初中幾何輔助線做法要點(diǎn)35頁

1、線、角、相交線、平行線規(guī)律1.如果平面上有n(n 2個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每兩點(diǎn)畫一條直線，一共1可以畫出n(n 1)條.21規(guī)律2.平面上的n條直線最多可把平面分成 一n(n+1)+1個(gè)部分.2規(guī)律3.如果一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為1Q-n(n 1)條.2B在線段AC上，M是AB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).規(guī)律4.線段(或延長線)上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長的一半 例：如圖，求證:MN =1 AC2證明:/ M是AB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)1 AM = BM = AB ,BN = CN = 一 BC2 - MN = MB + B

2、N1 AB +21 12bc =2(ab + BC) MN =-AC2練習(xí)：1.如圖,點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，M是線段BC的中點(diǎn).求證:AM = + BC)2.如圖,點(diǎn)B在線段AC上，M是AB的中點(diǎn),N是AC的中點(diǎn).求證:MN = -BC23.如圖，點(diǎn)B在線段 AC上，N是AC的中點(diǎn),M是BC的中點(diǎn).1求證：MN = AB2規(guī)律5.有公共端點(diǎn)的n條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有1 n(n 1)個(gè).2n ( n 1)個(gè).規(guī)律6.如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有規(guī)律7.如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成n ( n 1 )對對頂角.規(guī)律8.平面上若有n(n3個(gè)點(diǎn)，任意

3、三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上， 過任意三點(diǎn)作三角形一共可作出1 n(n 61)(n 2)個(gè).規(guī)律9.互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為規(guī)律10.平面上有n條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為90.1 人n(n 1)個(gè).211. 互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半.12. 當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的 角平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請同學(xué)們自己證明.規(guī)律規(guī)律DDD規(guī)律13.已知AB/ DE,如圖，規(guī)律如下:f)f)ABZABC+BCD+CDE=360CDBEAEZBCD= ZABC+ DED2BCD= zJCDE- ZABCZ

4、BCD= ZABC- NCDEAf)BZCDE= 4cD+ 厶BCCZABC= ZBCD+ZCDEB規(guī)律14.成例：已知，解：/f)“8”形的兩個(gè)三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半BE、DE 分別平分/ ABC 和/ ADC，若/ A = 45,/ C = 55,求/ E 的度數(shù).A +/ ABE = / E + / ADE/ C +/ CDE = / E +/ CBE +得B/ CBE=/ E + / ADE + / E + E/ A + / ABE + / C + / CDE/ BE 平分/ ABC、DE 平分/ ADC, / ABE = / CBE , / CDE

5、= / ADE 2/ E =/ A+/ C1/ E = -(/ A +/ C) / A =45, / C =55,/ E =50三角形部分規(guī)律15.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí), 構(gòu)造三角形， 性質(zhì)證題.例：如圖，已知 證法（一）：在 AMN在 BDM如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某邊 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式D、E 為 ABC 內(nèi)兩點(diǎn)，求證： AB+ AC BD + DE + CE. 將DE向兩邊延長，分別交 AB、AC于M、N 中， 中，在 CEN中，+得AM + AN MD + DE + NE MB + MD BDCN + NE C

6、EAM + AN+ MB + MD + CN+ NE MD + DE + NE + BD + CE AB + AC BD + DE + CE證法(二)延長 BD交AC于F，延長CE交BF于G,在 ABF和 GFC和 GDE中有， AB + AF BD + DG + GF GF + FC GE+ CE DG + GE DE+有AB + AF + GF + FC + DG + GE BD + DG + GF + GE + CE+ DE AB + AC BD + DE + CE注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題

7、.練習(xí)：已知：如圖 卩為 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，1求證：一 （AB + BC + AC） / BAC證法（一）：延長BD交AC于E,/ BDC EDC 的外角，/ BDC / DEC同理：/ DEC / BAC/ BDC / BAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長交BC于F/ BDF ABD 的外角，/ BDF / BAD同理/ CDF / CAD/ BDF +/ CDF / BAD +/ CAD即:/ BDC / BAC規(guī)律21.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為 ABC的中線且/ 1 = / 2,/ 3 = /4,求證：BE + CF EF證明：在 DA上截

8、取DN = DB ,連結(jié)NE、NF，貝U DN = DC在 BDE和 NDE中，DN = DB/ 1 = / 2ED = ED:. BDE NDE BE = NE同理可證：CF = NF在 EFN 中, EN + FN EF BE + CF EF規(guī)律22.有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖， AD為 ABC的中線，且L 1 = L 2，L 3 = L 4,求證：BE + CF EF 證明：延長 ED至U M，使DM = DE，連結(jié) CM、FM BDE 和 CDM 中，BD = CDL 1 = L 5ED = MD:. BDE CDM CM = BE又/

9、1 = / 2,/ 3 = / 4:-L即/ LL 1 + L 2 + L 3 + L 4 = 180 3 +L 2 = 90EDF = 90CMFDM = L EDF = 90 EDF 和 MDF 中ED = MD/ FDM = / EDFDF = DF EDF MDF EF = MF在 CMF 中，CF + CM MFBE + CF EF（此題也可加倍 FD，證法同上）規(guī)律23.在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形 例：已知，如圖， AD為 ABC的中線，求證： AB+ AC2AD證明：延長AD至E，使 DE = AD，連結(jié)BE/ AD為 ABC的中線E BD = CD在 AC

10、D和 EBD中BD = CDL 1 = L 2AD = ED ACD N EBD/ ABE 中有 AB + BEAE AB + AC 2AD規(guī)律24.截長補(bǔ)短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段； 補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法:當(dāng)已知或求證中涉及到線段 a b a 3 = c a 3 = cd例：已知，如圖，在 ABC中，AB AC，/ 1 = L 2, P為AD上任一點(diǎn),求證：AB AC PB PC證明：截長法： 在AB上截取AN = AC,連結(jié)PN在APN和APC中，AN = AC/ 1 = /

11、 2AP = AP:. APN APC PC = PN/ BPN 中有 PB PCv BN PB PCV AB AC補(bǔ)短法： 延長AC至M，使AM = AB,連結(jié)PM在ABP和AMP中AB = AM/ 1 = / 2MAP = AP:. ABP AMP練習(xí)：1.已知，求證:2.已知， 求證: PB = PM又在 PCM 中有 CM PM PC AB AC PB PC在 ABC中，/ B = 60o,AD、CE是 ABC的角平分線，并且它們交于點(diǎn)AC = AE+ CD 如圖， AB / CD / 1 = / 2，/ 3 = / 4.BC = AB+ CD規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟： 觀察要

12、證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。 若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角 形全等. 如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F，/ B = / C,/ 1 = / 2,證明：/ ADF = / B+/ 3/ AEF = / C+/ 4又/ 3 = / 4求證：DF = EF/ B = / C/ ADF = / AEF在 ADF和 AEF中/ ADF = / AEF/ 1 = / 2AF = AF ADF AEFDF = EF規(guī)律26.在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余

13、角相等來證明兩個(gè)角相等.例：已知，如圖 RtA ABC中，AB = AC，/ BAC = 90,過A作任一條直線 AN,作BD丄AN于D,CE丄 AN 于 E,求證：DE = BD CE 證明：/ BAC = 90, BD 丄 AN/ 1 + / 2 = 90/ 1 + / 3 = 90/ BD 丄 ANCE 丄 AN/ BDA =/AEC = 90在 ABD和 CAE中,CN/ BDA = / AECAB = AC ABD CAE BD = AE 且 AD = CE AE AD = BD CE DE = BD CE規(guī)律27.三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為 AB

14、C的中線，且 CF丄AD于F, BE丄AD的延長線于 E求證：BE = CF證明：（略）C規(guī)律28.條件不足時(shí)延長已知邊構(gòu)造三角形例：已知 AC = BD, AD丄AC于A, BCBD于B 求證：AD = BC證明：分別延長 DA、CB交于點(diǎn)E/ AD 丄 ACBC 丄 BD/ CAE = / DBE = 90在 DBE和 CAE中EC/ DBE = / CAEBD = AC ED = EC, EB = EA ED EA = EC EB AD = BC規(guī)律29.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題 例：已知，如圖，AB/ CD, AD / BC求證：AB = CD證明：連結(jié)A

15、C （或 BD）AC/ AB / CD , AD / BC在 ABC和 CDA中,/ 1 = / 2/ 1 = / 2AC = CA ABCCDA AB = CD練習(xí)：已知，如圖， AB = DC , AD = BC, DE = BF ,求證：BE = DF規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時(shí)， 例：已知，如圖，在 RtAABC中，求證：BD = 2CE證明：分別延長BA、CE交于/ BE 丄 CF通常把這條線段延長。可歸結(jié)為AB = AC，/ BAC = 90,/ 1 =角分垂等腰歸”.,CE丄BD的延長線于E/ BEF = / BEC = 90 在 BEF和 BEC中 / 1 = / 2BE

16、 = BECF/ BEF = / BEC :. BEF BECCE = FE = - CF2/ BAC = 90 , BE 丄 CF / BAC = / CAF = 90 / 1 + / BDA = 90/ 1 + / BFC = 90/ BDA = / BFC在 ABD和 ACF中/ BAC = / CAF/ BDA = / BFCAB = AC:. ABD ACF BD = CF BD = 2CE練習(xí)：已知，如圖，/ ACB = 3 / B, / 1 = / 2,CD丄AD于D,求證：AB AC = 2CDAC、BD 相交于 0,且 AB = DC, AC = BD , / DBC,過程略

17、）規(guī)律31.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形 例：已知，如圖，求證：/ A =證明：（連結(jié)規(guī)律32.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件 例：已知，如圖，AB = DC，/ A = / D求證：/ ABC = / DCBAD證明：分別取 AD、BC中點(diǎn)N、M,規(guī)律33.有角平分線時(shí)，相等證題.例：已知，如圖，/1求證：/ BAP+/連結(jié)NB、NM、NC （過程略）常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離=/ 2 , P 為 BN 上一點(diǎn)，且 PD 丄 BC 于 D, AB+ BC = 2BD, BCP = 1

18、80證明：過P作PE丄BA于E/ PD 丄 BC,/ 1 = / 2 PE = PD在 Rt BPE 和 Rt BPD 中NBP = BPPE = PD RtA BPE 也 RtA BPD BE = BD AB + BC = 2BD , BC = CD + BD , AB = BE AE AE = CD/ PE丄 BE, PD 丄 BC / PEB = / PDC = 90 在 PEA和 PDC中PE = PD/ PEB = / PDCAE =CD PEA PDC / PCB = / EAP/ BAP + / EAP = 180FA、PC分別是 ABC外角/ MAC與/ NCA的平分線，它們交

19、于 P,M , PF丄BN于F，求證：BP為/ MBN的平分線/ BAP + / BCP = 180 練習(xí)：1.已知，如圖，PD丄BM于在 ABC 中，/ ABC =100,/ ACB = 20, CE 是/ ACB 的平分線，D 是 AC2.已知，如圖，上一點(diǎn)，若/ CBD = 20,求/ CED的度數(shù)。規(guī)律34.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線 例：已知，如圖， AB = AC，BD丄AC于D,求證：/ BAC = 2 / DBC證明：（方法一）作/ BAC的平分線 AE，交BC于E，則/ 1 = / 2 = - / BAC2又 AB = AC AE 丄 BC/

20、 2+/ ACB = 90/ DBC +/ ACB = 90 BD 丄 AC / BAC = 2/ DBC（方法二）過 A作AE丄BC于E （過程略）（方法三）取 BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE （過程略）有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線例：已知，如圖， ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DE丄AB于E，DF丄AC于F， 求證：DE = DF 證明：連結(jié)AD./ D為BC中點(diǎn)， BD = CD又 AB =AC AD 平分/ BAC / DE 丄 AB, DF 丄 AC DE = DF將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖， ABC中，AB = AC，在BA延長線和 AC上各取一點(diǎn) E、F，使AE

21、 = AF，求 證：EF丄BC證明：延長 BE至U N,使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = AC/ B = / ACB, / ACN = / ANC/ B + / ACB + / ACN + / ANC = 180 2 / BCA + 2 / ACN = 180/ BCA + / ACN = 90即/ BCN = 90 NC 丄 BC / AE = AF / AEF = / AFE又/ BAC = / AEF +/ AFE/ BAC = / ACN +/ ANC / BAC =2/ AEF = 2 / ANC/ AEF = / ANC EF / NC EF 丄 BC常過一腰上的某

22、一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：已知，如圖，在 ABC中，AB = AC, D在AB上，E在AC延長線上，且 BD = CE,連結(jié)DE 交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過 D 作 DN / AE,交 BC 于 N，則/ DNB = / ACB, / NDE = / E,/ AB = AC,/ B = / ACBM/ B =/ DNB BD = DN在 DNF和 ECF中/ 1 = / 2又 BD = CE DN = EC/ NDF =/ EDN = EC DNF ECF DF = EF（證法二）過 E作EM / AB交BC延長線于 常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖，

23、ABC中，AB =AC, E在AC上， 求證：DE丄BC證明：（證法一）過點(diǎn)E作EF / BC交AB于F ,/ AFE =/ BM,則/EMB =/ BD在BA延長線上,（過程略）且 AD = AE，連結(jié)DE/ AEF = / CBCMEN D/ AB = AC/ AFE =/AEF / AD = AE / AED = / ADE又/ AFE + / AEF + / AED +/ ADE = 180 2 /AEF + 2 / AED = 90即/ FED = 90 DE 丄 FE又 EF / BC DE 丄 BCN,（過程略）（證法二）過點(diǎn) D作DN / BC交CA的延長線于（證法三）過點(diǎn) A

24、作AM / BC交DE于M ,（過程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形若/ PBC = 10/ PCB例：已知，如圖， ABC中，AB = AC, / BAC = 80 ,P為形內(nèi)一點(diǎn), =30求/ PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE貝BAE = / ABE = 60AE = AB = BE/ AB = AC AE = AC / ABC =/ACB:丄 AEC = / ACE/ EAC = / BAC-/ BAE_ _ _ _ _ _ =80 60 = 20C1/ ACE = (180/ EAC)= 8021/ ACB= - (180-/ BAC)= 5

25、02/ BCE = /ACE-/ ACB =80 - 50 = 30/ PCB = 30 / PCB = / BCE/ ABC = /ACB = 50, /ABE = 60 / EBC = / ABE-/ ABC = 60- 50 =10 / PBC = 10 / PBC = / EBC在PBC和 EBC中 / PBC = / EBCBC = BC/ PCB = / BCEPBC EBC BP = BE AB = BE AB = BP./ ABP = / ABC- / PBC = 50- 10 = 401/ PAB = - (180-/ ABP)= 702解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法

26、同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形 BCE，連結(jié)AE,則EB = EC = BC，/ BEC = / EBC = 60/ EB = EC EA所在的直線是BC的中垂線E A E在BC的中垂線上 同理A在BC的中垂線上 EA 丄 BC1/ AEB = - / BEC = 30 = / PCB由解法一知：/ ABC = 50/ ABE = / EBC-/ ABC = 10 =/ PBC / ABE = / PBC,BE = BC,/AEB = / PCB :. ABE PBC AB = BP2/ BAP = / BPA/ ABP = / ABC / PBC = 50 10 = 4011 / P

27、AB = - (180/ ABP) = (180 40)= 7022規(guī)律35.有二倍角時(shí)常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/ C,求證：AB + BD = AC證明：延長AB至U E, 使 BE = BD，連結(jié)DE則/ BED = / BDE/ ABD =/ E+/ BDE/ ABC =2/ E/ ABC = 2/ C/ E = / C在 AED和 ACD中/ E = / CAD = AD:. AEDACD AC = AE/ AE = AB+ BE AC = AB+ BE 即 AB + BD = AC

28、平分二倍角 例：已知，如圖，在求證：證明：/ ABC = 作/ BAC/ BD 丄 ACABC 中，BD 丄 AC 于 D, / BAC = 2/ DBC/ ACB的平分線 AE交BC于E,則/ BAE = / CAE = / DBC/ CBD +/ C = 90/ CAE + / C= 90./ AEC= 180/ CAE-/ C= 90 AE 丄 BC/ ABC + / BAE = 90/ CAE + / C= 90/ BAE = / CAE/ ABC = / ACB加倍小角例：已知，如圖，在求證：/ ABC = 證明：作/ FBDABC 中，BD 丄 AC 于 D, / BAC = 2/

29、 DBC/ ACB=/ DBC,BF交AC于F (過程略)C規(guī)律36.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來.例：已知，如圖， ABC中，AB = AC，/ BAC = 120, EF為AB的垂直平分線， EF交BC于F, 交AB于E求證：BF =1FC2證明：連結(jié)AF，貝y AF = BF/ B =/ FAB/ AB = ACB =/ C BAC = 120B =/ C/ BAC = (180/ BAC) = 30C2FAB = 30FAC = / BAC / FAB = 120 30 =90 又/ C = 30 - AF = iFC2- BF =1FC2練習(xí)：已知，如圖，在

30、 ABC中，/ CAB的平分線 于M , DN丄AC延長線于N求證：BM = CNAD與BC的垂直平分線 DE交于點(diǎn)D, DM丄ABN規(guī)律37.有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線 .例：已知，如圖，在 ABC中，/ B =2/ C, AD丄BC于D 求證：CD = AB+ BD證明：（一）在 CD上截取 DE = DB，連結(jié) AE,貝y AB = AE/ B =/AEB/ B = 2 / C / AEB = 2 / C又/ AEB = / C + / EAC/ C = / EAC AE = CE又 CD = DE + CECD = BD + AB（二）延長 CB至U F，使DF = DC ,連結(jié)AF貝U

31、 AF =AC （過程略） 規(guī)律38.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線 .例：已知，如圖，在 ABC 中，BC = 2AB, / ABC = 2/ C,BD = CD求證： ABC為直角三角形證明：過 D作DE丄BC,交AC于E,連結(jié)BE,貝U BE = CE, / C = / EBC/ ABC = 2/ C/ ABE = / EBC/ BC = 2AB, BD = CD BD = ABAB = BD/ ABE = / EBC在 ABE和 DBE中BE = BE ABE DBE / BAE = / BDE/ BDE = 90/ BAE = 90即 ABC為直角三角形規(guī)律39.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)

32、常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題 例：已知，如圖，在 ABC中，/ A = 90, DE為BC的垂直平分線求證：BE2 AE2 = AC2證明：連結(jié) CE,貝y BE = CE/ A = 90 AE2 + AC2 = EC2 AE2 + AC2= be2 BE2 AE2 = AC2P為BC上一點(diǎn)C練習(xí)：已知，如圖，在 ABC中，/ BAC = 90, AB = AC,求證：PB2+PC2= 2PA2規(guī)律40.條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中 例：已知，如圖，在 ABC 中，/ B = 45,/ C = 30, AB = ，求 AC 的長.解：過A作AD丄BC于D / B +

33、/ BAD = 90,/ B = 45 , / B = / BAD = 45, AD = BD AB2 = AD2 + BD2, AB =72 AD = 1/ C = 30, AD丄 BC AC = 2AD = 2四邊形部分規(guī)律41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.例：已知, ABCD的周長為60cm，對角線 AC、BD相交于點(diǎn) 0， AOB的周長比 BOC的周長多 8cm，求這個(gè)四邊形各邊長.解：四邊形 ABCD為平行四邊形 AB = CD, AD = CB , AO = CO/ AB + CD + DA + CB = 60AO + AB + OB (OB + BC + OC

34、) = 8 AB + BC = 30, AB BC =8 AB = CD = 19 , BC = AD = 11答：這個(gè)四邊形各邊長分別為19cm、11cm、19cm、11cm.規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長之差等于鄰邊之差.(例題如上)規(guī)律43.有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形為平行四例：已知，如圖，RtA ABC, / ACB = 90 , CD 丄 AB 于 D, AE 平分/ CAB 交 CD 于 F，過 F 作 FH / AB 交BC于H 求證：CE = BH證明：過F作FP / BC交AB于P,則四邊形FPBH邊形/ B =/ FPA, BH =

35、 FP/ ACB = 90o, CD 丄 AB/ 5+/ CAB = 45o,/ B +/ CAB = 90o / 5 = / B/ 5 = / FPA又/ 1 =/ 2, AF = AF:. CAFFAF CF = FP./ 4 = / 1 + / 5,/ 3 = / 2 +/ B/ 3 = /4 CF = CE CE = BH練習(xí)：已知，如圖， AB / EF / GH , BE = GCC求證：AB = EF + GHM為AB中點(diǎn)規(guī)律44.有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長此線段 例：已知，如圖，在 ABCD中，AB = 2BC ,求證：CM丄DM證明：延長DM、CB交于N四邊形

36、ABCD為平行四邊形 AD = BC, AD / BC=/ N/ A = / NBA/ ADN又 AM = BM:. AMD N BMN AD = BNN BN = BC/ AB = 2BC, BM = BC = / 1 = / 2,AM = BMBN/ 3 = / N2/ 1 + / 2+/ 3 +/ N = 180, / 1 + / 3 = 90 CM 丄 DMOE = OF規(guī)律45.平行四邊形對角線的交點(diǎn)到一組對邊距離相等 如圖：規(guī)律46.平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三 角形的面積等于平行四邊形面積的一半.如圖:O1Sa BEC = 8 A

37、BCD規(guī)律47.平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的 面積之和等于平行四邊形面積的一半.1如圖：S AOB + S DOC = BOC + AOD = 匕 ABCD2AO2 + OC2 = BO2 + DO2規(guī)律48.任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等 如圖：BTCOBCDA規(guī)律 如圖:49.平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形 四邊形GHMN是矩形（規(guī)律45規(guī)律49請同學(xué)們自己證明）規(guī)律50.有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.例：已知，如圖， E為矩形 ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且 BE = ED, P為對角線 BD

38、上一點(diǎn)，PF丄BE 于F , PG丄AD于G求證：PF + PG = AB則四邊形AH PG為矩形證明：證法一：過 P作PH丄AB于H , AH = GP PH / AD/ ADB =/ HPBC/ BE = DE/ EBD = / ADB/ HPB =/ EBD又/ PFB =/ BHP = 90 PFBN BHP HB = FP AH + HB = PG+PF即 AB = PG+PF證法二：延長 GP交BC于N，則四邊形 ABNG為矩形，（證明略）規(guī)律51.直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上的高例：已知，如圖，若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對角線BD的垂線與/ BAD的平分線交于點(diǎn) E求證：A

39、C = CE證明：過A作AF丄BD，垂足為F，貝U AF / EG/ FAE = / AEG四邊形ABCD為矩形/ BAD = 90 OA = OD/ BDA =/ CAD AF 丄 BD / ABD + / ADB = / ABD + / BAF = 90/ BAF = / ADB = / CAD AE為/ BAD的平分線BAE = / DAEBAE-/ BAF = / DAE-/ DAC即/FAE = / CAECAE = / AEG AC = EC作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線：有斜邊中點(diǎn)時(shí)例：已知，如圖， AD、BE是 ABC的高，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn) 求證：GF丄D

40、EC證明：連結(jié)GE、GD/ AD、BE是 ABC的高，G是AB的中點(diǎn)1-AB21- GE = - AB, GD =2 GE = GD F是DE的中點(diǎn) GF 丄 DE有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)例：已知，如圖，在 ABC中，D是BC延長線上一點(diǎn)，且DA 丄 BA 于 A, AC =1BD2求證：/ ACB = 2 / B1證明：取BD中點(diǎn)E,連結(jié)AE，則AE = BE = BD2D/ AC = -BD2 AC = AE/ ACB = / 2 / 2 = / 1 + / B/ 2 = 2 / B / ACB = 2/ B規(guī)律52.正方形一條對角線上一點(diǎn)到另一條對角線上的兩端距離相等.例：已知，如圖，過

41、正方形 ABCD對角線BD上一點(diǎn)P,作PE丄BC于E，作PF丄CD于F求證：AP = EF證明：連結(jié)AC、PC四邊形ABCD為正方形BD 垂直平分 AC, / BCD = 90AP = CP PE 丄 BC, PF 丄 CD , / BCD = 90四邊形PECF為矩形 PC = EF AP = EF規(guī)律53.有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn).例：已知，如圖，正方形 ABCD中，M為AB的中點(diǎn),求證：MD = MNMN 丄 MD ,BN平分/ CBE并交MN于N證明：取AD的中點(diǎn)P,連結(jié)PM,貝U DP = PA1=-AD2四邊形ABCD為正方形AD = AB, / A =/ABC = 90/

42、 1 + / AMD = 90,又 DM 丄 MN/ 2+/ AMD = 90/ 1 = / 2 - M為AB中點(diǎn)am = MB = - AB2p DP = MB AP = AM/ APM = / AMP = 45/ DPM =135/ BN 平分/ CBE/ CBN = 45/ MBN = / MBC + / CBN = 90 + 45= 135 即/ DPM = / MBN DPM MBN DM = MN注意：把M改為AB上任一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。練習(xí)：已知，Q為正方形 ABCD的CD邊的中點(diǎn)，P為CQ上一點(diǎn)，且 AP = PC+ BC求證：/ BAP = 2 / QAD規(guī)律54.利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法.旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件 旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在 ABC中，AB = AC，/ BAC = 90, D為BC邊上任一點(diǎn) 求證：2AD2 = BD2 + CD2證明：把 ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得 ACE BD = CE / B = / ACE/ BAC = 90/ DAE = 90 DE2 = ad2 + AE2 = 2AD2/ B+/ ACB =