ch92一階微分方程PPT學習教案

1、會計學1ch92一階微分方程一階微分方程例例2 2 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xCey 21xCeey 即即21xCeey 或者或者Cxylnln2 若若積積分分后后寫寫為為就就很很容容易易得得到到。通通解解2xCey 第1頁/共36頁3例例度成正比，后，所受空氣阻力與速設降落傘從跳傘塔下落并設解解設降落傘下落速度為設降落傘下落速度為)(tvmgP kvR 降降落落傘傘在在下下降降過過程程中中，的作用的作用與阻力與阻力同時受到重力同時受到重力RP，重力重力

2、mgP 一一致致；方方向向與與 v，阻力阻力kvR 相相反反；方方向向與與 v從從而而降降落落傘傘所所受受外外力力為為kvmgF ，為為加加速速度度根根據(jù)據(jù)牛牛頓頓第第二二運運動動定定律律)(amaF 可可得得kvmgtvm dd降落傘離開的速度為零，求降落速度與時間的函數(shù)第2頁/共36頁分分離離變變量量后后可可得得mtkvmgvdd 兩兩邊邊積積分分 mtkvmgvdd得得1)ln(1Cmtkvmgk 即即1Cktmkekvmg 或或)(1keCCekmgvkCtmk ，初初始始條條件件為為0)0( v代代入入上上式式得得kmgC 于于是是所所求求的的特特解解為為)1(tmkekmgv )d

3、d00 tvmtkvmgv（或者（或者第3頁/共36頁例例4. 4. 有高為有高為1 1米的半球形容器米的半球形容器, , 水從它的底部小水從它的底部小孔流出孔流出, , 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1 1平方厘米平方厘米( (如圖如圖). ). 開始開始時容器內(nèi)盛滿了水時容器內(nèi)盛滿了水, , 求水從小孔流出過程中容器求水從小孔流出過程中容器里水面的高度里水面的高度h( (水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離) )隨時隨時間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律. .解解由力學知識得由力學知識得, ,水從孔口流水從孔口流出的流速為出的流速為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積

4、孔口截面面積重力加速重力加速度度第4頁/共36頁cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設在微小的時間間隔設在微小的時間間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2由力學知識公式由力學知識公式,262. 0ghSdtdVQ 第5頁/共36頁dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,)200(262. 03

5、dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為第6頁/共36頁解解例例5 5 某車間體積為某車間體積為1200012000立方米立方米, , 開始時空氣中含有開始時空氣中含有0.1%0.1%的的COCO2 2, ,為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中COCO2 2的含量的含量, ,用一臺用一臺風量為每秒風量為每秒20002000立方米的鼓風機通入含立方米的鼓風機通入含0.03%0.03%的的COCO2 2的的新鮮空氣新鮮空氣, , 同時以同樣的風量將混合均

6、勻的空氣排出同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出, , 問鼓風機開動問鼓風機開動6 6分鐘后分鐘后, ,車間內(nèi)車間內(nèi)COCO2 2的百分比降低到多的百分比降低到多少少? ?設鼓風機開動后設鼓風機開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量%,03. 02000 dt)%,(2000txdt 第7頁/共36頁2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,0

7、7. 0 C,07. 003. 061tex ,030003178.07. 003. 0|1060 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.030003178. 02CO第8頁/共36頁二二. 一階線性方程一階線性方程，一階線性方程一階線性方程的方程，稱為的方程，稱為形如形如)()(ddxQyxPxy 是是連連續(xù)續(xù)的的，、其其中中)()(xQxP稱為自由項稱為自由項)(xQ時時，當當0)( xQ；一階線性齊次方程一階線性齊次方程稱為稱為0)(dd yxPxy時時，當當0)( xQ一階線性非齊次方程一階線性非齊次方程稱為稱為一階線性齊次方程一階線性齊次方程. 10)

8、(dd yxPxy分離離變量，xxPyyd)(d 兩兩邊邊積積分分， xxPyyd)(dCxxPylnd)(ln 得得所以通解為所以通解為 xxPCeyd)( 第9頁/共36頁的通解的通解求微分方程求微分方程例例03dd6 yxy解解 原方程化為原方程化為，yxy3dd 分分離離變變量量，得得，xyyd3d 兩兩邊邊積積分分，得得，Cxyln3ln 即即通通解解為為為任意常數(shù)為任意常數(shù))(3CCeyx )(直接套用公式直接套用公式另解：另解：，3)( xP所求通解為所求通解為 xeCyd3為任意常數(shù)為任意常數(shù))(3CCex 第10頁/共36頁一階線性非齊次方程一階線性非齊次方程. 2)0)()

9、()(dd xQxQyxPxy)1(，令令 xxPexuyd)()(則則 xxPexuyd)()( xxPexud)()(，)(xP 中中代入方程代入方程將將(1),yy)()()(d)(d)(xPexuexuxxPxxP xxPexuxPd)()()()(xQ ，即即)()(d)(xQexuxxP ，或或 xxPexQxud)()()(兩兩邊邊積積分分，得得，CxexQxuxxP d)()(d)(0)(: yxPxydd線性齊次線性齊次第11頁/共36頁的通解：的通解：方程方程)()(ddxQyxPxy CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(這這種種方方法法稱稱為為法法戲戲常數(shù)變易常數(shù)

10、變易)(通解可化為通解可化為 xexQeCeyxxPxxPxxPd)(d)(d)(d)(結(jié)論結(jié)論通解一階階線性非齊次方程+非齊次線性方程的特解=對應齊次線性方程的通解第12頁/共36頁求解初值問題求解初值問題例例7 ，0)1(3dd3yeyxyx解解，3)( xPxexQ3)( 代代入入通通解解公公式式，得得 Cxeeeyxxxdd33d3xe3 Cxeexx d333Cxex ，由于由于0)1( y，得得01)1(3 Cey，即即1 C故故所所求求特特解解為為)1(3 xeyx第13頁/共36頁的通解的通解求微分方程求微分方程例例xyyxcos8 解解方程變形為方程變形為xxyxycos1

11、，則則xxP1)( ，xxxQcos)( 所以通解為所以通解為 xxeyd1 Cxexxxxdcosd1xeln Cxexxxdcosln Cxxx dcos1)(sin1Cxx 第14頁/共36頁的通解的通解求方程求方程例例29 yxyy 解解 方程變形為方程變形為yyxyx2dd yxy 1，即即yxyyx 1dd所以通解為所以通解為 yyexd1 Cyeyyydd1y dlnCyeyy )(Cyy 第15頁/共36頁例例10.10.如圖所示如圖所示, ,平行與平行與y 軸的動直線被曲線軸的動直線被曲線 y = f(x) 與與 y = x3 (x 0) 截下的線段截下的線段PQPQ之之線段

12、線段長長在在數(shù)數(shù)值上等于陰影部分的面積值上等于陰影部分的面積數(shù)值數(shù)值, ,求曲線求曲線f(x) .,)()(230 xfxdxxfx xyxydx03,兩邊求導得兩邊求導得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 第16頁/共36頁 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 第17頁/共36頁三三. 齊次型微分方程齊次型微分方程),(ddyxfxy 一階方程一階方程，若若)(),(xygyxf 齊次型方程齊次型方程則稱此方程為則稱此方程為例例如如yxyxxy d

13、dxyxy 11xyyxxyxysindd22 xyxyxysin)(12 如何化為變量可分離的微分方程如何化為變量可分離的微分方程，xyu ?第18頁/共36頁作代換，化為變量可分離的方程作代換，化為變量可分離的方程，令令xyu ，則則uxy xyddxuxudd 得到新的方程得到新的方程xuxudd )(ug xuugxu )(dd或或xxuugud)(d 即即兩兩邊邊積積分分Cxxuugu d)(d，解出解出),(Cxu ),(Cxxy 所以所以，代入到代入到)(xygdxdy 第19頁/共36頁解方程解方程例例xyxyxyxydddd1122 解解原原方方程程可可化化為為22ddxxy

14、yxy 1)(2 xyxy，令令xyu ，則則uxy xyddxuxudd 所所以以xuxudd ，12 uu1dd uuxux即即分分離離變變量量得得xxuudd)11( 兩兩邊邊積積分分 xxuudd)11(，得得xCuulnln ，即即Cuxu ln所所以以所所給給方方程程的的通通解解為為Cxyy ln第20頁/共36頁的特解的特解滿足滿足求方程求方程例例1)0(0d2d)(1222 yxxyyyx解解，令令)0( yyxv，則則yvx ，yvvyxddd 原方程可化為原方程可化為0)dd(2d)(2222 yvvyvyyyyv)0( y，即即vvyyvd2d)1(2 分分離離變變量量得

15、得，1d2d2 vvvyy兩兩邊邊積積分分， 1d2d2vvvyyCyvlnln)1ln(2 得得，即即yCv 12所求通解為所求通解為；Cyyx 22，又因又因1)0( y，得得1 C所以所求特解為所以所求特解為yyx 22第21頁/共36頁xxyxy ddxxyxy 1dd齊齊次次型型方方程程!不不是是齊齊次次型型方方程程xxyxy )1(d)1d(zy 1令令xxzxz dd方方程程化化為為：2dd yxxyxy)1()1()1()1()1d()1d( yxxyxy第22頁/共36頁的通解的通解求方程求方程例例0d)14(d)1(13 yxyxyx解解，令令hsx ，kty ，則則sxd

16、d ，tydd 代代入入原原方方程程，得得0d)144(d)1( thkstskhts 01401hkkh解方程組解方程組，得得1 h，0 k于于是是令令，1 sx，ty 原方程化為原方程化為0d)4(d)( tststs，即即141dd ststst，令令stu ，則則susustdddd 于于是是方方程程化化為為，141dd uususu，或或1414dd2 uusus?第23頁/共36頁分分離離變變量量得得，ssuuudd14142 兩兩邊邊積積分分， ssuuudd14142，得得22ln)2arctan()14ln(sCuu ，或或Cuus )2arctan()14(ln22，即即C

17、stst )2arctan()4ln(22所所求求通通解解為為Cxyxy )12arctan()1(4ln22第24頁/共36頁注注由方程組由方程組，其中其中kh確確定定小結(jié)小結(jié): :可化為齊次的方程可化為齊次的方程: :的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 為齊次方程為齊次方程. .,01時時當當 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待定的常數(shù)）dYdydXdx ,否則為非齊次方程否則為非齊次方程. .)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法解法1.1.定義定義 , 0, 0111ckbhacbkah第2

18、5頁/共36頁的通解的通解求方程求方程例例41114 yxy解解，令令4 yxu，則則xyxudd1dd ，即即xuxydd1dd 原原方方程程化化為為，uxu1dd 分分離離變變量量得得，xuud2d2 兩兩邊邊積積分分， xuud2d2Cxu 22得得所求通解為所求通解為Cxyx 2)4(2.45 yxyxy分分析析：方方程程實實際際上上就就是是第26頁/共36頁例例15. 拋物線的光學性質(zhì)證明拋物線的光學性質(zhì)證明實例實例: : 車燈的反射鏡面應該是車燈的反射鏡面應該是-旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面解解軸軸設旋轉(zhuǎn)軸設旋轉(zhuǎn)軸 ox如圖如圖),0 , 0(光源在光源在)(:xyyL xyoMTNRL上

19、任一點，上任一點，為為設設LyxM),(,yMT 斜率為斜率為為切線為切線,1,yMN 斜率為斜率為為法線為法線,NMROMN 分析分析: 只需證明曲線為拋物線只需證明曲線為拋物線第27頁/共36頁 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan, 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夾角正切公式得由夾角正切公式得:xyoMTNRL.tan(-)=tan()-tan()/1+tan()tan() 第28頁/共36頁，令令xyu ,112uudxduxu 得得分離變量分離變量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdx

20、tttdt 積分得積分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即第29頁/共36頁平方化簡得平方化簡得,2222xCxCu 得得代回代回,xyu )2(22CxCy 拋物線拋物線軸的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為軸的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為所求旋轉(zhuǎn)軸為所求旋轉(zhuǎn)軸為 ox).2(222CxCzy 下一章的解析幾何得到:所求曲線為拋物線.第30頁/共36頁四四. 伯努利方程伯努利方程(Bernoulli)1,0()()(dd nyxQyxPxyn)2(，得到，得到式兩端同乘以式兩端同乘以ny )2()()(dd1xQyxPxyynn )1(n )1(n )1(n 注注意意到到nyx 1dd，xyynndd)1( ，令令nyz 1式式化化為為則則)2(，)()1()()1(ddxQnzxPnxz 所求通解為所求通解為zyn 1 CxexQnexxPnxxPnd)()1(d)()1(d)()1(方程方程稱為伯努利方程伯努利方程第31頁/共36頁的通解的通解求方程求方程例例316yxyy 解解方程可化為方程可化為xyyy 3231，令令32yz ，則則xyyxzdd32dd31 因因此此原原方方程程可可化化為為，xzxz3232dd 所以通解為所以通解為zy 32 Cxexexxd32d32d