正弦定理和余弦定理典型例題之歐陽數(shù)創(chuàng)編

1、正弦定理和余弦定理典 型例題透析創(chuàng)作：歐陽數(shù)時間：類型一：正弦定理的應(yīng)用：例1已知在A4BC中，c = 10, A = 45 , C = 30 ,解三角思路點撥：先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求岀邊然后用三角形內(nèi)角和求出角B,最后用正弦定理求出邊b.解析：ac .sin A sin C= 10/2 ,csinA _ 10xsin45sin C sin 30/. 3 = 180 -(A + C) = 105,sin B sinC泡= 10 x sin 105 = 20sin 75 = 20 x 邑= 5點+50 sin C sin 304總結(jié)升華：1. 正弦定理可以用

2、于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；2. 數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式 1】在 WC44,已知 A=32.0, 3=81.8。，a=42.9cm , 解三角形?！敬鸢浮扛鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理，C=180-(A+B) =180-(32.0+81.8) =66.2;根據(jù)正弦定理，g需囂霽8.0伽)；根據(jù)正弦定理，C=ec=42.9sin66 274sin Asin32.0【變式2在AABC屮，已知B = 75 , C = 60, c = 5 ,求 a、A【答案】 A = 180 一(3 + C) = 180 -(

3、75 + 60) = 45 ,根據(jù)正弦定理+sin 45sin 605y/6T【變式 3 在 AABC 中, 已矢H sin A: sin B: sin C = 1:2:3求a: b:c【答案】根據(jù)正弦定理丄=差=宀,得sin A sin B sin Ca. bc = sin A: sin B: sin C = l:2:3 例 2在 A4BC 中， = /lB = 6(r,c = l，求：a 和 A，C .思路點撥：先將已知條件表示在示意圖形上(如 圖)，可以確定先用正弦定理求岀角C,然后用三角形內(nèi)角和求出角A,最后用正弦定理求岀邊解析：由正弦定理得:sin 3 sinCA . c csinB

4、 lx sin 601 sin C =,b *2（方法一）J 0 C180 ,（舍去）;、|C = 30 時，A =90 ,* a = jb2 + c1 = 2 .（方去-） bcB = 60 , C B 9/. C /6 xsin45 _ 苗2 TT 0C180 (舍去)?！咀兪?】在AA3C中，B = 60 , = 14,方=7點，求ZA.【答案】由正弦定理 ,得 sin A =血=I% si6() =.b 應(yīng) 2*/ a b y AB i 即 0 vA60/. A = 45類型二：余弦定理的應(yīng)用：例 3 已矢 口 AABC 中，A3 = 3、 BC = 、 AC = 4,求 AABC 中

5、的最大角。思路點撥:首先依據(jù)大邊對大角確定要求的角，然后用 余弦定理求解.解析：三邊中BC = 31最大，:BC其所對角A最大， 根 據(jù) 余 弦 定 理：心cy+一(叭一丄2AB.AC2x3x42.* 0 A180 , A = 120故AABC屮的最大角是A = 120 .總結(jié)升華：1. 中，若知道三邊的長度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2. 用余弦定理時，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知A4BC中a = 3, b = 5, c = 7,求角C.【答案】 根據(jù)余弦定理：c a2+b2-c252 +32 -721cos C =-,2ab2x3x52/ 0 C/6

6、:2:(/3 + l) f 求 AABC的各角的大小.【答案】設(shè)a, b = 2k , c = (/5+l)k, (k0)根據(jù)余弦定理得：品 j代A： 平2(省+1)“2*/ 0 B;同理可得A = 60 ; C = 180 -A-B = 75【變式3】在A4BC中,若a2=b2+c2+bc,求角A.【答案】 .h +c ci = be , cos A.=2bc20 A/6+V2 , 3=45。，求方及A.思路點撥：畫出示意圖，由其中的邊角位置關(guān)系可以先用余弦定理求邊然后繼續(xù)用余弦定理或正弦定理求角A.解析：由余弦定理得:二(2婦尸+(屈+血)2-22婦(“+JT)cos45二 12+(岳+外

7、一4 松“+1)h=2y/2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:（法一：余弦定理）sJr+c2-a2 J242)2+(6 + 42 )2-(2/3)22/X-2x272x(76 + )- A=60.（法二：正弦定理） sinA=fsinB=.sin45=又 T 5/6+722.4+1.4=3.8 , 2Vj2xI.8=3.6t/ c ,即 0 A 90, A=60.總結(jié)升華：畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合，正確選用正弦、 余弦定理，可以使解答更快、更好.舉一反三：【變式1】在AABC中，已知” =3, c = 4, A = 135。.求B和 C.【答案】 由余弦定理得：=32 +42 -2x3x4cosl35 =25 + 122 , a = J25 + 12VS 6.48由正弦定理得：sin,血/sin 1350 327,aa因為A = 135為鈍角，則3為銳角，3 = 19嘰:.C = 180-(A4-B) = 2553,.【