80個高中數(shù)學(xué)易錯題(共34頁)

1、2017年高考備考：高中數(shù)學(xué)易錯點(diǎn)梳理一、集合與簡易邏輯易錯點(diǎn)1 對集合表示方法理解存在偏差【問題】1: 已知，求。錯解：剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。正確結(jié)果：【問題】2: 已知，求。錯解： 正確答案：剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認(rèn)為為點(diǎn)集。反思：對集合表示法部分學(xué)生只從形式上“掌握”，對其本質(zhì)的理解存在誤區(qū)，常見的錯誤是不理解集合的表示法，忽視集合的代表元素。易錯點(diǎn)2 在解含參數(shù)集合問題時(shí)忽視空集【問題】: 已知，且，求 的取值范圍。錯解：-1，0）剖析：忽視的情況。正確答案：-1，2反思：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合就有可能忽視了，導(dǎo)致解題結(jié)果

2、錯誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問題時(shí)，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時(shí)，所給的集合可能是空集的情況?？忌捎谒季S定式的原因，往往會在解題中遺忘了這個集合，導(dǎo)致答案錯誤或答案不全面。易錯點(diǎn)3 在解含參數(shù)問題時(shí)忽視元素的互異性【問題】: 已知1, ，求實(shí)數(shù)的值。錯解： 剖析：忽視元素的互異性，其實(shí)當(dāng)時(shí)，=1；當(dāng)時(shí)， =1；均不符合題意。正確答案：反思：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性，集合元素的三性中的互異性對解題的影響最大，特別是含參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。解題時(shí)可先求出字母參數(shù)的值，再代入驗(yàn)證。易錯點(diǎn)4 命題的否定與否命題關(guān)系不明【問題】: 寫出“若，則”的否命題。

3、錯解一：否命題為“若，則”剖析：概念模糊，弄錯兩類命題的關(guān)系。錯解二：否命題為“若，則”剖析：知識不完整，的否定形式應(yīng)為。正確答案：若，則反思：命題的否定是命題的非命題，也就是“保持原命題的條件不變，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”所得的命題，但否命題是“否定原命題的條件作為條件，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”所得的命題。對此?？忌赡軙竷深愬e誤概念不清，不會對原命題的條件和結(jié)論作出否定；審題不夠細(xì)心。易錯點(diǎn)5 充分必要條件顛倒出錯【問題】:已知是實(shí)數(shù)，則“且”是“且”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 錯解：選B剖析：識記不好，不能真正理解充要條件概念

4、，未能掌握判斷充要條件的方法。正確答案：C反思：對于兩個條件，如果，則是的充分條件，是的必要條件，如果，則是的充要條件。判斷充要條件常用的方法有定義法；集合法；等價(jià)法。解題時(shí)最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時(shí)，一定要分清條件和結(jié)論，根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒鰷?zhǔn)確的判斷，不充分不必要常借助反例說明。易錯點(diǎn)6 對邏輯聯(lián)結(jié)詞及其真值表理解不準(zhǔn)【問題】: 命題p：若a、bR，則是的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y=的定義域是（，13，+，則A“”為假 B“”為真 C D 錯解一：選或 剖析：對真值表記憶不準(zhǔn)，本題中，因此“”為真，而“”為假。錯法二：選 剖析：基礎(chǔ)不

5、牢，在判斷命題真假時(shí)出錯。正確答案：D反思：含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題稱為復(fù)合命題。在判斷復(fù)合命題真假時(shí)，常常因?yàn)閷Ω拍罾斫獠粶?zhǔn)確或真值表記不清而出現(xiàn)錯誤。為此準(zhǔn)確理解概念、巧記真值表是解題的關(guān)鍵。這里介紹一種快速記憶真值表的方法：“”有真則真；“”有假則假；“”真假相反。易錯點(diǎn)7 否定全稱、特稱命題出錯【問題】寫出下列命題的否定： ：對任意的正整數(shù)x, ； q：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于； r:三角形只有一個外接圓。錯解：對任意的正整數(shù)x, ；：所有的三角形的內(nèi)角和小于；存在一個三角形有且只有一個外接圓。剖析：知識欠缺，基礎(chǔ)不牢導(dǎo)致出錯。正確答案：存在正整數(shù)x, 使；：所有

6、的三角形的內(nèi)角和都不大于；存在一個三角形至少有兩個外接圓。反思：全稱命題，它的否定，特稱命題，它的否定。一般來說，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。切記對全稱、特稱命題的否定，不僅要否定結(jié)論，而且還要對量詞“”進(jìn)行否定。另外，對一些省略了量詞的簡化形式，應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)易錯點(diǎn)8 求函數(shù)定義域時(shí)條件考慮不充分【問題】: 求函數(shù)y=+的定義域。錯解：-3，1 剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視分母不為零；誤以為=1對任意實(shí)數(shù)成立。正確答案：反思：函數(shù)定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此求定義域時(shí)就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限

7、制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)定義域。在求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)分式的分母不為零；偶次根式被開方式非負(fù)；對數(shù)的真數(shù)大于零；零的零次冪沒有意義；函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集。易錯點(diǎn)9 求復(fù)合函數(shù)定義域時(shí)忽視“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”【問題】已知函數(shù)求函數(shù)的值域。錯解：設(shè)，。剖析：知識欠缺，求函數(shù)定義域時(shí)，應(yīng)考慮.正確答案：反思：在復(fù)合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域，求復(fù)合函數(shù)定義域類型為：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域可由不等式解出即可；若已知的定義域?yàn)?,求的定義域，相當(dāng)于xa,b時(shí)，求的值域（即 的定義域）。易錯點(diǎn)分析10 判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽

8、視定義域【問題】1: 判斷函數(shù)的奇偶性。錯解：原函數(shù)即，為奇函數(shù) 剖析：只關(guān)注解析式化簡，忽略定義域。正確答案：非奇非偶函數(shù)?！締栴}】2: 判斷函數(shù)的奇偶性。錯解：，為偶函數(shù) 剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結(jié)論，導(dǎo)致錯誤。正確答案：既奇且偶函數(shù)。反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。如果不具備這個條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，如果對定義域內(nèi)任意x都有，則為奇函數(shù)；如果對定義域內(nèi)任意x都有，則為偶函數(shù)，如果對定義域內(nèi)存在使，則不是奇函數(shù)；如果對定義域內(nèi)存在使，則不是偶函數(shù)。易錯點(diǎn)11 求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)忽視定義域【問題】: 求函

9、數(shù)的增區(qū)間。錯解一：外層函數(shù)為減函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)減區(qū)間為，原函數(shù)增區(qū)間為。剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視定義域問題錯解二：，函數(shù)定義域?yàn)?，又?nèi)層函數(shù)在 為增函數(shù)，在為減函數(shù)，原函數(shù)增區(qū)間為。剖析：識記不好，對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則不熟練。正確答案：反思：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是求函數(shù)的定義域；作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；用“同增異減”法則寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會出現(xiàn)以下兩類錯誤：一是忽視定義域；二是 “同增異減”法則不會或法則用錯。易錯點(diǎn)12 解“二次型函數(shù)”問題時(shí)忽視對二次項(xiàng)系數(shù)的討論【問題】: 函數(shù)的圖象與軸只有一個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。錯解：由解得 剖析：知識殘缺，分類討論意識沒有，未考慮的情況。正確

10、答案：反思：在二次型函數(shù)中，當(dāng)時(shí)為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)時(shí)為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時(shí)，應(yīng)密切注意項(xiàng)的系數(shù)是否為0，若不能確定，應(yīng)分類討論，另外有關(guān)三個“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對象。例如：解集為解集為易錯點(diǎn)13 用函數(shù)圖象解題時(shí)作圖不準(zhǔn)【問題】: 求函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)。錯解：兩個 剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增減速度快慢對作圖的影響。正確答案：三個反思：“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準(zhǔn)確、快速、靈活及操作性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)頗受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的青睞。但我們在解題時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫準(zhǔn)圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致圖形“失真”，從而得出錯誤的答案。易錯點(diǎn)14

11、忽視轉(zhuǎn)化的等價(jià)性【問題】1: 已知方程有且只有一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。錯解：方程有且只有一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，函數(shù)的圖象與軸在（0，1）內(nèi)有且只有一個交點(diǎn)，解得 剖析：知識殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮到=0情況。正確答案：m2且m=9/4 【問題】2:函數(shù)的圖象大致是（ ）剖析：在轉(zhuǎn)化過程中，去絕對值時(shí)出錯，從而得到錯誤的圖象。在圖象變換過程中出錯，搞錯平移方向。正確答案：D反思：等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會起到意想不到的效果，但等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，反之會出現(xiàn)各種離奇的錯誤。易錯點(diǎn)15 分段函數(shù)問題【問題】1:.已知是R上的增函數(shù)，求a

12、的取值范圍。錯解： 剖析：知識殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視在分界點(diǎn)附近函數(shù)值大小關(guān)系。正確答案：【問題】2:設(shè)函數(shù)，求關(guān)于x的方程解的個數(shù)。錯解：兩個剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，分類討論意識沒有，未能將方程分兩種情況來解。正確答案：三個反思：與分段函數(shù)相關(guān)的問題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等式、研究單調(diào)性及討論奇偶性等等。在解決此類問題時(shí)，要注意分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，如果自變量取值不能確定，要對自變量取值進(jìn)行分類討論，同時(shí)還要關(guān)注分界點(diǎn)附近函數(shù)值變化情況。易錯點(diǎn)16 函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng) 【問題】若函數(shù)在區(qū)間-2,2上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在（-2,2）內(nèi)有一個

13、零點(diǎn)，則f(-2)f(2)的值 （ ） A 大于0 B 小于0 C 等于0 D 不能確定錯解：由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，f(-2)f(2)0，故選B剖析：沒有正確理解函數(shù)零點(diǎn)的含義及存在性，若函數(shù)在（-2,2）內(nèi)有一個零點(diǎn)，且該零點(diǎn)為“變號零點(diǎn)”，則f(-2)f(2)0，否則f(-2)f(2)0.正確答案：D反思：函數(shù)零點(diǎn)定理是指如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。解決函數(shù)零點(diǎn)問題常用方法有定理法、圖象法和方程法。函數(shù)零點(diǎn)又分為“變號零點(diǎn)”和“不變號零點(diǎn)”，函數(shù)零點(diǎn)定理僅適用于“變號零點(diǎn)”，對“不變號零點(diǎn)”無能為力。易錯點(diǎn)17 混淆兩類切線的概念【問題】:

14、若直線y = kx與曲線相切試求k的值。（提示y=kx即過原點(diǎn)的切線） 錯解：，斜率， 剖析：知識殘缺，過某點(diǎn)的切線并非在某點(diǎn)處的切線。正確答案：反思：曲線在點(diǎn)P處的切線”P為切點(diǎn)且P在曲線上，而“過點(diǎn)P的切線”僅能說明點(diǎn)P在曲線的切線上。易錯點(diǎn)18 誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系【問題】:函數(shù)在x=1處有極值10，求的值。錯解：由解得剖析：對“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”邏輯關(guān)系分辨不清，錯把為極值的必要條件當(dāng)作充要條件。正確答案：a=4,b=-11反思：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒有對這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就

15、是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個函數(shù)在此點(diǎn)取到極值的必要條件，充要條件是兩側(cè)異號。易錯點(diǎn)19 對“導(dǎo)數(shù)值符號”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹【問題】:若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。錯解：由在上恒成立， ，解得 剖析：概念模糊，錯把在某個區(qū)間上是單調(diào)增（減）函數(shù)的充分條件當(dāng)成充要條件。事實(shí)上時(shí)滿足題意。正確答案：反思：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?，且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件

16、。易錯點(diǎn)20 對“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚【問題】: 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則y = f(x)的圖象最有可能的是_.錯解：選 剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于，且兩邊值符號相反，故0和2為極值點(diǎn)；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。正確答案：C反思：解答此類題的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0；導(dǎo)函數(shù)值的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)。易錯點(diǎn)21求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。例是R上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)剖析：求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)

17、，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯。解析：（1）利用（或）求得a=1.（2）由即，設(shè),則由于故，而所以反思：（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略）。（2）應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換?！揪?】函數(shù)的反函數(shù)是（ ）A、 B、C、 D、 答案：B三、數(shù)列易錯點(diǎn)22 由求時(shí)忽略對“”檢驗(yàn)【問題】:已知數(shù)列的前n 項(xiàng)和，求。錯解：由解得 剖析：考慮不全面，錯誤原因是忽略了成立的條件n2，實(shí)際上當(dāng)n=1時(shí)就出現(xiàn)了S0，而S0是無意義的，所以使用求，只能表示第二項(xiàng)以

18、后的各項(xiàng)，而第一項(xiàng)能否用這個表示，尚需檢驗(yàn)。正確答案：反思：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)與其前n 項(xiàng)和之間關(guān)系如下，在使用這個關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列的與關(guān)系時(shí)，先令求出首項(xiàng)，然后令求出通項(xiàng)，最后代入驗(yàn)證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項(xiàng)，也不對進(jìn)行檢驗(yàn)。易錯點(diǎn)23 忽視兩個“中項(xiàng)”的區(qū)別【問題】: 是成等比數(shù)列的 （ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分有不必要條件錯解： C 剖析：思維不縝密，沒有注意到當(dāng) 時(shí)，可能為0。正確答案：B反思：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項(xiàng)。由定義可知只有同號的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)， “”僅是“為和的等比中項(xiàng)”的

19、必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。易錯點(diǎn)24在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會采用錯項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位?！締栴}】已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式。剖析：本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得（2）由（1）得令（）則（）用（）減去（）（注意錯過一位再相減）得當(dāng)當(dāng)時(shí)綜上可得：當(dāng)當(dāng)時(shí)反思：一般情況下對于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯

20、過一項(xiàng)相減的方法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。【練】已知當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和答案：時(shí)當(dāng)時(shí).易錯點(diǎn)25:不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例、求剖析：本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，取，就分別得到，反思：“裂項(xiàng)法”有兩個特點(diǎn)，一是每個分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個數(shù)（也可三個或更多）相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項(xiàng)的第二個數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就

21、要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即，問題會很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：，求其前項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、倒序相加法等。【練】求和答案：易錯點(diǎn)26 等比數(shù)列求和時(shí)忽視對討論【問題】:在等比數(shù)列中，為其前n 項(xiàng)和，且，求它的公比q。錯解： ，解得 剖析：知識殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對公比q是否等于1進(jìn)行討論，導(dǎo)致失誤。正確答案：反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一項(xiàng)包括公比均不為0，等比數(shù)

22、列的其前n項(xiàng)和為分段函數(shù)，其中當(dāng)q=1時(shí)，。而這一點(diǎn)正是我們解題中被忽略的。易錯點(diǎn)27 用錯了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)【問題】:已知等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求它的前3m項(xiàng)和。錯解一：170 剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，記錯性質(zhì)，誤以為成等差數(shù)列。錯解二：130 剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，誤以為滿足。正確答案：210反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)（略），這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯了公式和性質(zhì)，自然就失去了方向。解決這類問題的一個基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給予證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以說明。易錯點(diǎn)28 用錯位相減法求和時(shí)項(xiàng)

23、數(shù)處理不當(dāng)【問題】:求和。剖析：考慮不全面，未對進(jìn)行討論，丟掉時(shí)的情形。 將兩個和式錯位相減后，成等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)弄錯。將兩個和式錯位相減后，丟掉最后一項(xiàng)。正確答案：反思：如果一個數(shù)列為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積所得到的，那么該數(shù)列可用錯位相減法求和。基本方法是設(shè)這個和式為Sn，在這個和式的兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，將這兩個和式錯位相減，得到一個新的和式，該式分三部分原來數(shù)列的第一項(xiàng)；一個等比數(shù)列的前n-1項(xiàng)和；原來數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比的相反數(shù)。在用錯位相減法求和時(shí)務(wù)必要處理好這三個部分，特別是等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，有時(shí)含原來數(shù)列的第一項(xiàng)共項(xiàng)，有時(shí)只有項(xiàng)。另外，如果公比為字母需

24、分類討論。易錯點(diǎn)29利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）【問題】等差數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，。問n為何值時(shí)最大?剖析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個限制條件。解析：由題意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，故即此二次函數(shù)開口向下，故由得當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故若為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大。反思：數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函

25、數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個很重要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和?！揪殹?設(shè)是等差數(shù)列，是前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論錯誤的是（）A、 B、 C、 D、和均為的最大值。答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）易錯點(diǎn)30解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。【問題】已知關(guān)于的方程和的四個根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的值。剖析：注意到兩方程的兩根

26、之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：故從而=。反思：等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列，若，則；對于等比數(shù)列，若，則；若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用?！揪?4】已知方程和的四個根組成一個首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則=（） A、

27、1 B、 C、 D、答案：C易錯點(diǎn)31 數(shù)列中的最值錯誤【問題】:在等差數(shù)列中，求此數(shù)列的前幾項(xiàng)和最大。剖析：解題不細(xì)心，在用等差數(shù)列前n和求解時(shí)，解得n=12.5，誤認(rèn)為n=12.5。考慮不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出=0時(shí)，誤認(rèn)為只有最大。正確答案：反思：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，有時(shí)即使考慮了n為正整數(shù)，但對于n為何值時(shí)，能夠取到最值求解出錯。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸遠(yuǎn)近而定。四、三角函數(shù)易錯點(diǎn)32 求解時(shí)忽略角的范圍【問題】1: 在中，=,

28、=，求，的值。錯解：cosA=，sinB=剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，忽視開方時(shí)符號的選取。正確答案：cosA=，sinB=【問題】2: 在中，為銳角，且，求的值。錯解： 先求出sin()=，剖析：知識殘缺，由于為銳角，所以。又由于正弦函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。正確答案：【問題】1: 在中，已知a=,b=,B=,求角A錯解：用正弦定理求得，剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件出錯。正確答案：反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯點(diǎn)之一。解題時(shí)，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進(jìn)行定號”。易錯點(diǎn)33 求關(guān)于最值時(shí)忽

29、視正、余弦函數(shù)值域【問題】:已知，求的最大值。錯解：令，得，通過配方、作圖解得的最大值為剖析：本題雖注意到的值域，但未考慮到與相互制約，即由于-1siny1，必須同時(shí)滿足。正確答案：反思：求關(guān)于最值的常規(guī)方法是通過令（或cosx）將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)問題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，只能在某一特定范圍內(nèi)取值，解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。易錯點(diǎn)34 三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤【問題】:已知函數(shù)y=cos(-2x)，求它的單調(diào)減區(qū)間。錯解： -2x剖析：概念混淆，錯因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概念相混淆。應(yīng)化成y=cos(2x-)求解 正確答案：反思：對于函數(shù)來說，當(dāng)時(shí)

30、，由于內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)的單調(diào)性來解決；但當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)的單調(diào)性來解決。一般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。易錯點(diǎn)35 圖象變換的方向把握不準(zhǔn)【問題】: 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向右平移個單位 B向右平移個單位 C向左平移個單位 D向左平移個單位錯解一：C 剖析：知識殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。錯解二：D 剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯了平移方向。正確答案：A反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序

31、不同平移的量不同，平移的量為，平移的量為。易錯點(diǎn)36沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。例、已知，求的值。剖析：本題可依據(jù)條件，利用可解得的值，再通過解方程組的方法即可解得、的值。但在解題過程中易忽視這個隱含條件來確定角范圍，主觀認(rèn)為的值可正可負(fù)從而造成增解。解析：據(jù)已知（1）有，又由于，故有，從而即（2）聯(lián)立（1）（2）可得，可得。反思：在三角函數(shù)的化簡求值過程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號、三角形中各內(nèi)角均在區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。本題中實(shí)際

32、上由單位圓中的三角函數(shù)線可知若則必有,故必有?！揪殹恳阎?，則的值是 。答案：易錯點(diǎn)37 由圖象求函數(shù)解析式忽略細(xì)節(jié)【問題】：如圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù).(1)求這段時(shí)間的最大溫差. (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式。剖析：解此類題前兩步一般不會錯。但在求時(shí)，多數(shù)學(xué)生由于點(diǎn)的位置取得不當(dāng)，致使求得的值不好取舍。正確答案：（1） （2）反思：由三角函數(shù)圖象求（）的解析式一般分三個步驟：由函數(shù)的最大（?。┲登笳穹?；由函數(shù)的周期求；由曲線上的最高（最低）點(diǎn)求初相的一般解，但有范圍限制時(shí)一定要注意在指定的范圍內(nèi)求解。易錯點(diǎn)38:對正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、對稱軸、對

33、稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。例、如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么a等于（ ）A. B. C.1 D.1剖析：數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，學(xué)生對函數(shù)的對稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)時(shí)，y=0，導(dǎo)致解答出錯。解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為，故的最大值為，依題意，直線是函數(shù)的對稱軸，則它通過函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)即，解得.故選D（法二）依題意函數(shù)為,直線是函數(shù)的對稱軸,故有，即：，而故，從而故選D.（法三）若函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對稱則必有，代入即得。反思：對于正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)它們有無窮多條對稱軸及無數(shù)多個對稱中心，它們的意義是分別使得函數(shù)取

34、得最值的x值和使得函數(shù)值為零的x值，這是它們的幾何和代數(shù)特征。希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)本題的三種解法根據(jù)具體問題的不同靈活處理?！揪殹浚?）已知函數(shù)上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值.答案：或。（2設(shè)函數(shù)的，圖象的一條對稱軸是直線，求 答案：=易錯點(diǎn)39利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時(shí)，易忽視三角形解的個數(shù)。例、在中，。求的面積剖析：【易錯點(diǎn)分析】根據(jù)三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內(nèi)角C，則相應(yīng)的三角形內(nèi)角A即可確定再利用即可求得。但由于正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足條件的角可能不唯一，這時(shí)要借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)

35、必做到不漏解、不多解。解析：根據(jù)正弦定理知：即得，由于即滿足條件的三角形有兩個故或.則或故相應(yīng)的三角形面積為或.反思：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)。如：在中，已知a,b和A解的情況如下：（1） 當(dāng)A為銳角（2）若A為直角或鈍角【練】如果滿足，的三角表恰有一個那么k的取值范圍是（ ）A、 B、 C、

36、 D、或答案：D五、平面向量易錯點(diǎn)40 概念模糊【問題】：下列五個命題： 向量與共線，則P1、P2、O、A必在同一條直線上； 如果向量與平行，則與方向相同或相反； 四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是=； 若=，則、的長度相等且方向相同或相反； 由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行。其中正確的命題有_個。錯解：選錯，向量與共線，則直線P1P2與直線OA可能平行；選錯，若為零向量，則命題不正確；選錯，=則四點(diǎn)P1，P2，O，A可能共線；選錯，=，只能說明、的長度相等但確定不了方向；選錯；零向量與任何向量平行。正確答案：0反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量

37、、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。在復(fù)習(xí)時(shí)不僅要理解這些概念，而且還要掌握向量與實(shí)數(shù)、向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算異同點(diǎn)。易錯點(diǎn)41 忽視平面向量基本定理的成立條件【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是=（0，0），=（1，-2）; =（-1，2），=（5，7）;=（3，5），=（6，10）; =（2，-3），=（4，-6）;錯解：選或或正確答案：剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。反思：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使=1+2。在平面向量知識體系中，基

38、本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識時(shí)，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。易錯點(diǎn)42向量與解三角形的交匯。例、ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且345=。求數(shù)量積，；求ABC的面積。剖析：第1由題意可知3、4、5三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律將一向量移項(xiàng)平方即可。第2問據(jù)題意可將已知三角形分割成三個小三角形利用正弦理解答。解析：|=|=|=1由345=得：34=5兩邊平方得：9224162=252=0同理：由45=3求得=由35=4求得=由=0,故=|=由=得cosBOC= sinBOC=|sinBOC=，由=得cosCOA=sinCOA=|sinCOA

39、=即=【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題考查了向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算，用于表達(dá)三角形的內(nèi)角、面積?！揪?0】（1）ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a,b,c，已知a,b,c成等比數(shù)列，且cosB。（1）求cotA+cotC的值；（2）設(shè)，求的值。答案：（1）（3）。（2）已知向量=（2，2），向量與向量的夾角為，且=2，求向量；若，其中A、C是ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|+|的取值范圍.答案：或易錯點(diǎn)43解析幾何與向量的數(shù)量積的性質(zhì)如涉及模、夾角等的結(jié)合。例、已知橢圓C：上動點(diǎn)到定點(diǎn),其中的距離的最小值為1.（1）請確定M點(diǎn)的坐標(biāo)（2）試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線

40、,使與橢圓C的兩個交點(diǎn)A、B滿足條件（O為原點(diǎn)）,若存在,求出的方程,若不存在請說是理由。剖析：此題解題關(guān)鍵是由條件知從而將條件轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算再結(jié)合韋達(dá)定理解答。解析：設(shè)，由得故由于且故當(dāng)時(shí)，的最小值為此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為解得不合題意舍去。綜上所知當(dāng)是滿足題意此時(shí)M的坐標(biāo)為（1，0）。（2）由題意知條件等價(jià)于，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，與C的交點(diǎn)為，此時(shí)，設(shè)的方程為，代入橢圓方程整理得，由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部故恒成立，由知即，據(jù)韋達(dá)定理得，代入上式得得不合題意。綜上知這樣的直線不存在。反思：在解題過程中要注意將在向量給出的條件轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而與兩交點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來才自然應(yīng)用韋達(dá)定理建立起關(guān)系

41、式。此題解答具有很強(qiáng)的示范性，請同學(xué)們認(rèn)真體會、融會貫通?！揪殹恳阎獧E圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以右焦點(diǎn)為圓心，過另一焦點(diǎn)的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長之比2:1,為此平面上一定點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程（2）若直線與橢圓交于如圖兩點(diǎn)A、B，令。求函數(shù)的值域答案：（1）（2）易錯點(diǎn)44 忽視“向量數(shù)量積運(yùn)算”與“實(shí)數(shù)運(yùn)算”區(qū)別【問題】：已知向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍為錯解： 剖析：概念模糊，錯誤地認(rèn)為為鈍角正確答案：反思：為鈍角不共線 六、不等式易錯點(diǎn)45不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)【問題】：已知，求函的取值范圍。錯解： ，b,c0a c b c；a b,c0a c b c。解分式不等式基本

42、思想是通過去分母將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，但在去分母之前必須對分母的符號進(jìn)行判斷，必要時(shí)要對分母進(jìn)行討論。易錯點(diǎn)47 解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不當(dāng)【問題】：解關(guān)于x的不等式錯解一：原不等式等價(jià)于，解得剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，直接利用絕對值不等式的解集公式，而忽視對a-2進(jìn)行分類討論。錯解二：當(dāng)時(shí)，原不等式不成立。當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得剖析：技能不熟，沒有對進(jìn)行討論。正確答案：當(dāng)時(shí)，不等式解集是；當(dāng)時(shí)，不等式解集是反思：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點(diǎn)。解此類不等式時(shí)一定要注意對字母分類討論，討論時(shí)要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進(jìn)行整合。易錯點(diǎn)48 忽視均值不

43、等式應(yīng)用條件【問題】1：若x0，求函數(shù)f(x) =的最值。 錯解:當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值2剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，基本不等式2成立條件為，本題中x0時(shí)，動直線在y軸上的截距越大，目標(biāo)函數(shù)值越大，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越??；反之，當(dāng)B0時(shí)，動直線在y軸上截距越大，目標(biāo)函數(shù)值越小，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越大。其中的系數(shù)的符號是解題的關(guān)鍵，也是同學(xué)們經(jīng)常忽略的地方。七、立體幾何易錯點(diǎn)50 不會將三視圖還原為幾何體【問題】：若某空間幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積。錯解： 如圖該幾何體是底面為邊長正方形，高為1的棱柱，該幾何體的體積為剖析：識圖能力欠缺，由三視圖還原幾何體時(shí)出錯。正確答案：V=1反思：

44、在由三視圖還原空間幾何體時(shí)，要根據(jù)三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為實(shí)線。在還原幾何體形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮。易錯點(diǎn)51 對斜二測法規(guī)則掌握不牢【問題】：已知的平面直觀圖是邊長為的正三角形，求的面積。剖析：對用斜二測法畫平面圖形的直觀圖不熟悉；不會將直觀圖還原成實(shí)際圖形；對一些等量關(guān)系不清楚。正確答案：反思：由斜二測法畫直觀圖步驟如下：建立坐標(biāo)系；“位置規(guī)則”與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；“長度規(guī)則”圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半。對此考生常見的錯誤有不會建

45、新坐標(biāo)系，不會用“倒過去”的方法還原幾何體，“位置規(guī)則”和“長度規(guī)則”不清楚。易錯點(diǎn)52二面角平面角的求法，主要有定義法、三垂線法、垂面法等。例、 如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1A1C1a，E為BB1的中點(diǎn)，若截面A1EC側(cè)面AC1求截面A1EC與底面A1B1C1所成銳二面角度數(shù)解法1 截面A1EC側(cè)面AC1A1C連結(jié)AC1，在正三棱ABCA1B1C1中，截面A1EC側(cè)面AC1，數(shù)就是所求二面角的度數(shù)易得A1AC145，故所求二面角的度數(shù)是45解法2 如圖3所示，延長CE與C1B1交于點(diǎn)F，連結(jié)AF，則截面A1EC面A1B1CAFEB1面A1B1C1，過B1作B1GA1F

46、交A1F于點(diǎn)G，連接EG，由三垂線定理知EGB1就是所求二面角的平面角即所求二面角的度數(shù)為45反思二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過這個平面和二面角兩個面的交線得出平面角。（2）垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點(diǎn)，過此點(diǎn)在二面角的兩個半平面內(nèi)作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；（3）三垂線法：是指利用三垂線定理或逆定理作出平面角；【練】如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1，側(cè)棱長為2，底面ABC中，B=90，AB=1，BC=，D是側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，且BD與底面所成角為30.（1）求點(diǎn)D到AB所在直線的距離. （2）求二面角A

47、1BDB1的度數(shù).解析：CC1面ABC， B=90，DBAB， DB的長是點(diǎn)D到AB所在直線的距離，DBC是BD與底面所成的角，即DBC=30，BC=， BD=2 . 過B1作B1EBD于E，連A1E，BB1AB，ABBC，且BB1BC=B，AB平面BCC1B1，A1B1AB，A1B1平面BCC1B1，B1EBD，A1EBD，即A1EB1是面A1BD與面BDC1B1所成二面角的平面角. 連 B1D . BC=，BD=2，CD=1 .CC1=2，D為CC1的中點(diǎn) SBDB1=SBCC1B1 B1EBD=BCCC1 即 B1E2=2B1E=在RtA1B1E中，tanA1EB1=易錯點(diǎn)53 空間點(diǎn)、

48、線、面位置關(guān)系不清【問題】：給定下列四個命題： 若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； 若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；. 若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中為真命題的是 A和 B和 C和 D和 錯解：A剖析：空間想象能力欠缺，不會借助身邊的幾何體作出判斷；空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉或定理用錯。正確答案：D反思：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個尋找反例作出否

49、定的判斷，逐個進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確，考慮問題全面細(xì)致。易錯點(diǎn)54 平行關(guān)系定理使用不當(dāng)【問題】：正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，P在對角線BD1上，且，給出下列四個命題：（1）；（2）C1Q / 面APC；（3）A，P，M三點(diǎn)共線；（4）面MNP / 面APC.正確序號為（ ）A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（3）（4）錯解：A、B、D剖析：空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC內(nèi)而導(dǎo)致錯誤。正確答案：C反思：

50、證明空間平行關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸，但要正確應(yīng)用定理并注意定理的應(yīng)用條件。如在證明直線a/平面時(shí)，不能忽略直線a在平面外。證明有關(guān)線線，線面，面面平行時(shí)使用定理應(yīng)注意找足條件，書寫規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)。易錯點(diǎn)55 垂直關(guān)系定理使用不當(dāng)【問題】：已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB= 4AN，M、S分別為PB、BC的中點(diǎn)。證明：CMSN；求SN與平面CMN所成角的大小.剖析：在利用線面垂直的判定定理證明兩個平面互相垂直時(shí)，只證明了該直線垂直于這個平面內(nèi)的兩條直線，沒有說明這兩條直線是否相交，不符合定理的條件；在求線面角時(shí)，沒有說明找角的過程。反思：證明空間垂直關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸。如在證明線線垂直時(shí)，可先把其中一條直線視為某平面內(nèi)的直線，然后再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明另一條直線垂直于這個平面，進(jìn)而達(dá)到證明線線垂直的目的。易錯點(diǎn)56 利用空間向量求線面角幾種常見錯誤【問題】：如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn) ,若平面ABCD 平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的余弦值。 剖析：本題在求得平面DCEF的一個法向量=（0，0，2）及=(1,1,2)后，可得cos =可能出現(xiàn)的錯誤為：;正確