D104對(duì)面積曲面積分35084PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D104對(duì)面積曲面積分對(duì)面積曲面積分35084SzyxMd),(設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積函數(shù), 叫做積分曲面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共27頁(yè)則對(duì)面積的曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2

2、d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共27頁(yè)oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122則曲面積分證明證明: 由定義知Szyxfd),(kkkk

3、Sf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共27頁(yè)kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共27頁(yè)說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類

4、似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 ,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共27頁(yè)yxD,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共27頁(yè)若 是球面2222azyx被

5、平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則hhoxzy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共27頁(yè),dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共27頁(yè)xozy 設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.

6、,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)?yxD則 1d)(22SyxI機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共27頁(yè)1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考: 若例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何 ? 第10頁(yè)/共27頁(yè)解解: 設(shè) 的方程為yxDyxyxRz),( ,

7、222利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo),0 yx而 z 223RRR用球坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算 ?例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共27頁(yè)),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標(biāo)系, 則,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)/共27頁(yè),d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對(duì)稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32

8、222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共27頁(yè)zzd,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共27頁(yè)oyxzL19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解解: )0(s

9、in3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共27頁(yè)設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系, 則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22Rh

10、RRcoshRhR22第16頁(yè)/共27頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求 A (見下冊(cè)P109 例2) . yzxohR R第17頁(yè)/共27頁(yè)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的

11、其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共27頁(yè)P(yáng)158 題1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158 題1.SzyxzyIxd),()(22P158 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)則0P184 題2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)/共27頁(yè)oyxz2 在 xoy 面上的投影域?yàn)?:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是 的面積 !2xy

12、D)(2:22yxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共27頁(yè)如圖所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)/共27頁(yè)),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)/共27頁(yè)作業(yè) P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)/共27頁(yè))(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第24頁(yè)/共27頁(yè)的表0,0,0,1zyxzyx面, 計(jì)算.d)1 (12SyxI解解: 在四面體的四個(gè)面上y