微積分解題方法選講

1、微積分解題方法選講微積分解題方法選講引引 言言1. 開課目的開課目的 中國數(shù)學(xué)會自2009年起于每年的10月底舉行全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。 在已經(jīng)舉行的三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，安徽理工大學(xué)取得了較好成績。 2011年，安徽理工大學(xué)成為安徽賽區(qū)的三個考點之一。 前3年的競賽選拔、培訓(xùn)均從9月份開始，時間比較匆忙，致使選拔環(huán)節(jié)存在不少問題，培訓(xùn)也不太充分。 適逢學(xué)校實行學(xué)分制，各院系可以自主開設(shè)各類公共選修課。教務(wù)處破例允許數(shù)學(xué)系對一年級學(xué)生開設(shè) “ 微積分解題方法選講 ” 公選課，目的是及早進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽的選拔、培訓(xùn)，使選拔和培訓(xùn)工作更合理、充分，力爭安徽理工大學(xué)在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中取得更好成績。

2、2. 授課方式授課方式 由于上課的學(xué)生較多，不可能像正式培訓(xùn)那樣為每個學(xué)生提供紙質(zhì)資料，批改作業(yè)。 本課程擬采用如下授課方式： (1) 學(xué)生按教師要求對下次授課所涉及到的概念、方法進(jìn)行復(fù)習(xí)； (2) 教師在課堂上對重點問題、重要題目進(jìn)行詳細(xì)講解，學(xué)生做相應(yīng)課堂練習(xí)； (3) 課后學(xué)生要仔細(xì)研讀課堂所講內(nèi)容,獨立動手演算例題，認(rèn)真完成作業(yè)； 作業(yè)每周交一次，次周會對作業(yè)進(jìn)行講評； (4) 本課程將有兩次單元測驗和一次最終的選拔考試。 本課程的PPT及相關(guān)電子資料見信箱: MM: matlabmaple3. 授課內(nèi)容及特點授課內(nèi)容及特點 考慮到與學(xué)生現(xiàn)在所學(xué)高數(shù)內(nèi)容的銜接，本課程只講授高數(shù)下內(nèi)容，

3、包括：空間解析幾何，多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，級數(shù)和常微分方程。 由于本課程屬競賽培訓(xùn)性質(zhì)，根據(jù)競賽要求，本課程的授課內(nèi)容有如下特點： (1) 寬本課程要介紹一些課本上沒有涉及到的內(nèi)容，如重積分的換元法，正項級數(shù)的廣義比較審斂法等； (2) 難本課程所講例題及作業(yè)大部分難度較大； (3) 繁部分題目中的計算相當(dāng)繁瑣,如多元微分學(xué)中的變量代換, 多元積分學(xué)中的應(yīng)用問題等。4. 課程考核及最終選拔課程考核及最終選拔 由于本課程實際上是為數(shù)學(xué)競賽選拔而專門開設(shè)的公選課，所以本課程的考核方式是最終的選拔賽。 正式參賽的50名學(xué)生將依據(jù)選拔賽成績、單元測驗成績、期末成績及完成作業(yè)情況而選拔產(chǎn)生。正式名單放

4、假前公布。 歡迎名單外的學(xué)生參與聽課、選拔、參賽。一、空間解析幾何一、空間解析幾何 空間解析幾何不是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的重點內(nèi)容，所占比例很小。有時僅將此內(nèi)容與多元函數(shù)微分學(xué)幾何應(yīng)用、多元函數(shù)積分學(xué)結(jié)合考察，并不單獨命題。 空間解析幾何重點要掌握的內(nèi)容是：旋轉(zhuǎn)曲面方程；點到直線的距離；異面直線間的距離；異面直線的公垂線方程。1. 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程 本部分要求理解、掌握建立旋轉(zhuǎn)曲面方程的思路和方法，特別要注意空間曲線繞非坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。 例例1 設(shè)曲線L是拋物柱面 x=2y2與平面 x+z=1的交線。 (1) 求曲線L在各坐標(biāo)面上的投影曲線; (2) 求曲線L分別繞各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)

5、一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。 如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面S上某一點M(x,y,z)由空間曲線C上點 M1(x0,y0,z0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所生成。根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面的概念，z= z0，且這兩點到z軸的距離相等。 將C寫為z的參數(shù)方程再令 ，即得旋轉(zhuǎn)曲面方程 00000,xxzyyzzz222200 xyxy 222200 xyxzyz 例例2 求直線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。 練習(xí)練習(xí)1 求直線 在平面 上的投影繞y旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。 練習(xí)練習(xí)2 求直線 繞直線 l0: x=y=z 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。 1:011xyzl1:122xyzl11:111xyzL:210 xyz 2. 點到直線的距離

6、點到直線的距離 點到直線的距離是諸如轉(zhuǎn)動慣量等問題的基礎(chǔ)。 設(shè)M0為直線L外一點，M是L上一點，且L的方向向量為s，試證：M0到L的距離證證 ， 0dMMss00sinMMss MM 0MMsdss d第一周作業(yè)第一周作業(yè) 1. 研讀本PPT，獨立完成所有例題。 2. 完成第一部分的6 個練習(xí)和第二部分的練習(xí)1。 3. 預(yù)研第二部分的例4和例5。 4. 預(yù)習(xí)多元隱函數(shù)求導(dǎo)內(nèi)容。 例例3 求點 到直線的距離。 練習(xí)練習(xí)3 用三種方法求 到直線的距離。3,:327xylxyz 1, 0,1P01,1, 0M2330,:0yzLxy3. 直線到直線的距離直線到直線的距離 直線到直線的距離問題是空間解

7、析幾何中比較重要的問題。在計算前最好用混合積判斷一下兩直線是平行還是異面。 例例4 求兩直線間的距離。12112:,01311:122xyzLxyzL 練習(xí)練習(xí)4 用三種方法求兩直線間的距離。120,213:,:0421xyxyzllz4. 求異面直線的公垂線方程求異面直線的公垂線方程 求異面直線的公垂線方程也是空間解析幾何中比較重要、有一定難度的問題。 例例5 求兩直線的公垂線方程。1231:,2012:10 xzLyxyLz 練習(xí)練習(xí)5 用兩種方法求兩直線的公垂線方程。 練習(xí)練習(xí)6 平面通過兩直線的公垂線L，且平行于向量c=1,0,-1，求此平面。129272:,:431292xyzxyz

8、LL1212531:,:121132xyzxyzLL二、多元函數(shù)微分學(xué)及應(yīng)用二、多元函數(shù)微分學(xué)及應(yīng)用 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用是競賽中比較重要的內(nèi)容，比例約占15% 。 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用重點要掌握的內(nèi)容是：復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法；幾何應(yīng)用；多元函數(shù)極值。要特別注意幾何應(yīng)用、多元函數(shù)極值與其它內(nèi)容相結(jié)合的綜合問題 。1. 偏導(dǎo)數(shù)與可微的概念偏導(dǎo)數(shù)與可微的概念 本部分要求理解多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分等概念及其相互關(guān)系；掌握用定義判斷偏導(dǎo)存在、可微的方法。有極限連續(xù)偏導(dǎo)存在可微偏導(dǎo)連續(xù) 例例1 證明 在(0,0)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微。 練習(xí)練習(xí)1 證明在(0,0)處可微，但偏導(dǎo)并不連續(xù)

9、。222222221sin,0,0,0 xyxyxyf x yxy22222222sin,0,0,0 xyxyxyf x yxyxy2. 多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算 本部分要求熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算，特別要注意二階偏導(dǎo)數(shù)的計算以及自變量的變換問題。 例例2 設(shè) ，其中f 可微，求 此題要特別注意計算中可能的錯誤。22yzf xy11zzx xy y 例例3 設(shè) 求 。 (1) 在計算多層復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)時，最好先根據(jù)函數(shù)樹圖搞清函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)。 (2) 當(dāng)復(fù)合層次較多時，利用全微分形式不變性求偏導(dǎo)數(shù)較方便且不易錯。 , ,uf x y zyx ttx z,uuxy

10、 例例4 設(shè)變換 可把方程簡化為 ，其中 二階偏導(dǎo)連續(xù)，求常數(shù)a。 注注 此類題的關(guān)鍵是將新引入的變量u, v作為中間變量，然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法計算；難點是二階偏導(dǎo)數(shù)的計算。 2222260zzzx yxy 2 ,uxyvxay20zu v ,zz x y 例例5 設(shè) 一階偏導(dǎo)連續(xù)，做變換 ，證明： 例例6 設(shè) ，將下列方程變換為w=w(u,v)的方程其中z(x,y)二階偏導(dǎo)連續(xù)。,uu x yvv x y,1,1.uxvyurrvuyvxvrru cos ,sinxryr,uxy vxy wxyz2222220zzzx yxy 練習(xí)練習(xí)2 設(shè)變換 將方程 化為 ，求a并解此方程，其中z(x

11、,y)二階偏導(dǎo)連續(xù)。 練習(xí)練習(xí)3 設(shè) ，u(x,y)二階偏導(dǎo)連續(xù)。 (1) 將 分別變換為極坐標(biāo) 下的表達(dá)式；2222102zzzyyxy,2uxayvxy20zu v cos ,sinxryr221222,uuuuxyyxxy, r (2) 設(shè) ，解方程 。 練習(xí)練習(xí)4 試用變量代換將 的方程化為 的方程。0u22220uuxy,xuvx wxzyy,zz x y22212zzzxyxx yyxyy ,ww u v3. 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法 隱函數(shù)求導(dǎo)法是競賽中?？純?nèi)容。本部分要求熟練掌握各種形式隱函數(shù)一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的計算。 例例7 設(shè) 由方程 確定，求 。 ,zz x y,0zzF

12、xyyx,zzxy第二周作業(yè)第二周作業(yè) 1. 研讀本PPT中的新內(nèi)容，獨立完成所有例題。 2. 完成第二部分的練習(xí)210。 本題為隱函數(shù)求導(dǎo)中的典型問題，通常有三種做法：(1) 公式法；(2) 兩邊求導(dǎo)法；(3) 微分法。考慮到學(xué)生的計算能力，建議采用公式法。 例例8 設(shè)y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)= 0所確定的x,y的函數(shù)，其中f, F均一階偏導(dǎo)連續(xù)，證明： fFfFdyxttxfFFdxtyt 練習(xí)練習(xí)5 設(shè)z=z(x,y)是由確定的具有連續(xù)二階偏導(dǎo)的隱函數(shù)，且F1 =F20。求證：(1) ；(2) 。 本題為第3屆預(yù)賽試題。 11,0F zzxy220zzxyxy222

13、33220zzzxxy xyyx yxy 練習(xí)練習(xí)6 設(shè)z=f(u,v) 二階偏導(dǎo)連續(xù)，且又x=x(y,z)是由z=f(x,y)確定的函數(shù)，求 222222,0,0 xzzzfx yx yxy 222222xxxy zyz 4. 多元函數(shù)微分法的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分法的幾何應(yīng)用 多元函數(shù)微分法的幾何應(yīng)用在競賽中往往與多元函數(shù)的極值、線面積分等內(nèi)容綜合考察。 例例9 求曲線 在點P (1,1,1)處的切線與法平面方程。 例例10 證明: 曲面F(ax+bz,by+cz)=0的切平面均平行于某定直線，F(xiàn)一階偏導(dǎo)連續(xù)。22230,23540 xyzxxyz 練習(xí)練習(xí)7 過點(2,0,0)引曲面 的切

14、線，求全部切線組成的曲面。 練習(xí)練習(xí)8 證明: 曲面 的切平面均過一定點，f一階偏導(dǎo)連續(xù)。,0 xa ybfzc zc222149yzx 5. 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)的極值幾乎是競賽中的必考內(nèi)容，通常與幾何應(yīng)用、多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用等內(nèi)容綜合考察。 例例11 拋物面 被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。 例例12 求橢球面 在第一卦限的點，使該點切平面被三坐標(biāo)面截出的22zxy22231xyz三角形的面積最小。 練習(xí)練習(xí)9 在橢球面 上求一點，使函數(shù) 在該點沿方向 的方向?qū)?shù)最大。 練習(xí)練習(xí)10 設(shè)錐面 ，平面 ，求以點P為中心與相切的球面方程及切點

15、坐標(biāo)，其中P是S上到距離最小的點。22:44S zxy:222xyz222221xyz222, ,f x y zxyz1, 1,0l 三、多元函數(shù)積分學(xué)及應(yīng)用三、多元函數(shù)積分學(xué)及應(yīng)用 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用是競賽中非常重要的內(nèi)容，比例約占15% 。 對多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用部分，除了要熟悉重積分、兩類線面積分的計算方法外，要特別注意Green公式 (積分與路徑無關(guān)) 和Gauss公式、多元函數(shù)積分學(xué)的物理應(yīng)用(質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、功)。1. 重積分的計算及應(yīng)用重積分的計算及應(yīng)用 本部分要求熟練掌握二重和三重積分的各種計算方法，熟悉重積分在幾何和物理上的應(yīng)用。此外，最好還要知曉重積分的輪換對稱性和換

16、元法。 下面首先以二重積分為例介紹輪換對稱性和換元法。 (1) 輪換對稱性輪換對稱性 若D和D1關(guān)于y=x對稱，則 若D關(guān)于y=x對稱，則 輪換對稱性在計算某些特殊二重積分時有著特別的作用。( , )( , )DDf x y df y x d1( , )( , )DDf x y df y x d 例例1 計算積分其中 。 注注 本題也可用通常方法計算。 例例2 求 ，其中f (t)為定義在 上的連續(xù)正值函數(shù)，a0, b0， 。 注注 本題無法用一般方法計算。4sinDxyd:02 , 02Dxy Daf xbfyIdf xfy:1Dxy, 例例3 設(shè)f (x)在0,1上正值遞減，試證 注注 本

17、題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)換為二重積分問題。 1122001100 xfx dxfx dxxf x dxf x dx (2) 二重積分的換元法二重積分的換元法 若變換x=x(u,v), y=y(u,v)將uOv面上的區(qū)域變成xOy面上的區(qū)域D，則其中， 為Jacobi行列式。 例例4 計算 注注 本題是典型的換元法。( , ),Df x y dxdyfx u vy u vJ dudv,:0,0,1yx yDedxdy D xyxy,x yJu v第三周作業(yè)第三周作業(yè) 1. 研讀本PPT中的新內(nèi)容，獨立完成所有例題。 2. 完成第三部分的練習(xí)110。 例例5 設(shè)f (x)連續(xù)，證明其中 。 例例6 設(shè)f

18、(x)連續(xù)，證明其中 。 注注 本題與練習(xí)7類似，難度較大，所用方法也較為獨特。 11Df xy dxdyf u du:1Dxy1222121Df axbyc dxdyu fab uc du2222:1,0D xyab 解解 根據(jù)題意，令 ，即考慮到這相當(dāng)于將向量(x,y)T順時針旋轉(zhuǎn)了，故令 ，即這相當(dāng)于將向量(u,v)T逆時針旋轉(zhuǎn)了。 (相關(guān)內(nèi)容見線性代數(shù)教材P49)22cossinaxbyuxyab22axbyab ucossin ,sincos ,xuvyuvsincosvxy 而D變?yōu)?，故cossin,1sincos,x yJu v221:1Duv122DDf axbyc dxdy

19、fab uc J dudv22112211uufab uc dudv1222121u fab uc du (3) 重積分的計算與應(yīng)用重積分的計算與應(yīng)用 數(shù)學(xué)競賽中單獨考察重積分計算的可能性較小，往往與多元函數(shù)極值、幾何與物理應(yīng)用等問題相結(jié)合。 例例7 求其中 。 例例8 求其中 。xyz dv222xyzxz edv222:14, , ,0 xyzx y z2222:,0 xyzRz 例例9 求 例例10 設(shè)拋物面 及圓柱面 。 (1) 求 的一個切平面，使它與 及 圍成的立體 的體積最小。 (2) 當(dāng)由(1)確定的最小體積的立體 上有質(zhì)量分布，其密度為1，求 的質(zhì)心。222222222,:1

20、xyzxyzdvabc222:11xy221:1zxy 11200 練習(xí)練習(xí)1 計算積分其中 。 練習(xí)練習(xí)2 求 ，其中 練習(xí)練習(xí)3 證明：min,Dx y d:1, ,0D xyx yxyDIeed:1Dxyln 11,:12,12ln 1DydxdyDxyx 練習(xí)練習(xí)4 求 練習(xí)練習(xí)5 計算其中D由直線x+y=1與兩坐標(biāo)軸所圍三角形區(qū)域。 本題為第一屆預(yù)賽第1題。ln 11Dyxyxdxdyxycos,:0,0,1Dxydxdy D xyxyxy 練習(xí)練習(xí)6 證明： 練習(xí)練習(xí)7 證明：其中 。 本題與第3屆預(yù)賽中的一個難題類似。1222211f axbycz dvufabc u du 22

21、2222,:1Df xy dxdyf uu duD xy222222:1,0 xyzabc 練習(xí)練習(xí)8 求 練習(xí)練習(xí)9 求其中 為常數(shù)。 練習(xí)練習(xí)10 設(shè)曲面 。(1) S1將 S2分成三塊，求這三塊曲面面積。(2) 記 ，求 位于S1內(nèi)部分的體積V。2222222,:lxmynzdvxyzR22222,:xyzdvxyzR,l m n22212:13,:SzxySx2225yz222:25xyz2. 線面積分的計算及應(yīng)用線面積分的計算及應(yīng)用 本部分要求熟練掌握兩類線面積分的計算方法，熟悉第1, 2類線積分及第1類面積分在物理上的應(yīng)用，特別要注意格林公式和高斯公式及其應(yīng)用問題。 這里還要提醒各

22、位，兩類線積分特別是兩類面積分間的聯(lián)系在求解特定問題時會起到特殊的作用。 (1) 線積分的計算與格林公式線積分的計算與格林公式 例例1 設(shè)曲線 是球面 與平面 的交線，試求 。 例例2 設(shè) ，L為D的正向邊界，試證： 注注 此題與第一屆真題類似，但后一問做法有所不同。2221xyz1xyz2xyds,01, 01Dx yxysinsinsinsin2yxyxLLxedyyedxxedyyedx 例例3 設(shè)函數(shù) 導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲線積分的值為常數(shù)。 (1) 設(shè)L為正向閉曲線 ，證明 (2) 求函數(shù) 。 x 422Cxydxx dyxy2221xy 4220Lxyd

23、xx dyxy x (3) 設(shè)C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求 注注 此題為真題。 例例4 求 ，其中L為自A(-1,0)沿y=x2-1至B(2,3)的曲線弧。 注注 此題為習(xí)題集上許多學(xué)生疑惑的一個問題。 422Cxydxx dyxy22Lxdyydxxy 例例5 設(shè)函數(shù) 導(dǎo)數(shù)連續(xù)，對平面上任一分段光滑的曲線L，曲線積分I = 與路徑無關(guān)。 (1) 當(dāng) 時，求 (2) 設(shè)L為從點O(0,0)到 的分段光滑曲線，計算I。 注注 此題為與微分方程結(jié)合的典型題。 ,xx 22222Lxyydxxyxyxydy 02,01 ,xx,2N 例例6 設(shè) 在 上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求其中L是從點 到點B(1,2

24、)的直線段。 注注 請注意此題的解題思路。 , 22211Ly f xyxdxy f xydyyy23,3A f x (2) 面積分的計算與高斯公式面積分的計算與高斯公式 例例7 設(shè)S是橢球面 的上半部分 ， 為S在P點處的切平面， 為原點到 的距離，求 注注 此題為常見綜合題。222122xyz0z ,PS, ,x y z3, ,SIzx y z dS 例例8 設(shè)S是上半橢球面 點 ， 為S在P點處的切平面， 為原點到 的距離，求 (1) (2) 注注 注意問題(2)中所用內(nèi)容。2221022xyzz, ,P x y zS1, ,SzIdSd x y z, ,d x y z22()1, ,SIdydzdzdxdxdydx y z上 例例9 計算曲面積分其中 為曲面 夾