(課標(biāo)通用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)不等式選講學(xué)案理選修45

1、選修4 - 5不等式選講考綱展示？1.理解絕對(duì)值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對(duì)值三角不等式證明一些簡 單的絕對(duì)值不等式.2 .掌握 | ax+ b| w c, | ax+ b| c, | x a| + | x b| c 型不等式的解法.3 了解證明不等式的根本方法：比擬法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能用它 們證明一些簡單不等式.考點(diǎn)1含絕對(duì)值不等式的解法第冊(cè)顧根底1.絕對(duì)值三角不等式(1) 定理1：如果a, b是實(shí)數(shù)，那么|a+ b| w 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立;性質(zhì)：|a| | b| w| a b| 0(3)| a b| +1 b c|(a b)( b c) 02 .絕對(duì)

2、值不等式的解法(1) 含絕對(duì)值的不等式| x| a的解法不等式a0a= 0a0|x| aR(2) | ax+ b| w c( c0)和 | ax+ b| c( c0)型不等式的解法 | ax+ b| w c? ； | ax+ b| c? .(3) | x a| +1 x b| c(c0)和 | x a| +1 x b| w c( c0)型不等式的解法解法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想；解法二：利用“零點(diǎn)分段法求解，表達(dá)了分類討論的思想；解法三：通過構(gòu)造函數(shù)，禾U用函數(shù)的圖象求解，表達(dá)了函數(shù)與方程的思想.答案：(1) x| axa，或 x c 或 ax+ b5.解解法一

3、：如圖，設(shè)數(shù)軸上與一 2,1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是 A, B,那么不等式的解就是數(shù)軸 上到 代B兩點(diǎn)的距離之和不小于 5的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).顯然，區(qū)間 2,1不是不等式的解 集把A向左移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn) A,此時(shí)| AiA| + | AB = 1+ 4= 5.把點(diǎn)B向右移動(dòng)一個(gè)單位到 點(diǎn)B,此時(shí)| BA| + | BB = 5，故原不等式的解集為一R, 3 U 2 , +.Ax AB BI _4-3-2-|01234解法二：原不等式|x 1| + |x + 2| 5 ?xw 2, 2x5 x 1 + x+ 25x 1,或x 1 + x + 2 5,解得x2或xw 3,原不等式的解集為(一R, 3 U 2

4、,+). 解法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x 1| + | x + 2| 50 .令 f(x) = | x 1| + |x+ 2| 5,2x 6, xw 2,那么 f (x) = 2, 2x 1.作出函數(shù)的圖象如下圖.由圖象可知，當(dāng)原不等式的解集為(8, 3 U 2 ,+).點(diǎn)石成金形如| x a| + | x b| c(或w c)型的不等式主要有三種解法:(1) 分段討論法，利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(, a , (a, b, (b,+8)(此處設(shè)ac(c0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)xi = a和X2= b的距離之和大于c的全體；(3) 圖象法：作出函數(shù) yi=|x a| + | x

5、 b|和y2= c的圖象，結(jié)合圖象求解.第風(fēng)步跟蹤訓(xùn)練x解不等式 |x+ 3| |2x 1| 2 + 1.解：當(dāng)x 3時(shí)，x 原不等式化為一(x+ 3) (1 2x) 2+ 1,解得 x 10, x 3.1 當(dāng)一3 x 2時(shí)，x原不等式化為(x+ 3) (1 2x) 2+ 1, e2解得x 2時(shí)，x原不等式化為(x+ 3) (2x 1) v 2+ 1,解得 x2,. x2.2綜上可知，原不等式的解集為xx2.5考點(diǎn)2含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題第研典題 2 函數(shù) f(x) = |2 x 1| + |2 x+ a| , g(x) = x+ 3.(1) 當(dāng)a= 2時(shí)，求不等式f (x) 1,且當(dāng)x ,

6、 2時(shí)，f (x) w g( x)，求a的取值范圍.解 當(dāng) a= 2 時(shí)，不等式 f (x) v g(x)化為 |2x 1| + |2x 2|設(shè)函數(shù) y= |2 x 1| + |2 x 2| x 3,x 3 v 0.15x, x1,原不等式的解集是x|0 v xv 2.(2) - a 1,那么|v2 f(x) = |2x 1| + |2x + a|a-4x +1 - a x- 2 ,a 1=a+ 1 x 2 .a 1,當(dāng) x 2，2 時(shí)，f (x) = a+ 1,a 1即a+1m的解集是空集，那么f (x) w m恒成立)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x) va恒

7、成立? a f ( x) max, f ( x) a 恒成立? av f ( x) min.第因步跟蹤訓(xùn)練 練全題點(diǎn)提技能不等式|x + 1| |x 3| a,分別求出以下情形中 a的取值范圍：(1) 不等式有解；(2) 不等式的解集為R;(3) 不等式的解集為?.解：解法一：因?yàn)閨x + 1| | x 3|表示數(shù)軸上的點(diǎn) P(x)與兩定點(diǎn)A( 1) , B(3)距離的差，即|x + 1| |x 3| = | PA |PB.由絕對(duì)值的幾何意義知，I PA | PB的最大值為| AB = 4,最小值為一 | AB| = 4,即一4W| x+ 1| |x 3| w4.(1) 假設(shè)不等式有解，a只要

8、比| x+ 1| | x 3|的最大值小即可，故 av4.(2) 假設(shè)不等式的解集為 R,即不等式恒成立，只要a比| x+ 1| | x 3|的最小值還小，即 av 4.(3) 假設(shè)不等式的解集為？，a只要不小于|x+ 1| |x 3|的最大值即可，即 a4.解法二：由 |x + 1| |x 3| w| x+ 1 (x 3)| = 4, |x 3| | x + 1| w |( x 3) (x+ 1)|=4,可得一4W| x + 1| - | x- 3| 4.考點(diǎn)3不等式的證明方法顧根底1. 根本不等式定理1：設(shè)a, b R,那么a2+ b2?2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號(hào)成立.a + b j

9、定理2：如果a, b為正數(shù)，那么一廠 ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號(hào)成立.定理3：如果a, b, c為正數(shù)，那么吐產(chǎn) 3 abc,當(dāng)且僅當(dāng)a= b= c時(shí)，等號(hào)成立.定理4 ：( 一般形式的算術(shù)一幾何平均不等式)如果ai, a2，an為n個(gè)正數(shù)，那么 ai + 比 + + an n aia2an,當(dāng)且僅當(dāng) ai= a2= an時(shí)，等號(hào)成立.n2 .不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比擬法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.(1) 比擬法 求差比擬法ab? a- b0, ab? a- bb，只要證明 即可，這種方法稱為求差比擬法. 求商比擬法ab0? a1且a0, b0,因此當(dāng)a0, b0時(shí)

10、要證明ab,只要證明即可，這種b方法稱為求商比擬法.(2) 分析法從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的 ，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(條件、定理等).這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因的證明方法.(3) 綜合法從條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，即“由因?qū)す姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法.(4) 反證法的證明步驟第一步：作出與所證不等式 的假設(shè)；第二步：從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否認(rèn)假設(shè)，從而 證明原不等式成立.答案：a b0al (2)充分條件相反第包步師生舸典題 3設(shè) a, b, c0,且 ab+

11、 bc+ ca= 1.求證:(1) a+ b+ O , 3；點(diǎn)+ ,ac+a 3( a+ b+.c).證明要證a + b+ c3, 2由于a, b, c0,因此只需證明(a+ b+ c) 3.2 2 2即證 a + b + c + 2(ab+ bc+ ca)?3,而 ab+ bc+ ca= 1,2 2 2故需證明 a + b + c + 2( ab+ bc + ca) 3( ab+ bc+ ca). 即證 a + b + c?ab+ bc+ ca.2 .2 .2 2 2 2而這可以由a= b= c時(shí)等號(hào)成a + b b + c c + a 222, ab+ bc+ caw + 廠 + 2 =

12、a + b + c (當(dāng)且僅當(dāng)立)證得.原不等式成立.a+ b+ c由于(1)中已證a+ b+ c 3,；abc因此要證原不等式成立，只需證明即證 a , bc+ b , ac+ c , abw 1, 即證 a . bc+ b , ac+ c , abw ab+ bc+ ca.而 a bc= ab acwab+ acab+ beb acw2，e ab cd,那么；a+ b :c + d;(2) a+、:b :c + ,:d是| a b| v|c d| 的充要條件.證明： 因?yàn)?，:a+ : b) 2= a+ b+ 2 ab, ( :c + ,d)2 = c + d+ 2 cd,由題設(shè) a+ b

13、= c + d, abcd,得(：a+ -b)2 ( c + ,d)2.因此a+ -b :c+ :d.(2)假設(shè) | a b| v|c d|，那么(a b)2v(c d)2,22即(a+ b) 4abv (c+ d) 4cd.因?yàn)?a+ b= c + d,所以 abcd.由(1)，得；a+ b :c + ,d.假設(shè)：a+ -b c+ :d,那么(；a+ ;b)2( :c + :d)2,即 a+ b+ 2 abc+ d+ 2：cd.因?yàn)閍+ b= c + d,所以abcd,于是2 2 2 2(a b) = (a+ b) 4abv(c + d) 4cd= (c d).因此 | a b| v | c

14、 d|.綜上，,a+，:b ,c+ .：d是| a b| v | c d| 的充要條件.第gj步課堂歸納 方法技巧1.解絕對(duì)值不等式主要是通過同解變形去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為一元一次和一元二次不等式(組)進(jìn)行求解含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，一般可用零點(diǎn)分段法求解，對(duì)于形如| x a| + | x b| m或| x a| + | x b| 1的解集x 4, xw 1 ,解：f (x)=3x 2,12,y = f(x)的圖象如下圖.(2)由f (x)的表達(dá)式及圖象知，當(dāng)f (x) = 1時(shí)，可得x= 1或x= 3;1當(dāng)f (x) =- 1時(shí)，可得x= 3或x= 5.故 f (x)1 的解集為x|1x3

15、;了(左)1的解集為北工 5/ V* 或 1Vh3 或工52. 2021 新課標(biāo)全國卷川函數(shù)f (x) = |2x-a| + a.(1)當(dāng)a= 2時(shí)，求不等式f (x) 3,求a的取值范圍.解：當(dāng) a= 2 時(shí) f(x) = |2x 2| + 2.解不等式 |2x 2| + 2W6 得K x 3.因此f (x) 6的解集為x| K x |2 x a+1 2x| + a=|1 a| + a.所以當(dāng)x R時(shí),f (X) + g(x) 3 等價(jià)于 |1 - a| + a3.當(dāng)awl時(shí)，等價(jià)于1 -a+ a3,無解.當(dāng)a1時(shí)，等價(jià)于 a- 1 + a3,解得a2.所以a的取值范圍是2 ,+).aa3.

16、 2021 江蘇卷設(shè) a0, |x- 1| v-, |y-2| v3，求證：|2 x+ y-4| v a.33aa證明：因?yàn)?|x- 1|3，|y-2|3，所以 |2x + y-4| = |2( x- 1) + (y-2)|a aw 2|x - 1| + |y - 2|2 x 3 + 3= a.一 1 14. 2021 新課標(biāo)全國卷n 函數(shù)f (x) = x-+ x + -, M為不等式f (x)2的解集(1)求 M證明：當(dāng) a, b M時(shí)，|a+ b|1 + ab|.12x, x w- ,1 1(1)解：f (x) =1,- 2x .1當(dāng) x w- 2時(shí)，由 f (x)2 得一2x- 1;1

17、1當(dāng)2x2時(shí)，f(x)0,無解;當(dāng)一1 v x v 1時(shí)，不等式化為 3x 2 0, e 2解得3V x v 1;當(dāng)x1時(shí)，不等式化為一x + 20,解得1w x v 2.2所以f(x) 1的解集為x 3x2.(2)由題設(shè)可得，x 1 2a，xa.2a 1所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A亍,0 ,政2a+ 1,0),a a, a+ 1),2 2 ABC的面積為3(a+1)2.2 2由題設(shè)得3(a+ 1) 6，故a2.所以a的取值范圍為(2 ,+R).-課外拓展閱讀_絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式| a| | b| w| a 土 b| 不等式求最值解|x 1

18、| + |x + 1| = |1 x| + | x + 1| |1 x + x + 1| = 2,當(dāng)且僅當(dāng)(1 x)( x + 1) 0,即1 xwi時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)一1 x1時(shí)，函數(shù)f (x) = | x 1| + | x + 1|取得最小值2.溫馨提示(1)要注意對(duì)原絕對(duì)值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之適合用絕對(duì)值三角不等式求最值；(2)求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件.1 1典例 2 x, y R,且 | x + y| w, |x y| a恒成立，求a的取值范圍.思路分析將同題轉(zhuǎn)化為求 解不等式左邊式 子的最小值利用絕劉值三角不等式 求解可得口的 取值范圍解析 因?yàn)閍| x +1| | x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以 a(| x + 1| | x 2|) min.因?yàn)?II x + 1| |x 2| w |( x+ 1) (x 2)| = 3, 所以3w| x+ 1| |x 2| W3 .所以