橢圓與雙曲線性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)推論歸納共92條

1、橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)92條1 . | PR | | PF2 | 2a2 2 x_ y_ 1 a b12 標(biāo)準(zhǔn)方程:|PF1|3.ed14 .點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的外角.5 . PT平分APF1F2在點P處的外角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑 的圓，除去長軸的兩個端點.6 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離 .7 .以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切8 .設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點，則 PF1F2在邊PF2 （或PF1）上的旁切圓，必與 A1A2所 在的直線切于A2 （或A1 ）.x2 y2A1（ a,0） , A（a,O）

2、，與y軸平行的直線交橢9 .橢圓21 （ a b o）的兩個頂點為a b圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是10 .若F0(Xo,yo)在橢圓弦P1 P2的直線方程是12 . AB是橢圓a2xa2xa2xaycy盲2 y b22 y b22yb21.1上，則過P。的橢圓的切線方程是XX-2a1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為的不平行于對稱軸且過原點的弦,ycy1P1、P2，則切點AB的中點，則kOM kAB13P0 (x0 , y0)2x在橢圓-2a2 y_ b21內(nèi)，則被Po所平分的中X0X-2ab22X02ay。2b214P0（x）,y0）在橢圓2X2a2y_b21內(nèi)，則過

3、Po的弦中點的軌跡方2 y b2X0Xyya2b215 .若PQ是橢2x2ay2（a b 0 ） 上對中心張直角的弦1 12121122 (r1abx2若橢圓a|OP|,r2|OQ|).Ax By2y_b71 (AB 0),則(1)17 給定橢圓G : b2x2a b 0 )上中心張直角的弦 LAA2b2；(2)L 2aA bBb2a2 A2 b2B22 2 2 2a y a b (a b 0) , C2:b2x2所在直線方程為對G上任意2 .2/ a bM( ( 2 2 x0 ,a b給定的點2 .2 a b 、 2 y0 ). a bF0(xo, yo),它的任一直角2,2a b 2(二

4、2ab),則(i)a b過C2上一定點圓于B,C兩點，則直線 BC有定向且kBCb2x2 a yo(常數(shù))M的任一直角弦都經(jīng)過F0點.(ii)對C2上任一點P0(X0,y。)在G上存在唯一的點 M，使得2 2x y18 .設(shè)P)(X0,y0)為橢圓(或圓)c：-y 冷 1 (a 0,. b 0)上一點，P1P2為曲線C的動弦，a b且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k 2,則直線P1P2通過定點M(mx0, my。)(m 1)的充要條件1 m b22 .1 m a2 219 .過橢圓 篤 每 1 (a 0, b 0)上任一點A(X0,y)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢a b22xy

5、20 橢圓 亍1 (a b 0)的左右焦點分別為F1, F 2，點P為橢圓上任意一點F1PF2ab，則橢圓的焦點角形的面積為b2 tan,22x21 .若P為橢圓-yaF1PF22 b2；” 叫.P(；r2占 1(a b 0)上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點，bPF1F2a cPF2F1，貝Utan cot.a c 222 2x y22 橢圓21 (a b 0 )的焦半徑公式：a b| MF1 | a ex0 ,| MF21 a exF c,0) , F2(c,0) M (x, y).2 2x y23 .若橢圓 2 1 (a b 0)的左、右焦點分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)

6、a b0 v e w 2 1時，可在橢圓上求一點 P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.2 2x y24 . P為橢圓二 2 1 (a b 0) 上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則a b2a | AF2 | | PA| | PF1 | 2a | AR |，當(dāng)且僅當(dāng)代F2,P三點共線時，等號成立.x225 橢圓a2 2 2 x2 (a b )a b k26 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.2y21 (ab 0)上存在兩點關(guān)于直線l : y k(x x0)對稱的充要條件是b過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切

7、線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點,則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直28 .P是橢圓a cos(a b 0)上一點，則點bsi nP對橢圓兩焦點張直角的充要條件是11 sin229 設(shè)A,B為橢圓2爲(wèi) k(k 0,k1)上兩點,b2 x 其直線AB與橢圓二 aP,Q,則 AP BQ.2x30 .在橢圓a其中tan.2 2b x22a y，當(dāng)y31 .設(shè)S為橢圓21中，定長為2m (o vm b 0)的兩個焦點為 F1、F2,P一點，在 PF1F2中,F1PF2o O35 .經(jīng)過橢圓b x任一點的切線相交于P1和P2 ,2 y- 1 b22X36 .已知橢圓a0有公共點的充要條件是(異于長軸端點)為橢圓上任

8、意亠 sinc，則有e.sin sin aa b (a b 0)的長軸的兩端點A1和A2的切線，與橢圓上2則 | PA1 | | PA2 | b .PF1F2F1F2P(a b 0 ),0為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP OQ .(1)1|OPF1ioQI2|OP| 2+|OQ| 2的最大值為4化；(3)bS OPQ的最小值a2b22 ,2 -a b37 . MN是經(jīng)過橢圓b2x2 a2y2中心O且平行于 MN的弦，貝U | AB |238. MN是經(jīng)過橢圓b2x2 a2y22 2a b (a b 0 )過焦點的任一弦，若 AB是經(jīng)過橢圓2a|MN |.a2b2 (a b 0)焦點的任

9、一弦，若過橢圓中心O的半弦0PMN，則2a |MN |12a2 2X y39 .設(shè)橢圓 二 21 (a b 0) ,M(m,o)a b或(o, m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任點，過M引一條直線與橢圓相交于 P、Q兩點，則直線 A1P、A2Q(A 1 A2為對稱軸上的兩頂點)2.2ab的交點N在直線I : x(或y)上.mm40 .設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié) AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點 F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點，貝U MF丄NF.41 .過橢圓一個焦點 F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M , A

10、2P和A1Q交于點N，則2x42 設(shè)橢圓方程aMF 丄 NF.線y k x上，而且kk2篤 1，則斜率為bb2 .ak(k丸)的平行弦的中點必在直線I : y kx的共軛直43 .設(shè) A、B、C、D為橢圓2x2a2 y b21上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為直線AB與CD相交于P且P不在橢圓|PA| |PB|PC| |PD|,222 . 2b cosa sinr2 222b cosa sin2x44 .已知橢圓a2F1PF2 的每 1 (ab 0)，點P為其上一點F1, F2為橢圓的焦點, b外(內(nèi))角平分線為I，作F1、F2分別垂直|于R、S,當(dāng)P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡2

11、2 2 2 2 2 2 2 2 2方程是 x y a (b y (a ce)(x c) (x y cx) ce(x c).45 .設(shè) ABC內(nèi)接于橢圓 ，且AB為 的直徑，|為AB的共軛直徑所在的直線，I分別交 直線AC、BC于E和F,又D為I上一點，則CD與橢圓 相切的充要條件是 D為EF的中點.2 2x y46 .過橢圓一22 1 (a b 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點，弦MNa b| PF | e的垂直平分線交 x軸于P,則| MN |222. 2xybx47 .設(shè)A (X1 ,y1)是橢圓22 1 (a b 0 )上任一點，過 A作一條斜率為，的aba y1直線L,又

12、設(shè)d是原點到直線 L的距離，ma分別是A到橢圓兩焦點的距離，貝U-不d ab.48 .已知橢圓相交于A、B、C、49 .已知橢圓x軸相交于點2 2x_12.2 Ia bD四點，則|2 2 乞12 , 2a b2aAB |=|CD |.P(X),0),則2才X和一2a,A、B、b2a2x0b22 y_ b21 ), 一直線順次與它們是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與a2 2P點是橢圓 2 1 ( a b 0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記a b2b22，則(1) | PF1| PF2 丨.(2) S pf1f2b tan；.1 cos2B ( m,o )作直線與橢圓相交于P、Q

13、兩點，A為橢圓長軸的左分別交相應(yīng)于過B點的直線 MN : x n于 M , N兩點,則2a b2(n2 _y_ b2兩個焦點，e是離心率，點P L且僅當(dāng)| PH |亞時取等號).c50 .F1PF2PFiF251 .設(shè)過橢圓的長軸上一點頂點，連結(jié)AP和AQo a mMBN 90a m2x52 . L是經(jīng)過橢圓a2 -a)1 ( a b 0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線， E、F是橢圓，若 EPF，貝U 是銳角且sine或arc sine (當(dāng)2 2x y21 ( ab 0 )的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長軸兩頂點a b,H是L與X軸的交點c是半焦距，則 是銳角且sin亞時取等號).c2 2x y22

14、 1 ( a b 0 )的準(zhǔn)線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交點，a b點P L , EPF，離心率為e,半焦距為c,則 為銳角且sine2或arc si n e2 (當(dāng)且僅當(dāng)| PH | b a2 c2時取等號).c2 2x y55 .已知橢圓21a b53 . L是橢圓離心率，EPF(當(dāng)且僅當(dāng)| PH |54 . L是橢圓點，將A、B與橢圓左焦點 F1軸時右邊不等式取等號，當(dāng)且僅當(dāng)2x56 .設(shè)A、B是橢圓飛aPBABPA , c、，點P L , e是e 或arcs ine(a b 0),直線L通過其右焦點 F2,且與橢圓相交于 A、B兩(2 a2 b2 )2連結(jié)起來，則b2 | F1

15、A| | F1B| (rL (當(dāng)且僅當(dāng) AB丄xaA、F1、B三點共線時左邊不等式取等號)2占U a b 0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，PAB22ab |cos | e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) |PA| 22 .(2)a c cos22a2b2tan tan 1 e .(3) S pab 2 cotab2 2設(shè)A、B是橢圓一22a bXa、Xb的橫坐標(biāo)Xa XbQBA ; （ 2）若過B引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，貝U PBA QBAx2 y2設(shè)A、B是橢圓 21 （ a b 0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點）a b兩點，（1）若過A點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點

16、，（若B P交橢圓于兩點，貝U于x軸對稱），且 PBA QBA，則點A、B的橫坐標(biāo)xA、xB滿足Xa Xb兩點，且PBA58 .點引直線與這橢圓相交于2xa xba .1 （ ab0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點）、外部的2a , （1）若過A點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，則o180 .兩點，且 PBAP、外部的Q不關(guān)QBA 180o,則點 A、B若過B的橫坐標(biāo)滿足2x59 .設(shè)A, A是橢圓一2aAQ的交點P的軌跡是雙曲線2y_b22Xa1的長軸的兩個端點,QQ是與AA垂直的弦,則直線AQ與60 .過橢圓8ab2a2 b2I AB|CD|2y_ 1b2 12(a2(a b 0)的左焦

17、點F作互相垂直的兩條弦AB、CD61 .到橢圓的軌跡是姊妹圓62 .到橢圓2 X 2 a(X2Xa2 y_ b2 a)22 _y_ b2動點M的軌跡是姊妹圓（X2 263 到橢圓與每a b距）的動點的軌跡是姊妹圓64 .已知P是橢圓AQ AP,AQ AP ,65 .橢圓的一條直徑的比例中項66 .設(shè)橢圓2 X 2 a(x2 X_ 2 aa ca b 0 ）兩焦點的距離之比等于 b（c為半焦距）的動點b2.ab0 ）的長軸兩端點的距離之比等于（c為半焦距）y2 (b)2.eab 0)4)22丄1b2 1的兩準(zhǔn)線和x軸的交點的距離之比為節(jié)（C為半焦()2e則Q點的軌跡方程是2X_2a（e為離心率）

18、.上一個動點， A,A是它長軸的兩個端點，且（過中心的弦）的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長2占 1 （ a b 0）長軸的端點為 代A ,P（X1, y1）是橢圓上的點過 P作斜bb?x率為 的直線I，過代A分別作垂直于長軸的直線交 I于M , M，則a y1(1) |AM |AM2xa67 .已知橢圓 | b . (2)四邊形MAAM面積的最小值是2ab.2爲(wèi) 1 ( a b 0 )的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的b直線與橢圓相交于68 . OA、OBA、B兩點，點C在右準(zhǔn)線I上，且BC x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點. 是橢圓(x貝-a則(1 )直線AB必

19、經(jīng)過一個定點2y1 ( a 0,b 0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點，bab2飛,0) .(2)以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個交點 Q的 b(-4(x a)269 . P(m,n)是橢圓 占a軌跡方程是(x身匕)2a b22)(x 0).則(1 )直線AB必經(jīng)過一個定點2y21 (a b 0)上一個定點，P A、P B是互相垂直的弦，b22 2 22ab m(a b ) n(ba222)a2-).(2)以P A、P B為直徑的兩圓的另一個交點 Q.2 2, ab a m2(x 2 2 )a b的軌跡方程是(b2n(y -2 2a b70 .如果一個橢圓短半軸長為2 dp? b，且F1

20、、F 2在L同側(cè)b2,線L和橢圓相離，(3)2x71 . AB是橢圓飛ad1d22V- 1 b224a b2 2 2(a b )b，焦點F1、F2至卩直線L的距離分別為 d1、d2,那么(2直線L和橢圓相切.(2 ) dp2 b，且F1、F2在L同側(cè)或F1、F2在L異側(cè) 直線L和橢圓相交.n 2(a22血(x m且 y n).(ab 0)的長軸，N是橢圓上的動點，過N的切線與過B的切線交于C、D兩點，則梯形72 .設(shè)點P(x0,y)為橢圓 a的任一弦，2 2 (22a b(ay。過定點P(xo, yo)(|PA| | PB |)max(|PA| |PB|)min2ABDC的對角線的交點 M的軌

21、跡方程是X2 2x y21 ( ab 0)的內(nèi)部一定點， ABb當(dāng)弦AB平行(或重合)于橢圓長軸所在直線時2 2b xo )b2a2b2 (a2y。2 b2x。2)2 24a y 1(y2 2 是橢圓壽 占 a b0).當(dāng)弦 AB 垂直于長軸所在直線時，b273 .橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切74 .橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的長軸端點75 .橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76 .橢圓焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(

22、離心率).注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點78 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.79 橢圓焦三角形中80 橢圓焦三角形中 焦點的距離成比例.81 橢圓焦三角形中 焦點連線段成比例82 橢圓焦三角形中 與另一焦半徑所在直線平行83 橢圓焦三角形中 為橢圓長半軸的長.84 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項橢圓中心到內(nèi)點的距離、 內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、 半焦距及外點到同側(cè)，半焦距、外點與橢圓中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線，

23、過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點85 橢圓焦三角形中值e.86 橢圓焦三角形中87 橢圓焦三角形中88 橢圓焦三角形中的圓必過兩焦點.2x89.已知橢圓pa,則橢圓中心與垂足連線必,則橢圓中心與垂足的距離，垂足就是垂足同側(cè)焦半徑，非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定，非焦頂點的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線，非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線，過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交y - x及y x的平行線,aa(1) |OM |290.過平面上的軸于R，Q .（ 1 ）若，則以兩交點為直徑1（a0，b0）（包括圓在內(nèi)）上

24、有一點P，過點P分別作直線|ON |2 a與直線P點作直線li : y2 2|OM | |ON |OQ |2 |OR|2 b2，則91點P為橢圓OP分別交于R，Q，O為原點，則:|OQ |2 |OR |2 -2.-x及12: y-x的平行線,a，則P的軌跡方程是P的軌跡方程是2 x 2 a2y 1(ab0，b0).x軸、y軸的平行線,分別交x軸于M , N，交y2y21(a0，b0) .(2)若by2b2y軸、1(a0，b0）（包括圓在內(nèi)x軸于M , N，交直線y）在第一象限的弧上任意一點，過P引bx 于 Q，R，記 OMQ 與 ONR aab2 .92.點P為第一象限內(nèi)一點，過 P引X軸、y

25、軸的平行線，交 y軸、x軸于M,N，交直線 by -x于Q，R，記 OMQ與 ONR的面積為SS2，已知S S2 a22是2 占 1（a 0, b 0）.a b的面積為Si,S2，則:S2型，則P的軌跡方程2雙曲線2a2y_ 1b2 11 11PF11 1PF21122 標(biāo)準(zhǔn)方程:Xa3 理ed14 .點P處的切線PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角.5 PT平分APF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑 的圓，除去長軸的兩個端點.6 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.7 .以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切2y牙1 ( a 0,b 0

26、)的兩個頂點為 A( a,0),A(a,0)，與y軸平行的直線b8 .設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點，則 PF1 F2在邊PF2 (或PF1)上的旁切圓，必與 A1A2 所在的直線切于 A2 (或A1).X29 .雙曲線a交雙曲線于Pl、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是10 若2xPo(x3,y0)在雙曲線a2y21 ( a 0,b 0 )上，則過 P。的雙曲線的切線方程是bxxyya2b21.2x11 .若P)(x0, y0)在雙曲線a(a 0,b 0)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2,則切點弦P1P2的直線方程是XoX2a迪1b22x12 AB是雙曲線 a b2

27、點，則 koM kAB 2.a2 y b2(a 0,b 0)的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中13 右F0(xo, y0)在雙曲線2 x 2 a2y_b2(a0,b 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是Xxyy2ab22X。2a2 yo b214 若F0(xo, y)在雙曲線2 x 2 a2y_b2(a 0,b 0)內(nèi)，則過 Po的弦中點的軌跡方程是Xxyya2b222xy22ab15 若PQ是雙2 x 2 a2 y_ b2(b a 0 )上對中心張直角的弦，則1 12121 122(r1 |OP|,r2a b2 2若雙曲線篤爲(wèi)a2 b2|OQ |).(b a 0 )上中心張直角的弦

28、L所在直線方程為Ax By1 (AB 0),則(1)A2b2;(2) L 2*A bB|a2A2 b2B2 |17 給定雙曲線C1 : b2x22 2 2 2 a b ( a b 0) , C2 : b x22a b 2 (r 2ab), a bC2上一定點則(i)對 G上任意給定的點P0(X0, y),它的任一直角弦必須2 . 2 2 . 2aba b、M( (2x0 22 y0).aba b(ii)對C2上任一點P 0 (X0, y0)在C1上存在唯一的點 M，使得M的任一直角弦都經(jīng)過 P0點.2 2x y18 .設(shè)P0(X0,y)為雙曲線 21(a0,b 0)上一點，P1P2為曲線C的動

29、弦，且弦P0P1,a b2,則直線 P1P2通過定點 M(mx(), my0) (m 1)的充要條件是P0P2斜率存在，記為1 m b2k1 k22 1 m a2x19 .過雙曲線ak1,2y_b2雙曲線于B,C兩點，則直線2 2x y20 .雙曲線一22 1a2 b2F1PF2(a0,b o)上任一點A(xo, yo)任意作兩條傾斜角互補的直線交BC有定向且kBCb2x2a y。(常數(shù))(a 0,b o)的左右焦點分別為F1 , F 2，點P為雙曲線上任意一點,貝U雙曲線的焦點角形的面積為S F1pf22 b2 tan22cot-).2 c 22 221 .若P為雙曲線a bP(；C1 (a

30、 0,b 0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦PF1F2PF2F1c ac a，貝Utan cot (或 c a 22 c atan cot ).2 22x22 雙曲線a2 y- 1 b2當(dāng)M (x, y)在右支上時，當(dāng)M (X0,y。)在左支上時，2 223 .若雙曲線 2 嶺a b(a0,b o)的焦半徑公式：(F, c,0)| MF1 | ex0 a, | MF2 | ex0 a.| MF1 |a ,| MF2 | ex0 a .1 (a 0,b 0)的左、右焦點分別為F1、,F2(c,0)F2，左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1 v e J、2 1時，可在雙曲線上求一點 P,使得PF

31、1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項.2x24 . P為雙曲線一2a2芯 1 (a 0,b 0 )上任一點,F1 ,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點, bX28 . P是雙曲線y11 tan2條件是e229 .設(shè)A,B為雙曲線2yk (a 0,b 0, k 0, k 1 )上兩點，其直線 b2AB與雙曲2 y b21相交于P,Q,則 AP BQ.2x30 .在雙曲線2a2y1中,12定長為2m (m )0)的弦中點軌跡方程為 m 2 24_ a2.2sin其中tan90.2X31 .設(shè)S為雙曲線a1 (a 0,b o)的通徑，定長線段L的兩端點A,B在雙曲線上移動，記|AB|= l ,M

32、(X0,y)是AB中點，則當(dāng)IS時，有(X0)min2 .a I22 ,2 c(c a b ,e )； c2eaS 時，有(Xo)min2 232 .雙曲線 Xr 三a2 b2A2a2 B2b2C2.1 ( a 0,b 0)與直線 Ax By0有公共點的充要條件是33 .雙曲線(X X0)22a2 22 2要條件是A a B b2X2a在34 設(shè)雙曲線上任意一點，sin(sin sin )(yVc)21 (a 0,b 0)與直線(AX02V- 1b21 PF1F2b22By。 C).AxBy C 0有公共點的充(a 0,b 0)的兩個焦點為Fi、中，記 F1PF2F2,PPF1F2(異于長軸端

33、點)為雙曲線F1F2P則IAF2I 2a | PA| IPF1I,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點共線且P和A, F?在y軸同側(cè)時，等號成立X2 y225 .雙曲線 -1 (a0,b 0)上存在兩點關(guān)于直線 I : y k(X X0)對稱的充要條a b2 2 2 件是X2 里 .a b k26 .過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.27 .過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.a sec(a 0 , b 0)上一點，則點 P對雙曲線兩焦點張直角的充要bta n2 235 .經(jīng)過雙曲線篤再

34、a b一點的切線相交于 P1和P2，則| PA | | PA2 | b .2x36 .已知雙曲線 2a1OP OQ . (1)|OP |2a2b2.a1 (a 0,b 0)的實軸的兩端點 Ai和A2的切線，與雙曲線上任2y_ 1b2 11(b a 0), 0為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且142r2-2 ; (2 ) |OP|2+|OQ| 2 的最小值為 身一 ;(3) S opqbb a的最小值是b37 . MN過雙曲線中心2y_b2O且平行于MN的弦，貝y | AB I2 2a |MN |.是經(jīng)過雙曲線(a0,b 0)過焦點的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)38 . MNO的半弦0P2

35、x是經(jīng)過雙曲線a22當(dāng) 1 ( a b 0)焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心bMN，則2x39 .設(shè)雙曲線一aa| MN |0P |2y_b21 1a2 b2 .1 (a 0,b 0) ,M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任點，過M引一條直線與雙曲線相交于 P、Q兩點，則直線 A1P、A2Q(A 1 ,A2為兩頂點)的交點N2 a在直線l : x 上.m40 .設(shè)過雙曲線焦點 F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點 F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點，貝U MF丄NF.41 .過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、

36、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點 M , A2P和A1Q交于點N，貝U MF丄NF.2 2x V42 .設(shè)雙曲線方程22 1，則斜率為k(k工0)的平行弦的中點必在直線 I : v kx的共軛直線y k x上，而且kka b2 .a43 .設(shè) A、B、角分別為|PA| |PB|PC| |PD|2 cos .22b cos2x44 .已知雙曲線a的外(內(nèi))角平分線為Ib2x2D為雙曲線2a b直線 AB 與 CD 相交于 P,且 P不在雙曲線上，則2 . 2a sin22.sin1 ( a 0,b o )上四點,AB、CD所在直線的傾斜a2 y_ b2，作1 (a 0,b 0)，點

37、P為其上一點F1, F 2為雙曲線的焦點,F1PF2F1、F2分別垂直I于R、S，當(dāng)P跑遍整個雙曲線時， R、S形成的軌跡方程是222322224 22322 2x v a (a b(x c)(a b )x b c a c (x c)y (ab c y ).45 .設(shè)ABC三頂點分別在雙曲線上，且AB為 的直徑，I為AB的共軛直徑所在的直線,l分別交直線 AC、BC于E和F,又D為l上一點，則CD與雙曲線 相切的充要條件是 D為EF 的中點2x46 .過雙曲線a(a 0,b 0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點,弦MN的垂直平分線交x軸于47 .設(shè) A (xi ,yi)是雙曲線P,

38、則咤| MN |2 2L I 12 . 2a b的直線L,又設(shè)d是原點到直線2 y_ b四點,2 y_ b22x48 .已知雙曲線 a它們相交于A、B、C、D2x49 .已知雙曲線 2aL的距離，1衛(wèi)分別是2才x和一2a1 (a 0,b 0)則 |AB |=|CDb2x(a0,b 0)上任一點，過 A作一條斜率為 一a y1A到雙曲線兩焦點的距離，貝L, rr2d ab.2y1 (a 0,b 0),A、(01)，一條直線順次與B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x,0),則X。2,21或aa2 b2Xo2 250 .設(shè)P點是雙曲線篤爲(wèi)a b1 (a 0,b 0)上異于實軸

39、端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點b2o.(2) S1 cos51 .設(shè)過雙曲線的實軸上一點B ( m,o )作直線與雙曲線相交于軸的左頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過2ab2(n a)2 22x y 22 1 (a 0,b 0)a b記 F1PF2，則(1)|PF1|PF2|MBN 90oa m52 . L是經(jīng)過雙曲線線實軸的兩個焦點，e1arc sin (當(dāng)且僅當(dāng)e53 . L是經(jīng)過雙曲線pf/2 b cot- P、Q兩點，A為雙曲線實B點的直線 MN : x n于M , N兩點，則焦點F且與實軸垂直的直線， A、B是雙曲是離心率,點P L，若EPF是銳角且sinab| PH | 時取等號

40、)c22x y2.2a b(a0,b 0)的實軸頂點A且與x軸垂直的直線,E、F是雙曲線的準(zhǔn)線與 x軸交點，點P1焦距，則是銳角且sin或e2 254. l是雙曲線21a b,e是離心率,.1arc sine(a 0,b 0)線與x軸交點,銳角且sinH是L與x軸的交點，點P L11或arc sin 2 (當(dāng)且僅當(dāng)eeEPFL與X軸的交點(當(dāng)且僅當(dāng)| PA |,H是ab時取等號)cc是半焦點F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn), EPF，離心率為e,半焦距為c,則 為bJa2 c2時取等號)c|PF1|2 255.已知雙曲線X2 y2 1a b(a 0,b 0)，直線L通過其右焦點F2,且

41、與雙曲線右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線左焦點2 2F1連結(jié)起來，則| RA|RBI ( *2)(當(dāng)且僅當(dāng)AB丄xa軸時取等號)2x設(shè)A、B是雙曲線一2aPAB2古1BPA(a 0,b 0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點,(1)|PA|, PBA22ab | cos |222.(2) tan tan| a c cos |2 2e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有a2b241 e .(3) S PAB22 cotb a設(shè)A、B是雙曲線 篤 爲(wèi) 1 (a 0,b 0 )實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的 a b區(qū)域)、外部的兩點，且 Xa、Xb的橫坐標(biāo)Xa Xb交于P、Q兩點，貝U PBA則

42、 PBA QBA 180.2x58 .設(shè)A、B是雙曲線一2a57 .2a , (1)若過A點引直線與雙曲線這一支相QBA ; (2)若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點,2Yy 1 (a 0,b 0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的 b2區(qū)域)，外部的兩點，(1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，(若B P交雙曲線這一支于兩點，則 P、Q不關(guān)于x軸對稱)，且 PBA2足Xa Xb a ;( 2)若過B點引直線與雙曲線這一支相交于 則點A、B的橫坐標(biāo)滿足Xa Xb2x59 .設(shè)A, A是雙曲線一2aQBA，則點A、B的橫坐標(biāo)xA、P、Q 兩點，且 PBA QBAXb滿180

43、,與AQ的交點P的軌跡是雙曲線2a .2 y_ b22 x 2 a1的實軸的兩個端點,60 .過雙曲線2 2xy2,2ab(a 0,b 0 )的右焦點QQ是與AA垂直的弦，則直線AQF作互相垂直的兩條弦 AB、CD,則8ab2|a2 b2|AB|CD |.2 2x y2 ,2a b點M的軌跡是姊妹圓(x ec)2 262 .到雙曲線務(wù)每 1a2 b2的動點M的軌跡是姊妹圓(X2 263 至U雙曲線令七a b61 .到雙曲線(a0,b 0)兩焦點的距離之比等于y2 (eb)2.(a 0,b 0)2 2 ,2a) y b .1 (a 0,b 0)半焦距)的動點的軌跡是姊妹圓2 2(x a) y(c

44、為半焦距)的動的實軸兩端點的距離之比等于(c為半焦距)的兩準(zhǔn)線和 x軸的交點的距離之比為(b)2 (e為離心率).e64 .已知P是雙曲線且 AQ AP , AQ AP ,x22 y_ b21 (a 0,b 0)上一個動點,a, A是它實軸的兩個端點22 2則Q點的軌跡方程是一2* 1 .aa65 .雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之 長的比例中項2 2x V66 .設(shè)雙曲線 2 1 (a 0,b 0)實軸的端點為 A, A , P(xi, y-i)是雙曲線上的點過 Pa b作斜率為聖的直線I ,a y-過A, A分別作垂直于實軸的直線交I于m,m,則(1) |