(課標(biāo)通用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)與解三角形4.5三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)學(xué)案理

1、 4.5三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)考綱展示？1.能畫出y = sin x, y= cos x, y = tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.n n2 .借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2 n ，正切函數(shù)在兀,2上的性質(zhì).考點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域與值域第四步罔顧根底正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k Z).函數(shù)y= siny= cos xy= tan x圖象i0)的最大值是3，那么它的最小值是 .答案：1解析：依題意，得 A+ 1 = 3，所以A= 2,所以函數(shù)y= 2sin x+ 1的最小值為1 2= 1.(2) 教材習(xí)題改編不等式2cos x1的解集為 .答案：n.n.x + 2k

2、nvX1，即cos x2，作出 y cos x的圖象(圖略)，得解集為nnx + 2k nx3 + 2kn, k Z求三角函數(shù)最值(值域)的兩種方法：化為3 3y = Asin( x+ 0 )的形式來求；換元法._ nn(1) 2021 天津卷改編函數(shù)f(x) = sin 2x在區(qū)間0,上的最小值為答案：二2解析：由 x 0, 2 ，得 2x-4 4 ,4,所以 sin 2x 4 丐,1 ,nn 2故函數(shù)f(x) = sin 2x 在區(qū)間0,上的最小值為一 牙. x , ，那么函數(shù)y = cos2x+ cos x+ 1的最小值為答案：1 $22解析：21 2 5y = cos x + cos

3、x + 1 = cos x+ ，令 t cos x,24n 3 n22因?yàn)?x ,，所以一0,解析要使函數(shù) y = lg(2sinx 1) + 1 2cos x有意義，那么即1 2cos x0,sin x2,1 cos x 2.n5 n解得 2k n+ 3 x2kn + w , k Z.n5 n即函數(shù)的定義域?yàn)?k 3, 2k n+育,k 乙n x n 函數(shù)y = 2sin 3 (0 0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中2 n,1.函數(shù)y= -sin x-cos x的定義域?yàn)榇鸢福簄5 nx 2k 4 三 x 2k n+ 4，k Z所以原函數(shù)的定義域?yàn)閚5 nx 2kn+ T 三 xFk 冗 + ,

4、k Z.解法二：利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊 范圍如圖陰影局部所示n5 n疋義域?yàn)閤2k n+4 x W2kn + ，k Z解法三:sinx cos x = 2sin7tnn將x視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y = sin x的圖象和性質(zhì)可知，2k n x壬Wn +2k n( k Z),n5 n解得 2k n+ xW2 kn ( k Z).4 4n5 n所以定義域?yàn)?x 2kn + 0,函數(shù) f(x) = sin ox + 在7t,2,n上單調(diào)遞減，那么 o的取值范圍是A.12,B.1 32，4C.0,D.(0,2答案解析由才v xvn得專ncoV wx + Vn o+_7,4447t7t由題

5、意知713n，Tt n5co 4,應(yīng)選 A.點(diǎn)石成金1.求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y= Asin( ox+ 0 )的形式，再求y= Asin( cox+ 0 )的單調(diào)區(qū)間，只需把 cox+ 0看作一個(gè)整體代入 y = sin x的相 應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把 co化為正數(shù).2 .三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法(1) 子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組) 求解.(2) 反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單 調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解.1(3) 周期性：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)

6、對(duì)稱中心的距離不超過4周期列不等式(組)求解.3 假設(shè)是選擇題利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷第働步跟蹤訓(xùn)練n求函數(shù)f(x) = sin 2x+ 的單調(diào)減區(qū)間.n解：由可得，函數(shù)為 y = sin 2x ,n欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求 y = sin 2x的單調(diào)增區(qū)間.rnnn由 2k n 2 x 2 k n+ , k Z,“口n5 n得 k n 12 x0, O 0).假設(shè) f (x)在區(qū)間n上具有單調(diào)性，且f = f2n3n=f ，貝U f (x)的最小正周期為答案7t解析/f (x)在區(qū)間ny上具有單調(diào)性，所以2n=f V，n2 n所以X=2和x =-亍均不是f (x)的對(duì)稱軸,n 2

7、n 其對(duì)稱軸應(yīng)為x =琴7n72，nn又因?yàn)閒=f 6，且f (x)在區(qū)間兀 nr上具有單調(diào)性,所以f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為n+ 26 n27t故函數(shù)f(x)的最小正周期角度二求二角函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心典題4co 0,0 V 0 Vn,直線f(x) = sin(COX + 0 )的圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，那么0 =(nA. 7nB.可3n D?答案A解析2 n 5 n nV= 2 V T，即 3 =1，f (x) = sin( x +0 ),= 1.n 5 n0+g r，7t4 n如果函數(shù) y = 3cos(2 x + 0 )的圖象關(guān)于點(diǎn) ,0中心對(duì)稱，那么| 0 |的最小值為3答案

8、解析4 n由題意，得3cos 2 x + 032n=3cos -3- + 0 + 2 n = 3cos32n + 0 = 0,2n亍+n0 = k n + , k Z,n 0 = k n , k Z,n取k = 0，得| 0 |的最小值為.角度三三角函數(shù)的奇偶性典題5函數(shù)f(x) = sin(x+ e)+ * 3cos( x + e) e 是偶函數(shù)，那么e的值為(A. 0nD. 答案解析據(jù)可得f (x) = 2sinn x+ e+ 亍，假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù),那么必有e(k Z),又由于n，故有e解得e =n，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意.6點(diǎn)石成金函數(shù)f (x) = Asin( 3X +0 )的奇偶性和對(duì)稱

9、性(1) 假設(shè)f (x) = Asin( +0 )為偶函數(shù)，那么當(dāng)x = 0時(shí)，f(x)取得最大值或最小值；假設(shè)f (x)=Asin( wx+ 0)為奇函數(shù)，那么當(dāng) x= 0 時(shí)，f(x) = 0.(2) 對(duì)于函數(shù)y= Asin( x+0),其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x= xo或點(diǎn)(xo,0)是不是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢測(cè)f (Xo)的值進(jìn)行判斷.(3) 求形如y= Asin( wx+ 0 )或y= Acos( cox+ 0)的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，都是把3x+ 0 看作一個(gè)整體，然后根據(jù)y = sin x和y= cos

10、x的圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心進(jìn)行求解.第圜步課堂歸納感悟提升方法技巧1.討論三角函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y= Asin( x + 0 )( 0)的形式.2 對(duì)于函數(shù)y = sin( x+ 0 )的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等)可以通過換元的方法令t =x+0，將其轉(zhuǎn)化為研究 y = sin t的性質(zhì).2n3. 函數(shù) y= Asin( cox + 0 )和y = Acos( cox + 0 )的最小正周期為 T=，函數(shù) y =丨o丨tan( cox + 0 )的最小正周期為4. 三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y = Asin ox或y = Atan cox的形式，而偶函數(shù)一般可 化為

11、y = Acos cox + b的形式.5. 在判斷對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，用以下結(jié)論可快速解題：設(shè) f (x) = Asin( cox + 0 ), g(x) = Acos( cox + 0 ) , x= xo 是對(duì)稱軸方程? f (xo) = A, g( xo) = A； (Xo,0)是對(duì)稱中心? f (xo) = o, g(Xo) = o.易錯(cuò)防范1閉區(qū)間上的最值或值域問題，首先要在定義域根底上分析單調(diào)性，含參 數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響.2. 求函數(shù)y= Asin( ox+ 0 )的單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意 o的符號(hào)，盡量化成 o 0時(shí)的情況.1. 2021 四川卷以下函數(shù)中，最小正周期

12、為n且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是()nA. y= cos 2x+ 2nB. y= sin 2x + C. y= sin 2 x + cos 2 xD. y= sin x+ cos x答案：A解析：y = cos 2x + 2 = sin 2 x,最小正周期 T= 2- =n，且為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于n原點(diǎn)對(duì)稱，故 A正確；y= sin 2x + - = cos 2x，最小正周期為 n,且為偶函數(shù)，其圖象關(guān)n k n于-+-廠,0對(duì)稱，故B不正確；C, D均為非奇非偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C,D不正確.22. 2021 浙江卷設(shè)函數(shù)f(x) = sin x + bsin x+ c,那么f(x

13、)的最小正周期()A. 與b有關(guān)，且與 c有關(guān)B. 與b有關(guān)，但與c無(wú)關(guān)C. 與b無(wú)關(guān)，且與 c無(wú)關(guān)D. 與b無(wú)關(guān)，但與c有關(guān)答案：B21 cos 2 x解析：由于 f (x) = sin x+ bsin x + c=+ bsin x+ c.當(dāng) b = 0 時(shí)，f (x)的最小正周期為n;當(dāng)b0時(shí)，f(x)的最小正周期為2n. c的變化會(huì)引起f(x)圖象的上下平移，不會(huì)影響其最小正周期.應(yīng)選B.nn3. 2021 新課標(biāo)全國(guó)卷I 函數(shù) f(x) = sin( x+0) co 0, |, x = 一為24nn 5 nf (x)的零點(diǎn)，x=為y = f (x)圖象的對(duì)稱軸，且f (x)在18, 3

14、6上單調(diào)，那么 o的最大值為( )A. 11B. 9C. 7D. 5答案：Bnnn kT T解析：因?yàn)閤 = 4為函數(shù)f (x)的零點(diǎn)，x= 4為y= f (x)圖象的對(duì)稱軸，所以 = + n (k乙T為周期)，得T= 2(k Z).又f (x)在 畚 詈 上單調(diào)，所以Tnn, kw號(hào).又 當(dāng) k = 5 時(shí)，O = 11, 0=n，f(x)在氏，妥 上不單調(diào)；當(dāng) k = 4 時(shí)，o = 9, 0 =n，f (x)418364n 5 n在18， 36上單調(diào)，滿足題意，故o = 9，即o的最大值為9.4. 2021 浙江卷函數(shù)f (x) = sin 2x+ sin xcos x + 1的最小正周

15、期是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是.3 n答案：n k n , k n+ 78n(k Z)解析：t f(x) = sin 2x + sinxcos x+11 - COS 2；sin22 x+ 11=2sin 21x-gCOS 23x+ 27t函數(shù)f(x)的最小正周期T=n.nn 3 n令-+ 2k nW2x W + 2k n, k Z,3 n7 n解得kn + w x k n +(k Z),故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為8 83 n7 nk n+ , k n+ ( k Z).8 8n5. 2021 重慶卷函數(shù) f(x) = sin x sin x3cos2x.(1) 求f (x)的最小正周期和最大值；n

16、 2 n(2) 討論f (x)在 ，丁 上的單調(diào)性.n廠 2解：(1) f (x) = sin x sin x 3cos x=cos xsin x 亍(1 + cos 2 x)=知 2 x-fcos 2 x =sin 2x 于#,因此f(x)的最小正周期為rn 2 n ,n當(dāng) x ,時(shí)，0W2 x3Wn.當(dāng)0W2x寸w n，即xw 駕時(shí)，f (x)單調(diào)遞增；nn5 n2 n當(dāng)W2x Wn,即卩 石 W x Wg 時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.n 5 n5 n 2 n綜上可知，f(x)在 ,12上單調(diào)遞增；在12，亍 上單調(diào)遞減.一課外拓展閱讀_三角函數(shù)的最值問題三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)中最根本的問

17、題，是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容， 對(duì)于這類問題如果能找到恰當(dāng)?shù)姆椒?，掌握其?guī)律，就可以簡(jiǎn)捷地求解.前面考點(diǎn)3中介紹了兩種類型，還有如下幾種常見類型.21. y= asin x + bsin x+ c型函數(shù)的最值2 2可將 y= asin x+ bsin x + c 中的 sin x 看作 t，即令 t = sin x，貝U y= at + bt + c,這樣 就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題但這里應(yīng)注意換元前后變量的取值范圍要保持不變，即要根2 2據(jù)給定的 x的取值范圍，求出 t的范圍.另外，y = acos x+ bcos x + c, y= as in x + bcos x +c等形式的函數(shù)

18、的最值都可歸為此類.n 2 n典例 1 設(shè) x , ，求函數(shù) y= 4sin 2x 12sin x 1 的最值.思路分析n 2 n1令t = sin x, x 6, -3-t 2，1t求得y = 4t2 12t 1的最值，即原函數(shù)的最n 2 n解令 t = sin x，由于 x , 1 故 t , 1 .23 2y = 4t 12t 1 = 4 t 10,1因?yàn)楫?dāng)t 2, 1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，1 n所以當(dāng) t =一7，即 卩 x= 時(shí)，ymax= 6；2 6n當(dāng) t = 1，即 x = 2時(shí)，ymin = 9.222. y= as in x + bsin xcos x+ ccos x 型函數(shù)的

19、最值可利用降幕公式21 cos 2 x21 + cos 2 xsin 2 xsin x=2, cos x=2, sin xcos x=將 y =asin 2x + bsin xcosx+ ccos2x 整理轉(zhuǎn)化為 y = Asin 2 x + Bsos 2 x + C求最值.典例2n求函數(shù) y = sin x(cos x sin x) 0x4 的最大值.思路分析解=siny = sin x(cos x sin x) 2 xcos x sin x1 cos 2 x x=2(sin 2x+ cos 21x) 2韋sinn2x+4i2.nn 3 n因?yàn)閛x肓，所以72x+ 77tn nnI2 1所以

20、當(dāng) 2x + 4 = 2，即 x = 8 時(shí)，ymax=23 - y= X型函數(shù)的最值此類題目的特點(diǎn)是分子或分母中含有sin x或cos x的一次式的形式，一般可將其化為f(y)=sin( 3x+0 )的形式，然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.I3cos x典例3求函數(shù)y = 2二的最值思路分析，得 ysin xa/3cos x = 2y,所以 y2+ 3sin( x 0 ) = 2y(其中0為輔助角),所以 sin( x 0 ) =，又|sin( x 0 )| w 1,所以2y 2y 2帀 + 3 1，了+ 3 1，解得一1 W yw 1 ,故 ymax= 1 , ymin= 1.4. y= a(sinx cos x) + bsin xcos x + c 型函數(shù)的最值對(duì)于 y= a(sinx+ cos x) + bsin xcos x+ c,令 sin x + cos x = t, t 2,2 ,因?yàn)?sin2t2 1x + cos x) = 1 + 2sin xcos x，所以 sin xcos x = ，那么函數(shù)就變?yōu)閥 = at +t2 1卜c的形式，因此，此類函數(shù)的最值也可通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.對(duì)于形如y = a(si