高等數(shù)學(xué) 極限PPT

1、1.2 極限極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、函數(shù)的極限三、函數(shù)的極限四、無窮大與無窮小四、無窮大與無窮小一、一、數(shù)列的極限數(shù)列的極限例如例如,nna21 1)1( nna,21naaa1 1. .定義定義1 1 形如形如 的一列數(shù)稱為的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第第 n 項(xiàng)項(xiàng) an叫做叫做數(shù)列數(shù)列的一般項(xiàng)或的一般項(xiàng)或通項(xiàng)通項(xiàng). .nann1)1( ;,21,81,41,21n;,)1( , 1 , 1, 11 n.,)1(,41,31,21, 11nn ;,1,43,32,21 nn1 nnan說明說明

2、：(2)幾何上，幾何上，數(shù)列數(shù)列看做看做數(shù)軸上一個(gè)數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，依次取數(shù)軸，依次取數(shù)軸上上的點(diǎn)的點(diǎn).,21naaa1a2a3a4ana(1) 數(shù)列是以自然數(shù)為定義域的函數(shù)數(shù)列是以自然數(shù)為定義域的函數(shù).),( nnnfan問題的提出問題的提出割圓術(shù)割圓術(shù) 我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注利用圓我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法割圓術(shù)割圓術(shù)，就是，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用極限思想在幾何上的應(yīng)用. . 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失可割，則與圓合體而無所失.2.2.數(shù)

3、列數(shù)列極限的定義極限的定義r正六邊形的面積正六邊形的面積1a正十二邊形的面積正十二邊形的面積2a126 n正正 邊邊形的面積形的面積na,321naaaas說明：說明：當(dāng)當(dāng) n 的取值無限增大時(shí)，面積的取值無限增大時(shí)，面積 an 無限接近無限接近一個(gè)確定的常數(shù)一個(gè)確定的常數(shù) s. 數(shù)列的極限數(shù)列的極限用圓內(nèi)接多邊形的面積去逼近圓的面積用圓內(nèi)接多邊形的面積去逼近圓的面積:圓的面積圓的面積.)1(01時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)就就是是數(shù)數(shù)列列則則 nnn再如數(shù)列再如數(shù)列： nn 1)1(,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n, 0)1(1無無限限接接近近于于nn 定義定義2 設(shè)設(shè)an是一數(shù)列，是一數(shù)列，a是一常數(shù)是一常數(shù).無限

4、無限時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nan, , a接接近近于于 ,時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)為為數(shù)數(shù)列列則則稱稱 naan記作記作aann lim).( naan或或反之，如果數(shù)列反之，如果數(shù)列an的極限不存在，則稱數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列an發(fā)散發(fā)散. . na或或稱稱數(shù)數(shù)列列, a收斂于收斂于在上例中，在上例中，, 021lim nn, 0)1(lim1 nnn. 11lim nnn ,11,)1(1之之間間擺擺動(dòng)動(dòng)和和在在的的不不斷斷增增大大隨隨著著而而 nn .)1(1不不存存在在極極限限極極限限的的定定義義， n根根據(jù)據(jù),lim,時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)在在極極限限的的定定義義中中 naann?的接近程度的接近程度與

5、與annaaa如如何何度度量量無無限限接接近近于于 ,問題：問題：例如，例如，. 0)1(,)1(11無限接近于無限接近于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)數(shù)列數(shù)列nannnnn 由于由于,1)1(01nnann 當(dāng)當(dāng)n越來越大時(shí)，越來越大時(shí)， 越來越小，從而越來越小，從而an越來越接近于越來越接近于0.n1例如，給定例如，給定,1001,10011 n要使要使只要只要 n100100即可即可.即即從從101項(xiàng)開始都能使項(xiàng)開始都能使.10010成立成立 na給定給定,100001,1000011 n要要使使只要只要 n1000010000即可即可.即即從從10001項(xiàng)開始都能使項(xiàng)開始都能使.10010成立成立 na一般

6、地，不論給定的正數(shù)一般地，不論給定的正數(shù) 多么的小，多么的小， 總存在一個(gè)正整總存在一個(gè)正整數(shù)數(shù)n, 使得當(dāng)使得當(dāng)n n時(shí)，不等式時(shí)，不等式 aan都成立都成立.這就是數(shù)列這就是數(shù)列nann1)1( .時(shí)時(shí)極極限限的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)當(dāng)當(dāng) n根據(jù)這一特點(diǎn)得到數(shù)列極限的精確定義根據(jù)這一特點(diǎn)得到數(shù)列極限的精確定義.定義定義3 3總存在總存在正整正整數(shù)數(shù)n，使得使得當(dāng)當(dāng)nn時(shí)時(shí)，不等式不等式都成立都成立, ,那那么么稱常數(shù)稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列an的極限的極限. .對對任任意意給給定定的的數(shù)數(shù)為為一一數(shù)數(shù)列列，如如果果存存在在常常設(shè)設(shè),aan, 正正數(shù)數(shù) aan記作記作.limaann 說明：說明： ) 1

7、(具有任意性，確定性具有任意性，確定性，n 存在性存在性與與 有關(guān)有關(guān);)2(的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式aaaann (3)數(shù)列的極限與前面的有限項(xiàng)無關(guān)數(shù)列的極限與前面的有限項(xiàng)無關(guān)., 0, 0 aannnn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)(4)定義簡寫定義簡寫aann limx1a2a2 na1 na3a幾何解釋幾何解釋： 2 a aa只只有有內(nèi)內(nèi)都都落落在在所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(, aaannn., 0, 0lim aannnaxnnn恒恒有有時(shí)時(shí)使使.)(落落在在其其外外個(gè)個(gè)至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)n從從 n+1 項(xiàng)開始，有項(xiàng)開始，有. aaan例例1 1. 0)1(li

8、m1 nnn證證明明證明證明aan 0)1(1 nn,1n , 0 對對,0 na要要使使,1 n即即,1 n,1 n取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nn ,0)1(1 nn. 0)1(lim1 nnn由極限的定義知由極限的定義知例例2 2.231213lim nnn證證明明證明證明aan 231213 nn,41n , 0 對對,41 n只要只要,41 n,41 n取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nn .231213lim nnn241 n241 n,231213 nn要使要使.231213 nn由極限的定義知由極限的定義知例例3 3證明證明aan 021 n),1(0 設(shè)設(shè)對對,21 n即即,2lnln n取對數(shù)得取

9、對數(shù)得,2lnln n取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nn ,21n ,021 n要使要使.021 n由極限的定義知由極限的定義知. 021lim nn證證明明. 021lim nn說明：說明： . 0)1()1(的的極極限限為為等等比比數(shù)數(shù)列列 qqn.)2(有關(guān)，但不唯一有關(guān)，但不唯一與與，用定義證明數(shù)列極限時(shí)用定義證明數(shù)列極限時(shí) n因因,limaann ,2abaan 從而從而;2baan 同理同理, ,因因,limbann 故存在故存在n1 , 使當(dāng)使當(dāng)n n1 時(shí)時(shí), .ba 不不妨妨設(shè)設(shè)證證明明( (反證法反證法) ),limaann ,limbann 假設(shè)假設(shè)故存在故存在n2, , 使當(dāng)使當(dāng)n

10、 n2 時(shí)時(shí), ,有有,2abbxn 從而從而.2baan 定理定理1(1(極限的極限的唯一性唯一性) ) 收斂的數(shù)列極限收斂的數(shù)列極限唯一唯一. .二、二、數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì),2,ab 取取依依據(jù)據(jù)極極限限的的定定義義矛盾矛盾, ,因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)則當(dāng)nn 時(shí)時(shí), , ,max21nnn 取取na同時(shí)同時(shí)滿足的不等式滿足的不等式和和2baan ，2baan 定理定理2(2(收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界) )證證明明 設(shè)設(shè),limaann 取取,1從而有從而有,n則則當(dāng)當(dāng)nn 時(shí)時(shí), ,1 aan有有收斂數(shù)列必有界收斂數(shù)列必有界. ., 0,

11、mannmann 有有對一切對一切即收斂數(shù)列即收斂數(shù)列11 aaan取取 1121 aaxxxmn,max則有則有.),(21 nmxn由此證明收斂數(shù)列必有界由此證明收斂數(shù)列必有界. .說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立此性質(zhì)反過來不一定成立. . 例如例如 1)1( n定理定理3 3( (收斂數(shù)列收斂數(shù)列的的保號(hào)性保號(hào)性) )證明證明 就就 a 0 的情形的情形, ,由數(shù)列極限的定義，由數(shù)列極限的定義，,2a 取取,時(shí)當(dāng)nn ,2aaan .20naa 從而從而ax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項(xiàng)起若數(shù)列從某項(xiàng)起, 0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明用反證法證明)o若

12、若,limaann , 0 a且且,時(shí)當(dāng)nn . 0 na有有n ,n 則則,nn則則1 nx 0a 0na 定理定理4(4(夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則) ) acbnnnn limlim)2(),2,1()1( ncabnnn.limaann 且且證證明明 由條件由條件 (2),0 ,21 nnn當(dāng)當(dāng)1nn 時(shí)時(shí), abn當(dāng)當(dāng)2nn 時(shí)時(shí), acn, aban, acan滿足下列條件：滿足下列條件：及及、數(shù)列數(shù)列nnncba,的極限存在的極限存在則數(shù)列則數(shù)列na令令 ,max21nnn 結(jié)合結(jié)合條件條件 (1)，得，得nnncab a a即即, aan故故 .limaann na a a則當(dāng)則當(dāng)時(shí)時(shí),

13、 , nn 從而從而例例4 證明證明222111lim0.(1)()nnnnn證明證明, 041lim)(lim2 nnnnnn由于由于, 01limlim2 nnnnn由由夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則得得,2nn 2)(nnn222111(1)()nnnn222111lim0.(1)()nnnnn定理定理5(5(單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則) ) 單調(diào)增加單調(diào)增加數(shù)列數(shù)列：,121 nnaaaa,121 nnaaaa單調(diào)單調(diào)減少數(shù)列：減少數(shù)列：單調(diào)有界單調(diào)有界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限.單調(diào)單調(diào)增加增加有上界有上界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限；單調(diào)單調(diào)減少減少有下界有下界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限. .單調(diào)遞增數(shù)列

14、和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)遞增數(shù)列和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列.說明：說明：例例5.111111的的極極限限，求求數(shù)數(shù)列列 證明數(shù)列的有界性證明數(shù)列的有界性.解解 ，令令111 na，則則nnaa 11, 11 a由由于于, 222 a, 2 ka設(shè)設(shè)kkaa 11則則. 23 由歸納法知，對所有的由歸納法知，對所有的, nn，有有20 na .有界有界故數(shù)列故數(shù)列na下面證明數(shù)列具有單調(diào)性下面證明數(shù)列具有單調(diào)性., 11 a已已知知,22 a.12aa 則則，設(shè)設(shè)1 kkaa則則1-111kkkkaaaa 01111- kkkkaaaa由歸納法知，對所有的由歸納法知，對所有的, nn，

15、有有nnaa 1 .單調(diào)增加單調(diào)增加故數(shù)列故數(shù)列na由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知， ,極極限限存存在在故故數(shù)數(shù)列列na設(shè)為設(shè)為a.得得兩兩邊邊取取極極限限在在,11nnaa ，aa 1解得解得.251 a由于收斂數(shù)列保號(hào)性知由于收斂數(shù)列保號(hào)性知.251舍去舍去 a故所求數(shù)列的極限是故所求數(shù)列的極限是.251lim nna或或251 a子數(shù)列：子數(shù)列： 在數(shù)列在數(shù)列 an 中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列列 an 的子數(shù)列的子數(shù)列例如，例如，數(shù)列數(shù)列 an ： 1，

16、-1，1，-1， (-1)n+1， 的一子數(shù)列為的一子數(shù)列為a2n：-1，-1，-1，(-1)2n-1， 另一子列另一子列 a2n-1 ：1，1，1，(-1)2n， 如果數(shù)列如果數(shù)列 an 收斂于收斂于 a ，那么它的任一子數(shù)列也那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是收斂，且極限也是a 定理定理6(6(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) )(1)若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限, ,則原數(shù)列則原數(shù)列發(fā)散發(fā)散.說明說明: 定理定理6用來證明數(shù)列發(fā)散：用來證明數(shù)列發(fā)散：(2)若數(shù)列有若數(shù)列有一個(gè)子列極限不存在一個(gè)子列極限不存在，則，則則原數(shù)列發(fā)

17、散則原數(shù)列發(fā)散.例如例如， ),2,1()1(1 nann;1lim12 nna1lim2 nna發(fā)散發(fā)散 !不相等不相等自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限0)4(xx 0)5(xx 0)6(xx x)1( x)2( x)3(, )(xfy 對自變量變化過程的六種形式自變量變化過程的六種形式: :自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限三、函數(shù)的極限三、函數(shù)的極限 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察.sin)(時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxxxf1.1.自變量自變量 x 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)的極限的極限引例引例單擊

18、任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察 觀察完畢觀察完畢. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 演示實(shí)驗(yàn)的觀察演示實(shí)驗(yàn)的觀察: :當(dāng)當(dāng) x 無限增大無限增大時(shí)時(shí), ,函數(shù)值函數(shù)值 f (x)無限接近于一個(gè)確定的無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)常數(shù) a ,稱稱 a為為 f (x) 當(dāng)當(dāng) x+時(shí)的極限時(shí)的極限.設(shè)設(shè) f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，時(shí)有定義，記作：記作：)()(

19、 xaxf或或函數(shù)函數(shù) f (x) 在在x+ 時(shí)極限時(shí)極限的直觀定義：的直觀定義：定義定義4引例中，引例中，. 0sinlim xxx,)(limaxfx :)(, 0 axf表明表明函數(shù)函數(shù)f (x)無限接近無限接近a. .xx：表明表明是在是在 x+ 的過程中實(shí)現(xiàn)的的過程中實(shí)現(xiàn)的. .定義定義5 5 f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義, , a 為常數(shù)為常數(shù). .恒有恒有 |f (x) -a|x 時(shí)，時(shí)，類比于數(shù)列極限的定義類比于數(shù)列極限的定義，推得當(dāng)推得當(dāng) 時(shí)函數(shù)極限時(shí)函數(shù)極限的的精確定義精確定義： x.)(limaxfx 記記作作：對定義對定義5的簡單敘述：

20、的簡單敘述：.)(,. 0, 0)(lim axfxxxaxfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)類比當(dāng)類比當(dāng) 時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng) 時(shí)函時(shí)函數(shù)數(shù)f (x)的極限定義：的極限定義：xx定義定義6 6 f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義, , a 為常數(shù)為常數(shù). .恒有恒有 |f (x) -a| 成立，則稱成立，則稱 a 是是函數(shù)函數(shù)f (x)在在 時(shí)時(shí)的的極限極限. . x對對任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù) ，總存在總存在正數(shù)正數(shù) x，當(dāng)，當(dāng) x-x 時(shí)，時(shí)，.)(limaxfx 記記作作：簡單敘述：簡單敘述：.)(, 0, 0)(lim axfxxxaxfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)

21、當(dāng)結(jié)合定義結(jié)合定義5和定義和定義6，推得，推得時(shí)的極限定義：時(shí)的極限定義：在在 xxf)(定義定義7 7 f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義, , a 為常數(shù)為常數(shù). .恒有恒有 |f (x) -a|x 時(shí)，時(shí)，.)(limaxfx 記作：記作：簡單敘述：簡單敘述：.)(, 0, 0)(lim axfxxxaxfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)結(jié)論：結(jié)論：極極限限存存在在的的充充要要條條件件：在在函函數(shù)數(shù) xxf)(.)(lim)(lim)(limaxfxfaxfxxx 例例6. 0sinlim xxx證明證明證明證明axf )(0sin xx,1x xxsin 由于由于, 0 對對

22、,1 x只要只要,1 x,1 x取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),xx . 0sinlim xxx,)( axf要要使使.)( axf由極限的定義知由極限的定義知xxaaoxy)(xfy a幾何解釋幾何解釋： axfa)(xxxx 或或稱稱直線直線 y = a 為曲線為曲線)(xfy 的的水平漸近線水平漸近線,0 x,)(, axfxx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 ay幾何上，曲線幾何上，曲線y=f (x) 的圖形位于的圖形位于 和和 兩直線之間兩直線之間. ay引例引例 函數(shù)函數(shù)1)( xxf在在1 x處的極限為處的極限為函數(shù)函數(shù)11)(2 xxxf在在1 x處的極限為處的極限為yax xx0 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) f (x)

23、的極限是否存在的極限是否存在,與與 f (x)在在 x0處是否有定義處是否有定義無關(guān)無關(guān).2.2.自變量自變量 xx0 時(shí)時(shí), , f(x) 的極限的極限結(jié)論結(jié)論：設(shè)設(shè) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一的某一去心鄰域內(nèi)去心鄰域內(nèi)有定義，有定義，axfxx )(lim0記作：記作：，數(shù)數(shù)無無限限接接近近一一個(gè)個(gè)確確定定的的常常函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)axfxx)(,0.)(0時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱xxxfa上例中上例中, 2)1(lim1 xx, 211lim21 xxx時(shí)極限的直觀定義：時(shí)極限的直觀定義：在在函數(shù)函數(shù)0)(xxxf定義定義7).()(0 xxaxf或或定義定義8 8簡

24、單表述：簡單表述： axfxx)(lim0.)(, 0, 0, 00 axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一去心鄰域內(nèi)有定義的某一去心鄰域內(nèi)有定義，存在存在正數(shù)正數(shù) , ,當(dāng)當(dāng) 0| x -x0 | ,成立，則稱成立，則稱a為函數(shù)為函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) x x0 時(shí)的極限時(shí)的極限. .對于對于任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù) , , | f (x) -a | 0 ,不等式不等式的的 x , 總有總有 使對一切滿足使對一切滿足總存在總存在, 0 00 xx則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)時(shí)為時(shí)為無窮大無窮大,0 xx 說明：說明： 1. 無窮大不是數(shù)無窮大不是數(shù), ,不可與很

25、大的數(shù)混為一談不可與很大的數(shù)混為一談.2.2.函數(shù)為無窮大函數(shù)為無窮大, ,必定無界必定無界. .但反之不真但反之不真 !例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,cos)( xxxxf nnf2)2( )( n當(dāng)當(dāng)因?yàn)橐驗(yàn)?)(2 nf無界無界時(shí)時(shí)，不不是是無無窮窮大大，在在函函數(shù)數(shù) xxf)(.)(. 30的的極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，無無窮窮大大的的函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)xfxx 例如，例如， 由于由于,1lim0 xx.01時(shí)時(shí)的的無無窮窮大大為為 xx從圖形上看，從圖形上看，. 01,0 xxyx無無限限接接近近于于直直線線曲曲線線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)一般地，一般地，,)(lim0 xfxx)(0 xfyxx 為為曲曲線線則則直直線線的的鉛直漸近線鉛直漸近線. .在上例中，在上例中，.10的的鉛鉛直直漸漸近近線線是是曲曲線線直直線線