電容電感電壓電流關(guān)系

1、第七章第七章 電容元件和電感元件電容元件和電感元件 前幾章討論了電阻電路，即由獨(dú)立電源和電阻、受控前幾章討論了電阻電路，即由獨(dú)立電源和電阻、受控源、理想變壓器等電阻元件構(gòu)成的電路。描述這類電路電源、理想變壓器等電阻元件構(gòu)成的電路。描述這類電路電壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。但在實際電路的壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。但在實際電路的分析中，往往還需要采用電容元件和電感元件去建立電路分析中，往往還需要采用電容元件和電感元件去建立電路模型。這些元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對時間的模型。這些元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對時間的微分或積分，稱為動態(tài)元件。含動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)微分或

2、積分，稱為動態(tài)元件。含動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路，描述動態(tài)電路的方程是微分方程。本章先介紹兩種電路，描述動態(tài)電路的方程是微分方程。本章先介紹兩種儲能元件儲能元件電容元件和電感元件。再介紹簡單動態(tài)電路微電容元件和電感元件。再介紹簡單動態(tài)電路微分方程的建立。以后兩章討論一階電路和二階電路的時域分方程的建立。以后兩章討論一階電路和二階電路的時域分析，最后一章討論線性時不變動態(tài)電路的頻域分析。分析，最后一章討論線性時不變動態(tài)電路的頻域分析。 常用的幾種電容器71 電容元件電容元件 一、一、 電容元件電容元件 集總參數(shù)電路中與電場有關(guān)的物理過程集中在電容元集總參數(shù)電路中與電場有關(guān)的物理過程集中在電容元件

3、中進(jìn)行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需件中進(jìn)行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需的一種理想電路元件。的一種理想電路元件。 電容元件的定義是：如果一個二端元件在任一時刻，電容元件的定義是：如果一個二端元件在任一時刻，其電荷與電壓之間的關(guān)系由其電荷與電壓之間的關(guān)系由u-q平面上一條曲線所確定，則平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件。稱此二端元件為電容元件。圖圖7-1 (a) 電容元件的符號電容元件的符號 (c) 線性時不變電容元件的符號線性時不變電容元件的符號 (b) 電容元件的特性曲線電容元件的特性曲線 (d) 線性時不變電容元件的特性曲線線性時不變電容元件的特性曲線

4、 電容元件的符號和特性曲線如圖電容元件的符號和特性曲線如圖7-1(a)和和(b)所示。所示。 其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電容元件稱為其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電容元件稱為線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。圖圖7-1 線性時不變電容元件的符號與特性曲線如圖線性時不變電容元件的符號與特性曲線如圖(c)和和(d)所所示，它的特性曲線是一條通過原點(diǎn)不隨時間變化的直線，示，它的特性曲線是一條通過原點(diǎn)不隨時間變化的直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ) 17( Cuq 式中的系數(shù)式中的系數(shù)C為常量，與直線的斜率成正比，稱為電為常量，與直線的斜率成正

5、比，稱為電容，單位是法容，單位是法拉拉,用用F表示。表示。圖圖7-1 實際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化實際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下，很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下，可以用一個電容作為它的電路模型。當(dāng)其漏電不能忽略時，可以用一個電容作為它的電路模型。當(dāng)其漏電不能忽略時，則需要用一個電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。則需要用一個電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。 在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個電感來構(gòu)在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個電感來構(gòu)成電容器的電路模型，如圖成電容器的電路模型，如圖

6、7-2所示。所示。 圖圖7-2 電容器的幾種電路模型電容器的幾種電路模型 二、電容元件的電壓電流關(guān)系二、電容元件的電壓電流關(guān)系 對于線性時不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)對于線性時不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式)27(ddd)(ddd)( tuCtCutqti 此式表明電容中的電流與其電壓對時間的變化率成正此式表明電容中的電流與其電壓對時間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電容電流與此時刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束同，電容電流與

7、此時刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。關(guān)系。 在直流電源激勵的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨在直流電源激勵的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨時間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個開路時間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個開路(i=0)。 在已知電容電壓在已知電容電壓u(t)的條件下，用式的條件下，用式(6-2)容易求出其電流容易求出其電流i(t)。例如已知。例如已知C=1 F電容上的電壓為電容上的電壓為u(t)=10sin(5t)V，其波，其波形如圖形如圖7-3(a)所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為 A)5cos(50 A)5cos(1050 d)5sin

8、(10d10 dd)(66 tttttuCti 圖圖7-3 在幻燈片放映時，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。例例7-1 已知已知C=0.5 F電容上的電壓波形如圖電容上的電壓波形如圖7-4(a)所示，所示， 試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時的電流試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時的電流iC(t),并畫并畫 出波形圖。出波形圖。 圖圖74 例例71 A1=A101d)2(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 2.當(dāng)當(dāng)1s t 3s時，時，uC(t)=4-2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)24(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 1.當(dāng)當(dāng)0 t 1s 時，時，

9、uC(t)=2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖74(a)波形，按照時間分段來進(jìn)行計算波形，按照時間分段來進(jìn)行計算圖圖74 例例71 3.當(dāng)當(dāng)3s t 5s時，時，uC(t)=-8+2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)28(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 4.當(dāng)當(dāng)5s t時，時，uC(t)=12-2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)212(d105 . 0dd)(66CC tttuCti圖圖74 例例71 根據(jù)以上計算結(jié)果，畫出圖根據(jù)以上計算結(jié)果，畫出圖74(b)所示的矩形波形。所示的矩形波形。 在已知電容電

10、流在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓的條件下，其電壓uC(t)為為 ) 37( d)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 其中其中 0 CCd)(1)0( iCu稱為電容電壓的初始值稱為電容電壓的初始值, ,它是從它是從t t=-=-到到t t=0=0時間范圍內(nèi)流過時間范圍內(nèi)流過電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。 式式(73)表示表示t0某時刻電容電壓某時刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的等于電容電壓的初始值初始值uc(0)加上加上t=0到到t時刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累時刻范圍

11、內(nèi)電容電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個直流電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個直流電壓源電壓源uc(0)和一個初始電壓為零的電容的串聯(lián)和一個初始電壓為零的電容的串聯(lián) 如圖如圖75所所示。示。) 37( d)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 圖圖75 從上式可以看出電容具有兩個基本的性質(zhì)從上式可以看出電容具有兩個基本的性質(zhì) (1)電容電壓的記憶性。電容電壓的記憶性。 從式（從式（73）可見，任意時刻）可見，任意時刻T電容電壓的數(shù)值電容電壓的數(shù)值uC(T)，要由從要由從- 到時刻到時刻T之間的

12、全部電流之間的全部電流iC(t)來確定。也就是說，來確定。也就是說，此時刻以前流過電容的任何電流對時刻此時刻以前流過電容的任何電流對時刻T 的電壓都有一定的電壓都有一定的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時刻的的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時刻的電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。 ) 37( d)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 例例72 電路如圖電路如圖76(a)所示，已知電容電流波形如圖所示，已知電容電流波形如圖76(b)所示，試求電容電壓所示，

13、試求電容電壓uC(t)，并畫波形圖。，并畫波形圖。 圖圖7-6解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖(b)波形的情況，按照時間分段來進(jìn)行計算波形的情況，按照時間分段來進(jìn)行計算 1當(dāng)當(dāng)t 0時，時，iC(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式7-3可以得到可以得到 ttiCtu 6 CC0d0102d)(1)( 2當(dāng)當(dāng)0 t1s時，時，iC(t)=1 A，根據(jù)式，根據(jù)式7-3可以得到可以得到 V2) s1( s1 220d10102)0(d)(1)(C 0 66C CC utttuiCtutt時時當(dāng)當(dāng) 圖圖7-6 3當(dāng)當(dāng)1s t3s時，時，iC(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式73可以得到可以得到 V2) s3( s3 2V=0+V2

14、d0102)1(d)(1)(C 1 6C CC utuiCtutt時時當(dāng)當(dāng) 4當(dāng)當(dāng)3s t5s時，時，iC(t)=1 A，根據(jù)式，根據(jù)式73可以得到可以得到 6V=4V+V2) s5( s5 3)2(+2d10102)3(d)(1)(C 3 66C CC uttuiCtutt時時當(dāng)當(dāng) 5當(dāng)當(dāng)5s t時，時，iC(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式73可以得到可以得到 6V0+V6d0102)5(d)(1)( 5 6C CC ttuiCtu 根據(jù)以上計算結(jié)果，可根據(jù)以上計算結(jié)果，可以畫出電容電壓的波形如圖以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見任意時刻電所示，由此可見任意時刻電容電壓的數(shù)值與此時刻以前

15、容電壓的數(shù)值與此時刻以前的全部電容電流均有關(guān)系。的全部電容電流均有關(guān)系。 例如，當(dāng)例如，當(dāng)1st3s時，電時，電容電流容電流iC(t)=0，但是電容電壓，但是電容電壓并不等于零，電容上的并不等于零，電容上的2V電電壓是壓是0t1s時間內(nèi)電流作用的時間內(nèi)電流作用的結(jié)果。結(jié)果。 圖圖7-6 圖圖77(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸出電壓波形憶性，使輸出電壓波形如圖如圖(b)中實線所示中實線所示保持輸入電壓保持輸入電壓uin(t)波形波形如圖如圖(b)中虛線所示中虛線所示中的峰值。中的峰值。 圖圖77 峰值檢波器電路的輸入輸出波形峰值檢波器

16、電路的輸入輸出波形 (2)電容電壓的連續(xù)性電容電壓的連續(xù)性 從例從例72的計算結(jié)果可以看出，電容電流的波形是不的計算結(jié)果可以看出，電容電流的波形是不連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個平滑連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個平滑的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即電容電流在閉區(qū)間電容電流在閉區(qū)間t1,t2有界時，電容電壓在開區(qū)間有界時，電容電壓在開區(qū)間(t1,t2)內(nèi)內(nèi)是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到證明。證明。 將將t=T和和t=T+dt代入

17、式代入式(63)中，其中中，其中t1Tt2和和t1T+dt0時，時，W(t)不可能為負(fù)值，電容不可能放出多于不可能為負(fù)值，電容不可能放出多于它儲存的能量，這說明電容是一種儲能元件。由于電容電它儲存的能量，這說明電容是一種儲能元件。由于電容電壓確定了電容的儲能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。壓確定了電容的儲能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。 從式從式(75)也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，這是因為電容電壓的躍變要伴隨電容儲存能量的躍變，在這是因為電容電壓的躍變要伴隨電容儲存能量的躍變，在電流有界的情況下，是不可能造成電場能量發(fā)生躍變和電電流有界的情況下，是不可

18、能造成電場能量發(fā)生躍變和電容電壓發(fā)生躍變的。容電壓發(fā)生躍變的。 )57()( 21)(2C tuCtW 若電容的初始儲能為零，即若電容的初始儲能為零，即u(t0)=0,則任意時刻儲存在則任意時刻儲存在電容中的能量為電容中的能量為 )57()( 21)(2C tuCtW 此式說明某時刻電容的儲能取決于該時刻電容的電壓此式說明某時刻電容的儲能取決于該時刻電容的電壓值，與電容的電流值無關(guān)。值，與電容的電流值無關(guān)。 電容電壓的絕對值增大時，電容儲能增加；電容電壓電容電壓的絕對值增大時，電容儲能增加；電容電壓的絕對值減小時，電容儲能減少。的絕對值減小時，電容儲能減少。 1. 1. 兩個線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)

19、絡(luò)，就其端口特性而言，兩個線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個線性電容，其等效電容的計算公式推導(dǎo)如下：等效于一個線性電容，其等效電容的計算公式推導(dǎo)如下： tuCtuCCtuCtuCiiidddd)( dddd212121 四、電容的串聯(lián)和并聯(lián)四、電容的串聯(lián)和并聯(lián)圖圖710 列出圖列出圖710(a) 的的KCL方程，代入電容的電壓電流關(guān)方程，代入電容的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系系，得到端口的電壓電流關(guān)系其中其中 6)(7 21 CCC 2. 兩個線性電容串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效兩個線性電容串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個線性電容，其等效電容的計算公式

20、推導(dǎo)如下：于一個線性電容，其等效電容的計算公式推導(dǎo)如下： 列出圖列出圖711(a) 的的KVL方程，代入電容的電壓電流關(guān)系，方程，代入電容的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系得到端口的電壓電流關(guān)系圖圖711 tttdiCdiCdiCtututu )(1)(1)(1)()()(2121其中其中 21111CCC 7)(7 2121CCCCC 由此求得由此求得 名名 稱稱時間時間 名名 稱稱時間時間 1 1電容的電壓電流波形電容的電壓電流波形4:162 2電感的電壓電流波形電感的電壓電流波形2:413 3回轉(zhuǎn)器變電容為電感回轉(zhuǎn)器變電容為電感2:42 根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像

21、。根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香 常用的幾種電感器常用的幾種電感器72 電電感感元件元件 如果一個二端元件在任一時刻，其磁通鏈與電流之間的如果一個二端元件在任一時刻，其磁通鏈與電流之間的關(guān)系由關(guān)系由i 平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電感元件。電感元件的符號和特性曲線如圖感元件。電感元件的符號和特性曲線如圖712(a)和和(b)所所示。示。 (a) 電感元件的符號電感元件的符號 (c) 線性時不變電感元件的符號線性時不變電感元件的符號 (b) 電感元件的特性曲線電感元件的特性曲線 (d) 線性時不變電感的特性曲線線性時不變電

22、感的特性曲線圖圖7-12一、一、 電感元件電感元件 其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電感元件稱為其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電感元件稱為線性電感元件，否則稱為非線性電感元件。線性時不變電線性電感元件，否則稱為非線性電感元件。線性時不變電感元件的符號與特性曲線如圖感元件的符號與特性曲線如圖(c)和和(d)所示，它的特性曲線所示，它的特性曲線是一條通過原點(diǎn)不隨時間變化的直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為是一條通過原點(diǎn)不隨時間變化的直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為)97( Li 式中的系數(shù)式中的系數(shù)L為常量，與直線的斜率成正比，稱為電為常量，與直線的斜率成正比，稱為電感，單位是亨感，單位是亨利利,用用H表示。表示。圖

23、圖7-12 實際電路中使用的電感線圈類型很多，電感的范圍變實際電路中使用的電感線圈類型很多，電感的范圍變化很大，例如高頻電路中使用的線圈容量可以小到幾個微化很大，例如高頻電路中使用的線圈容量可以小到幾個微亨亨( H ，1 H=10-6H) ,低頻濾波電路中使用扼流圈的電感可低頻濾波電路中使用扼流圈的電感可以大到幾亨。電感線圈可以用一個電感或一個電感與電阻以大到幾亨。電感線圈可以用一個電感或一個電感與電阻的串聯(lián)作為它的電路模型。在工作頻率很高的情況下，還的串聯(lián)作為它的電路模型。在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個電容來構(gòu)成線圈的電路模型，如圖需要增加一個電容來構(gòu)成線圈的電路模型，如圖713所示

24、。所示。 圖圖913 電感器的幾種電路模型電感器的幾種電路模型 二、電感的電壓電流關(guān)系二、電感的電壓電流關(guān)系 對于線性時不變電感元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)對于線性時不變電感元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到參考方向的情況下，可以得到)107(ddd)(ddd)( tiLtLittu 此式表明電感中的電壓與其電流對時間的變化率成正比，此式表明電感中的電壓與其電流對時間的變化率成正比，與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電感與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電感電壓與此時刻電流的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。電壓與此時刻電流的數(shù)值之間并沒有確定的約束

25、關(guān)系。 在直流電源激勵的電路中，磁場不隨時間變化在直流電源激勵的電路中，磁場不隨時間變化,各電壓電各電壓電流均不隨時間變化時，電感相當(dāng)于一個短路流均不隨時間變化時，電感相當(dāng)于一個短路(u=0)。 在已知電感電流在已知電感電流i(t)的條件下，用式的條件下，用式(710)容易求出其容易求出其電壓電壓u(t)。 例如例如L=1mH的電電感上，施加電流為的電電感上，施加電流為i(t)=10sin(5t)A時，時，其關(guān)聯(lián)參考方向的電壓為其關(guān)聯(lián)參考方向的電壓為 mV)5cos(50V)5cos(1050 d)5sin(10d10dd)(33tttttiLtu 電感電壓的數(shù)值與電感電流的數(shù)值之間并無確定的

26、關(guān)電感電壓的數(shù)值與電感電流的數(shù)值之間并無確定的關(guān)系，例如將電感電流增加一個常量系，例如將電感電流增加一個常量k，變?yōu)?，變?yōu)閕(t)=k+10sin5tA時，電感電壓不會改變，這說明電感元件并不具有電阻元時，電感電壓不會改變，這說明電感元件并不具有電阻元件在電壓電流之間有確定關(guān)系的特性。件在電壓電流之間有確定關(guān)系的特性。 例例75 電路如圖電路如圖714(a)所示，已知所示，已知L=5 H電感上的電流電感上的電流 波形如圖波形如圖714(b)所示，求電感電壓所示，求電感電壓u(t),并畫出波形圖。并畫出波形圖。圖圖714 例例75 2.當(dāng)當(dāng)0 t 3 s時，時，i(t)=2 103t，根據(jù)式，根

27、據(jù)式710可以得到可以得到 10mV=V1010d)102(d105dd)(336 tttiLtu解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖615(b)波形，按照時間分段來進(jìn)行計算波形，按照時間分段來進(jìn)行計算 1.當(dāng)當(dāng)t 0時，時，i(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式710可以得到可以得到 0d)0(d105dd)(6 ttiLtu圖圖714 例例75 3. 當(dāng)當(dāng)3 s t 4 s時，時， i(t)=24 103-6 103t，根據(jù)式，根據(jù)式710可以得到可以得到 mV30=V1030d)1061024(d105dd)(3336 tttiLtu 4. 當(dāng)當(dāng)4 s t 時，時，i(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式710可以得到可以得

28、到 0d)0(d105dd)(6 ttiLtu圖圖714 例例75 根據(jù)以上計算結(jié)根據(jù)以上計算結(jié)果，畫出相應(yīng)的波形，果，畫出相應(yīng)的波形，如圖如圖714(c)所示。所示。這說明電感電流為三這說明電感電流為三角波形時，其電感電角波形時，其電感電壓為矩形波形。壓為矩形波形。 圖圖714 在已知電感電壓在已知電感電壓uL(t)的條件下，其電流的條件下，其電流iL(t)為為 )117( d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)( 0 LL0 0 LL LL tttuLiuLuLuLti 其中其中 0 LLd)(1)0( uLi稱為電感電壓的初始值稱為電感電壓的初始值, ,它是從它是從t t=-=-到到t

29、 t=0=0時間范圍內(nèi)電感電時間范圍內(nèi)電感電壓作用于電感所產(chǎn)生的電流。壓作用于電感所產(chǎn)生的電流。 式式(711)表示表示t0的某時刻電感電流的某時刻電感電流iL(t)等于電感電流的初始等于電感電流的初始值值iL(0)加上加上t=0到到t時刻范圍內(nèi)電感電壓在電感中所產(chǎn)生電流時刻范圍內(nèi)電感電壓在電感中所產(chǎn)生電流之和，就端口特性而言，等效為一個直流電流源之和，就端口特性而言，等效為一個直流電流源iL(0)和一個和一個初始電流為零的電感的并聯(lián)，如圖初始電流為零的電感的并聯(lián)，如圖715所示。所示。)117( d)(1)0(d)(1)( 0 LL LL ttuLiuLti 圖圖715 從式從式(711)可

30、以看出電感具有兩個基本的性質(zhì)?？梢钥闯鲭姼芯哂袃蓚€基本的性質(zhì)。 (1)電感電流的記憶性。電感電流的記憶性。 從式（從式（68）可見，任意時刻）可見，任意時刻T電感電流的數(shù)值電感電流的數(shù)值iL(T)，要由從要由從- 到時刻到時刻T 之間的全部電壓來確定。之間的全部電壓來確定。 也就是說，此時刻以前在電感上的任何電壓對時刻也就是說，此時刻以前在電感上的任何電壓對時刻T的電感電流都有一份貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅的電感電流都有一份貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅取決于此時刻的電流或電壓完全不同，我們說電感是一種取決于此時刻的電流或電壓完全不同，我們說電感是一種記憶元件。記憶元件。)117( d

31、)(1)0(d)(1)( 0 LL LL ttuLiuLti 例例76電路如圖電路如圖716(a)所示，電感電壓波形如圖所示，電感電壓波形如圖716(b)所所示，試求電感電流示，試求電感電流i(t),并畫波形圖。并畫波形圖。圖圖716解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖(b)波形，按照時間分段來進(jìn)行積分運(yùn)算波形，按照時間分段來進(jìn)行積分運(yùn)算 1.當(dāng)當(dāng)t0時，時，u(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式711可以得到可以得到 ttuLti 3 L0Ad0102d)(1)( 2.當(dāng)當(dāng)0t1s時，時，u(t)=1mV，根據(jù)式，根據(jù)式711可以得到可以得到 A2) s1( s1 A220d10102)0(d)(1)(L 0 33L

32、 L itttAiuLtitt時時當(dāng)當(dāng) 圖圖716 3.當(dāng)當(dāng)1st2s時，時，u(t)=-1mV，根據(jù)式，根據(jù)式711可以得到可以得到 4.當(dāng)當(dāng)2st3s時，時，u(t)=1mV，根據(jù)式，根據(jù)式711可以得到可以得到 A0) s2( s2 A)1(2A2d10102)1(d)(1)(L 1 33L L ittiuLtitt時時當(dāng)當(dāng) A2) s3( s3 A)2(20d10102)2(d)(1)(L 2 33L L ittiuLtitt時時當(dāng)當(dāng) 5.當(dāng)當(dāng)3st0時，電感吸收功率；當(dāng)時，電感吸收功率；當(dāng)p0時，電感發(fā)出功率。時，電感發(fā)出功率。 電感在從初始時刻電感在從初始時刻t0到任意時刻到任意時

33、刻t時間內(nèi)得到的能量為時間內(nèi)得到的能量為 )( )( 022 0000)()(21 )()()(),(tititttttitiLidiLdddiiLdpttW 若電感的初始儲能為零，即若電感的初始儲能為零，即i(t0)=0,則任意時刻儲存在則任意時刻儲存在電感中的能量為電感中的能量為 )137()(21)(2L tLitW 此式說明某時刻電感的儲能取決于該時刻電感的電流此式說明某時刻電感的儲能取決于該時刻電感的電流值，與電感的電壓值無關(guān)。電感電流的絕對值增大時，電值，與電感的電壓值無關(guān)。電感電流的絕對值增大時，電感儲能增加；電感電流的絕對值減小時，電感儲能減少。感儲能增加；電感電流的絕對值減小

34、時，電感儲能減少。 由于電感電流確定了電感的儲能狀態(tài)，稱電感電流為由于電感電流確定了電感的儲能狀態(tài)，稱電感電流為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量。 從式從式(713)也可以理解為什么電感電流不能輕易躍變，也可以理解為什么電感電流不能輕易躍變，這是因為電感電流的躍變要伴隨電感儲存能量的躍變，在這是因為電感電流的躍變要伴隨電感儲存能量的躍變，在電壓有界的情況下，是不可能造成磁場能量發(fā)生突變和電電壓有界的情況下，是不可能造成磁場能量發(fā)生突變和電感電流發(fā)生躍變的。感電流發(fā)生躍變的。四、電感的串聯(lián)和并聯(lián)四、電感的串聯(lián)和并聯(lián) 1. 兩個線性電感串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效兩個線性電感串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而

35、言，等效于一個線性電感，其等效電感的計算公式推導(dǎo)如下：于一個線性電感，其等效電感的計算公式推導(dǎo)如下： tiLtiLLtiLtiLuuudddd)( dddd212121 其中其中 )147( 21 LLL 列出圖列出圖718(a)的的KVL方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，得到端口電壓電流關(guān)系得到端口電壓電流關(guān)系圖圖718 2. 兩個線性電感并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效兩個線性電感并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個線性電感，其等效電感的計算公式推導(dǎo)如下：于一個線性電感，其等效電感的計算公式推導(dǎo)如下： 其中其中 列出圖列出圖719(a)單口網(wǎng)絡(luò)的單口網(wǎng)絡(luò)

36、的KCL方程，代入電感的電壓方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系圖圖719 tttduLduLduLtititi )(1)(1)(1)()()(212121111LLL )157( 2121 LLLLL由此求得由此求得 Li ttuLiuLti 0 LL LLd)(1)0(d)(1)( )0()0(LL ii)(21)(2LtLitW Cuq tuCtqtidddd)( ttiCuiCtu 0 CC CCd)(1)0( d)(1)( )0()0(CC uu)( 21)(2CtuCtW tiLttudddd)( 二端電阻，二端電容和二端電感是三種最

37、基本的電路元件。二端電阻，二端電容和二端電感是三種最基本的電路元件。它們是用兩個電路變量之間的關(guān)系來定義的。這些關(guān)系從下它們是用兩個電路變量之間的關(guān)系來定義的。這些關(guān)系從下圖可以清楚看到。在四個基本變量間定義的另外兩個關(guān)系是圖可以清楚看到。在四個基本變量間定義的另外兩個關(guān)系是tttuttqtid)(d)(d)(d)( 四個基本電路變量之間的關(guān)系四個基本電路變量之間的關(guān)系 亨利亨利是一個美國物理學(xué)家，他發(fā)明了電感是一個美國物理學(xué)家，他發(fā)明了電感和制造了電動機(jī)。和制造了電動機(jī)。 他比他比法拉第法拉第先發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，電感的先發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，電感的單位是用他的名字命名的。單位是用他的名字命名的。

38、 Michael Faraday (17911867)法拉第是英國化學(xué)家和物理學(xué)家，1931年發(fā)現(xiàn)的電磁感應(yīng)定律是工程上的一個主要突破。 法拉第法拉第是一個英國化學(xué)家和物理學(xué)家，他是一個是一個英國化學(xué)家和物理學(xué)家，他是一個最偉大的實驗家。最偉大的實驗家。 他在他在1931年發(fā)現(xiàn)的電磁感應(yīng)是工程上的一個重要突年發(fā)現(xiàn)的電磁感應(yīng)是工程上的一個重要突破，電磁感應(yīng)提供了產(chǎn)生電的一種方法。電磁感應(yīng)是破，電磁感應(yīng)提供了產(chǎn)生電的一種方法。電磁感應(yīng)是電動機(jī)和發(fā)電機(jī)的工作原理。電容的單位電動機(jī)和發(fā)電機(jī)的工作原理。電容的單位(farad)用他用他的名字命名是他的榮譽(yù)。的名字命名是他的榮譽(yù)。 名名 稱稱時間時間 名名

39、 稱稱時間時間 1 1電容的電壓電流波形電容的電壓電流波形4:162 2電感的電壓電流波形電感的電壓電流波形2:413 3回轉(zhuǎn)器變電容為電感回轉(zhuǎn)器變電容為電感2:42 根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香73 動態(tài)電路的電路方程動態(tài)電路的電路方程 含有儲能元件的動態(tài)電路中的電壓電流仍然含有儲能元件的動態(tài)電路中的電壓電流仍然受到受到KCL、KVL的拓?fù)浼s束和元件特性的拓?fù)浼s束和元件特性VCR的約的約束。一般來說，根據(jù)束。一般來說，根據(jù)KCL、KVL和和VCR寫出的電寫出的電路方程是一組微分方程。路方程是一組微分方程。 由一階微分方

40、程描述的電路稱為一階電路。由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。 由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。 由由n階微分方程描述的電路稱為階微分方程描述的電路稱為n階電路。階電路。例例78 列出圖列出圖720所示電路的一階微分方程。所示電路的一階微分方程。 圖圖7-20 得到得到 )177()()(d)(dSCCtututtuRC 這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，圖這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，圖(a)是一階電路。是一階電路。 在上式中代入在上式中代入:ttuCtid)(d)(C )()()()()(CCRStutRitututu 解：對于圖解：對于圖(a)所

41、示所示RC串聯(lián)電路，可以寫出以下方程串聯(lián)電路，可以寫出以下方程 圖圖7-20 對于圖對于圖(b)所示所示RL并聯(lián)電路，可以寫出以下方程并聯(lián)電路，可以寫出以下方程 )()()()()(LLLRStitGutititi 在上式中代入在上式中代入 ：ttiLtud)(d)(LL 得到得到)187()()(d)(dSLL titittiGL 這是常系數(shù)非齊次一階微分方程。圖這是常系數(shù)非齊次一階微分方程。圖(b)是一階電路。是一階電路。 圖圖7-20例例7-9 電路如圖電路如圖721(a)所示，以所示，以iL為變量列出電路的微分為變量列出電路的微分 方程。方程。 圖圖7-21解一：列出網(wǎng)孔方程解一：列出

42、網(wǎng)孔方程 (2) 0dd(1) )(L2L12SL2121iRtiLiRuiRiRR 由式由式(2)求得求得 LL21dditiRLi 代入式代入式(1)得到得到 SL2L21L221)(dd)(uiRiRRtiRLRR 整理整理)197(dd)(SL1L221 uiRtiRLRR解二：將含源電阻單口用諾頓等效電路代替，得到圖解二：將含源電阻單口用諾頓等效電路代替，得到圖(b)電電 路，其中路，其中1SSC2121o RuiRRRRR 圖圖7-21 圖圖721(b)電路與圖電路與圖720(b)電路完全相同，直接引用電路完全相同，直接引用式式718可以得到可以得到 1SL2121dd)(Ruit

43、iRRLRRL 此方程與式此方程與式719相同，這是常系數(shù)非齊次一階微分方相同，這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，圖程，圖(a)是一階電路。是一階電路。 圖圖7-21例例7-10 電路如圖電路如圖7-22(a)所示，以所示，以uC(t)為變量列出電路的微為變量列出電路的微 分方程。分方程。 解一：列出網(wǎng)孔方程解一：列出網(wǎng)孔方程 0)()(CC3212SC2121uiRRiRuiRiRR圖圖7-22 補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程 tuCiddCC 得到以得到以i1(t)和和uC(t)為變量的方程為變量的方程 (2) 0dd)(1) dd)(CC3212SC2121utuCRRiRutuCRiRR 0)()(CC

44、3212SC2121uiRRiRuiRiRR 將將 i1(t)代入式代入式(1)，得到以下方程，得到以下方程 )207(dd)(S212CC21213 uRRRutuCRRRRR 這是以電容電壓為變量的一階微分方程。這是以電容電壓為變量的一階微分方程。 從式從式(2)中寫出中寫出i1(t)的表達(dá)式的表達(dá)式 C2C23211dd)(uRtuRCRRi 圖圖7-22解二：將連接電容的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧等效電路解二：將連接電容的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧等效電路 代替，得到圖代替，得到圖(b)所示電路，其中所示電路，其中 S212oc21213ouRRRuRRRRRR 圖圖722(b)電路與圖電

45、路與圖720(a)相同，直接引用式相同，直接引用式717可以可以所得到與式所得到與式720相同的的微分方程。相同的的微分方程。 圖圖7-22例例7-11 電路如圖電路如圖7-23所示，以所示，以uC(t)為變量列出電路的微分為變量列出電路的微分 方程。方程。 解：以解：以iL(t)和和iC(t)為網(wǎng)孔電流，列出網(wǎng)孔方程為網(wǎng)孔電流，列出網(wǎng)孔方程 0)(ddCC1L1SC1L21LuiRiRuiRiRRtiL圖圖7-23 0)(ddCC1L1SC1L21LuiRiRuiRiRRtiL 代入電容的代入電容的VCR方程方程 tuCiddCC 得到以得到以iL(t)和和uC(t)為變量的方程為變量的方程

46、 )2( 0dd)1( dd)(ddCC1L1SC1L21LutuCRiRutuCRiRRtiL 從式從式(2)得到得到 C1CL1dduRtuCi 將將iL(t)代入式代入式(1)中中SC1C121C21C12C2dd)(dd)(ddddutuCRuRRRtuCRRtuRLtuLC 經(jīng)過整理得到以下微分方程經(jīng)過整理得到以下微分方程 SC121C212C2)(dd)(dduuRRRtuCRRLtuLC 這是常系數(shù)非齊次二階微分方程，圖示電路是二階電路。這是常系數(shù)非齊次二階微分方程，圖示電路是二階電路。 圖圖7-23 L7-11s Circuit Data 元件 支路 開始 終止 控制 元 件

47、元 件 類型 編號 結(jié)點(diǎn) 結(jié)點(diǎn) 支路 符 號 符 號 V 1 1 0 Us L 2 1 2 L R 3 2 3 R1 C 4 2 3 C R 5 3 0 R2 獨(dú)立結(jié)點(diǎn)數(shù)目 = 3 支路數(shù)目 = 5 - 結(jié) 點(diǎn) 電 壓 , 支 路 電 壓 和 支 路 電 流 - R1Us U4 (S)= - R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1 R1SCUs+Us I2 (S)= - R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1 * 符 號 網(wǎng) 絡(luò) 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成電 七系-胡翔駿 *)()()(d)(d)(d)(dS1C21C2122C1tuRtuRRttuCRRLtt

48、uLCR )(d)(d)()(d)(d)(d)(dSS1L21L2122L1tuttuCRtiRRttiCRRLttiLCR 名名 稱稱時間時間 名名 稱稱時間時間 1 1電容的電壓電流波形電容的電壓電流波形4:162 2電感的電壓電流波形電感的電壓電流波形2:413 3回轉(zhuǎn)器變電容為電感回轉(zhuǎn)器變電容為電感2:42 根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香74 電路應(yīng)用，電路實驗和計算機(jī)分析電路實例電路應(yīng)用，電路實驗和計算機(jī)分析電路實例 首先證明端接電容器的回轉(zhuǎn)器等效為一個電感，再介紹由兩個運(yùn)算放大器構(gòu)成的回轉(zhuǎn)器可以將一個0.2F電

49、容變?yōu)?.2H的電感。然后介紹利用計算機(jī)程序來建立動態(tài)電路的微分方程。最后介紹用雙蹤示波器觀察電容和電感電壓電流波形的實驗方法。 例713 證明圖725所示單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個電感。 一、回轉(zhuǎn)器的應(yīng)用 圖7-25 在第五章中介紹了回轉(zhuǎn)器的電壓電流關(guān)系，現(xiàn)在介紹回轉(zhuǎn)器可以將電容變換為電感，這在集成電路設(shè)計中十分有用。 聯(lián)立求解以上方程得到單口網(wǎng)絡(luò)的電壓電流關(guān)系 列出電容的電壓電流關(guān)系 解： 列出回轉(zhuǎn)器的電壓電流關(guān)系 圖7-25 1221GuiGui tCiCutuCtuCii d1dddd222C2 tttuLuCGiCGGui d1dd112221以上計算證明了回轉(zhuǎn)器輸出端接一個電容，其輸入端的

50、特性等效為一個電感，其電感值為 21)(7 2 GCL當(dāng)回轉(zhuǎn)電導(dǎo)等于1時，電感值與電容值相同。 圖7-25例714 含運(yùn)算放大器的單口網(wǎng)絡(luò)如圖726所示，假如運(yùn)算放大器工作于線性區(qū)域，證明單口網(wǎng)絡(luò)的特性等效為一個L=0.2H的電感。 圖726解: 在例58中已經(jīng)證明了圖726中的雙口網(wǎng)絡(luò)可以實現(xiàn)回轉(zhuǎn)器的特性，其回轉(zhuǎn)電導(dǎo)為RG1 將R=1k代入上式得到回轉(zhuǎn)電導(dǎo)為G=-10-3S，將G=-10-3S和C=0.2F代入式(721)0.2HH10100.2662 GCL計算表明圖726的單口網(wǎng)絡(luò)的確等效為L=0.2H的電感。請觀看教材光盤中的“回轉(zhuǎn)器變電容為電感” 實驗錄像。 在幻燈片放映時，請用鼠標(biāo)

51、單擊圖片放映錄像。二、計算機(jī)輔助電路分析 動態(tài)電路分析的基本方法是建立并求解微分方程，而用筆算方法列出高階動態(tài)電路的微分方程是十分困難的事情。符號網(wǎng)絡(luò)分析程序SNAP可以計算動態(tài)電路電壓電流的頻域表達(dá)式，由此可以寫出電路的微分方程，下面舉例說明。例715 利用SNAP程序列出圖727(a)電路的微分方程。 圖727解: 運(yùn)行SNAP程序，讀入圖727(b)所示電路數(shù)據(jù)，計算電容電壓，電感電流和電感電壓，得到以下結(jié)果。 L7-15 Circuit Data 元件 支路 開始 終止 控制 元 件 元 件 類型 編號 結(jié)點(diǎn) 結(jié)點(diǎn) 支路 符 號 符 號 V 1 1 0 Us L 2 1 2 L C 3

52、 2 3 C R 4 2 3 R1 R 5 3 0 R2 獨(dú)立結(jié)點(diǎn)數(shù)目 = 3 支路數(shù)目 = 5 - 結(jié) 點(diǎn) 電 壓 , 支 路 電 壓 和 支 路 電 流 - R1Us U3 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCUs+Us I2 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCSLUs+SLUs U2 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1* 符 號 網(wǎng) 絡(luò) 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成電 七系-胡翔駿 *2121211C)()(RRsLCRRLCsRURsUS S121C212C21)(dd)(ddu

53、RRRtuLCRRtuLCR 由此可寫出微分方程 L7-15 Circuit Data 元件 支路 開始 終止 控制 元 件 元 件 類型 編號 結(jié)點(diǎn) 結(jié)點(diǎn) 支路 符 號 符 號 V 1 1 0 Us L 2 1 2 L C 3 2 3 C R 4 2 3 R1 R 5 3 0 R2 獨(dú)立結(jié)點(diǎn)數(shù)目 = 3 支路數(shù)目 = 5 - 結(jié) 點(diǎn) 電 壓 , 支 路 電 壓 和 支 路 電 流 - R1Us U3 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCUs+Us I2 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCSLUs+SLUs U2 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1* 符 號 網(wǎng) 絡(luò) 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成電 七系-胡翔駿 *SSS121