)方程對(duì)兩點(diǎn)的坐標(biāo)沒(méi)有限制,即它可以表示過(guò)任意兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程.2.解析:由兩點(diǎn)式,得y-10-1=x-32-3,化簡(jiǎn)得x-y-2=0.答案:x-y-2=0 3答案A解析：由截距式方程知直線(xiàn)方程為1.選A.4.答案:C 解析:原直線(xiàn)方程化為截距式方程為x2a2+y2-b2=1,故在y軸上的截距是-b2.學(xué)習(xí)過(guò)程例1 思路分析:已知直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程.解:(1)直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)B(0,-3),C(-2,1),由兩點(diǎn)式方程得y+31+3=x-0-2-0,化簡(jiǎn)得2x+y+3=0.

8、(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直線(xiàn)AD過(guò)點(diǎn)A(-4,0),由兩點(diǎn)式方程得y+10+1=x+1-4+1,化簡(jiǎn)得x+3y+4=0.延伸探究例1解:(1)由兩點(diǎn)式方程,得y-01-0=x-(-4)-2-(-4),化簡(jiǎn)得x-2y+4=0.(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AC邊的中點(diǎn)E(-3,12),中線(xiàn)BE所在直線(xiàn)的方程為y-(-3)12-(-3)=x-0-3-0,化簡(jiǎn)得7x+6y+18=0. 例2思路分析:設(shè)出直線(xiàn)的截距式方程,然后利用點(diǎn)P在直線(xiàn)上以及三角形的面積列出參數(shù)所滿(mǎn)足的條件,解方程求出參數(shù).解析:設(shè)所求的直線(xiàn)方程為xa+yb=1(a0,b0)

9、,由于過(guò)點(diǎn)P(1,3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積等于6,因此有1a+3b=1,12ab=6,解得a=2,b=6,故所求直線(xiàn)的方程為3x+y-6=0.答案:A 訓(xùn)練跟蹤1 解:由于直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,因此直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在且不過(guò)原點(diǎn),故可設(shè)為截距式直線(xiàn)方程.設(shè)直線(xiàn)l的方程為xa+yb=1,則a+b=12.又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(-3,4),所以-3a+4b=1.由解得a=9,b=3或a=-4,b=16.故所求的直線(xiàn)方程為x9+y3=1或x-4+y16=1,即x+3y-9=0或4x-y+16=0.跟蹤訓(xùn)練2解:設(shè)直線(xiàn)l在x軸、y軸上的截距分別為a,b.(1)當(dāng)a0,b0

10、時(shí),設(shè)l的方程為xa+yb=1,因?yàn)辄c(diǎn)(-3,4)在直線(xiàn)上,所以-3a+4b=1.若a=b,則a=b=1,直線(xiàn)方程為x+y-1=0;若a=-b,則a=-7,b=7,直線(xiàn)方程為x-y+7=0.(2)當(dāng)a=b=0時(shí),直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),且過(guò)(-3,4),所以直線(xiàn)方程為4x+3y=0.綜上所述,所求直線(xiàn)方程為:x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.金題典例 思路分析將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在線(xiàn)段AB上求一點(diǎn)P,使矩形面積最大,根據(jù)圖形特征,可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出AB的方程.這里設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵.解:以BC所在直線(xiàn)為x軸,AE所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),由已知可得A(0,60),B(90,0)

11、,AB所在直線(xiàn)的方程為x90+y60=1,即y=60(1-x90).y=60-23x.從而可設(shè)P(x,60-23x),其中0x90,所開(kāi)發(fā)部分的面積為S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)(240-60+23x)=-23x2+20x+54 000(0x90),當(dāng)x=-202(-23)=15,且y=60-2315=50時(shí),S取最大值為-23152+2015+54 000=54 150(m2).因此點(diǎn)P距AE 15 m,距BC 50 m時(shí)所開(kāi)發(fā)的面積最大,最大面積為54 150 m2.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析:由截距式,得所求直線(xiàn)的方程為x2+y3=1.答案:C 2.解析:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),由兩點(diǎn)式方程得y-24-2=x-32-3,即2x+y-8=0.答案:A 3 解析：過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)方程為yx.直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其方程為1，1，a1.直線(xiàn)方程為xy10.所以這樣的直線(xiàn)有2條，選B.答案：B4. 解析:由兩點(diǎn)式方程得,過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y-(-1)4-(-1)=x-2-3-2,即x+y-1=0.又點(diǎn)P(3,m)在直線(xiàn)AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.答案:-2 5.解析:直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距分