淺談行列式—數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文

1、their own conditions to develop the correct road, the maximum to avoid investment risk, gain profit.(three) vigorously promote the brand. To establish brand awareness, awareness of the use of brand, brand value, brand acquisition performance, enhance the competitive strength. Concentrated manpower,

2、careful planning, packaging and publicity of a number of unique, market influence and coverage of the brand, the implementation of key breakthroughs, to enhance the competitive strength, walking business road the competition of alienation and characteristics, the pursuit of stability and development

3、 of the market.(four) to promote the integration of resources. To further broaden their horizons, effective integration of resources within the group, the city resources, other industries and regional resources, mutual trust, mutual benefit, seeking win-win principle, in the framework of national po

4、licies and regulations, strict inspection and argumentation, legal consultation, examination and approval procedures, strict regulation of economic activities, attract injection the social investment to the industry group, to achieve leveraging the development, ensure that the value of state-owned a

5、ssets.(five) to strengthen the construction management personnel. Strengthen the management of education and training of cadres and workers of the existing business, firmly establish the concept of the market, enhance the sense of crisis to adapt to market competition, the sense of urgency, improve

6、the ability to respond to market competition, improve management and operation of the market. At the same time, according to the need of industrial development, vigorously the introduction of high-quality management management personnel, and strive to build a high-quality professional management tea

7、m, hard work, and promote the entire workforce knowledge structure, age structure, structure optimization and upgrading ability, enhance core competitiveness, adapt to the need of market competition.(six) seriously study the policy for policy. Serious research about social support the development of

8、 cultural undertakings in the country and the XX policy, especially the policy of industrial development, financial investment policy, financial policy and tax policy, and actively seek policy, projects and funds, enterprise and industry group mission to promote leapfrog development.1畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）作者聲明本人鄭

9、重聲明：所呈交的畢業(yè)論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。本人完全了解有關(guān)保障、使用畢業(yè)論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)畢業(yè)論文管理機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版。同意省級(jí)優(yōu)秀畢業(yè)論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本畢業(yè)論文通過(guò)影印、縮印、掃描等方式進(jìn)行保存、摘編或匯編；同意本論文被編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索和查閱。本畢業(yè)論文內(nèi)容不涉及國(guó)家機(jī)密。論文題目：淺談行列式作者單位：鄭州師范學(xué)院作者簽名：29目 錄摘 要1引言21.行列式及性質(zhì)21.1行列式21.2行列式的性質(zhì)32.行列式按行（列）展開(kāi)及代數(shù)余子式的應(yīng)用5

10、2.1行列式按行（列）展開(kāi)定理52.2代數(shù)余子式的應(yīng)用73.行列式的計(jì)算93.1關(guān)于n階行列式的計(jì)算93.2抽象行列式的計(jì)算154行列式理論的應(yīng)用184.1范德蒙行列式184.2范德蒙行列式在計(jì)算行列式中的應(yīng)用194.3一類(lèi)階實(shí)方陣行列式的應(yīng)用214.4行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用234.5在線性變換理論中的應(yīng)用24參考文獻(xiàn)26致謝27淺談行列式 摘 要：行列式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，計(jì)算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的計(jì)算法。行列式在線性方程組的歸納求解，線性相關(guān)性的判定，線性空間和線性變換等中有廣泛的應(yīng)用。本文總結(jié)了行列式的定義和性質(zhì)，討論了不同類(lèi)型的行列式的計(jì)算方法，給

11、出了行列式在線性代數(shù)理論中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：行列式;范德蒙行列式；線性變換.Introduction to the determinant Abstract: The determinant is an important component of the theory of algebra。The general method of calculating the determinant does not exist,and different determinates have different computing method。The theory of determinant is

12、used widely in the solution of linear equations, the judgment of the linear correlation, the theory of the the linear space, and the linear transformation,etc。The paper summarizes the definition and properties of determinant ,discuss the computing methods about different types of determinants, and g

13、ives the applications of determinant in linear algebra theory。 Key word:Determinant; Vandermonder determinant; Linear transformation。 引言行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f(shuō)，在n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。 行列式概念最早出現(xiàn)

14、在解線性方程組的過(guò)程中。十七世紀(jì)晚期，關(guān)孝和與萊布尼茨的著作中已經(jīng)使用行列式來(lái)確定線性方程組解的個(gè)數(shù)以及形式。十八世紀(jì)開(kāi)始，行列式開(kāi)始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。1.行列式及性質(zhì)1.1行列式定義1 n級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積 （1）的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列，每一項(xiàng)（1）都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)是偶排列時(shí)，（1）都帶有正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)，（1）帶有負(fù)號(hào).這一定義可寫(xiě)成,這里表示對(duì)所有n級(jí)排列求和。

15、1.2行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 行列互換，行列式不變。即 性質(zhì)2 某行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外。即 性質(zhì)3 如果某行（列）的所有元素都可以寫(xiě)成兩項(xiàng)的和，則該行列式可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的這一行（列）的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行（列）元素與原行列式相同.即 性質(zhì)4 兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，行列式的值為零.即，其中第行與第行相同，即,。 性質(zhì)5 兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，行列式的值為零。即這里的第一步是根據(jù)性質(zhì)，第二步是根據(jù)性質(zhì)。 性質(zhì)6 某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式的值不變。即這里第一步是根據(jù)性質(zhì)，第二步是根據(jù)性質(zhì)。 性質(zhì)7 對(duì)換兩行（列）的位置，行列

16、式的值變號(hào)。即=這里，第一步是把第行加到第行，第二步是把第 行的倍加到第行，第三步是把第行加到第行，最后再把第行的公因式提出.2.行列式按行（列）展開(kāi)及代數(shù)余子式的應(yīng)用2.1行列式按行（列）展開(kāi)定理定義1 在階行列式中，將元素所在的第行第列的元素劃去后剩下的元素按照原位置次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為，即 定義2 (1)稱為元素的代數(shù)余子式證明：我們先由行列式的定義證明階行列式與階行列式的下面這個(gè)關(guān)系，= (2)事實(shí)上，（2）左端行列式的展開(kāi)式中，只有 的項(xiàng)才可能不為零，而 ，因之左端為，顯然是 的排列，且=。這就證明了式。為了證明(1)式，令，即得 定理 設(shè),表示元素的代數(shù)余子式

17、，則下列公式成立：2.2代數(shù)余子式的應(yīng)用在求一個(gè)行列式某一行元素代數(shù)余子式之和時(shí)，逐個(gè)計(jì)算再求和，運(yùn)算量很大，此時(shí)借助行列式中改變某一元素的值不影響該元素代數(shù)余子式的值這一特點(diǎn)，將該行元素都化為，如此得到的行列式即如上要求的值。例1 設(shè)，且是中第i行，j列元素的代數(shù)余子式。（1） 求解 例1 已知階行列式求（1）（2）解 因?yàn)?（）所以取得 聯(lián)立解之得 例2 設(shè)中元素均為實(shí)數(shù)，而且至少有一個(gè)不是，如果的每個(gè)元素都等于它的代數(shù)余子式，則。證明 記， 表示的轉(zhuǎn)置行列式.因?yàn)榈拿總€(gè)元素都等于它的代數(shù)余子式，所以有,因此。又由題設(shè)，可不妨設(shè)，因?yàn)椋?所以所以。3.行列式的計(jì)算3.1關(guān)于n階行列式的計(jì)算

18、 行列式計(jì)算方法很多，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要學(xué)會(huì)觀察、探索，并有針對(duì)性的進(jìn)行總結(jié).這里歸納介紹幾種具有典型特征的行列式解法.特征1 所有行（列）元素之和均相等的行列式.這種行列式一般先將列（行），提取公因子后再化簡(jiǎn).例1 計(jì)算解 特征2 第一行、列及主對(duì)角線外元素均為（或可化為這種形式）的行列式（稱型行列式），可以化為上三角行列式進(jìn)行計(jì)算.例2 計(jì)算行列式，其中解 （ 型） （上三角） =特征3 除主對(duì)角線以外，上三角各元素都相等，下三角各元素也相等，這類(lèi)行列式一般用拆項(xiàng)法.例3 計(jì)算，。解 (1)由于,所以 (2)式（1）、式(2)聯(lián)立，消去得特征4 利用遞推關(guān)系遞推，或用數(shù)學(xué)歸納法證明. 對(duì)有些行

19、列式，可先計(jì)算同樣特征的二級(jí)、三級(jí)行列式，根據(jù)此低級(jí)的計(jì)算結(jié)果猜想出任意階行列式的結(jié)果，再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明；而有些行列式則可用遞推公式直接推出結(jié)果.值得說(shuō)明的是，對(duì)形如例4這樣的三對(duì)角行列式，直接展開(kāi)可得如下形式二級(jí)線性齊次遞推關(guān)系式,此類(lèi)行列式求解時(shí)，可先寫(xiě)出如上遞推公式對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征方程，求出特征方程的兩個(gè)根 ，當(dāng) 時(shí)，令 ,當(dāng)時(shí)，令 然后通過(guò)取確定進(jìn)而可求得 例4 計(jì)算n級(jí)行列式。解 按第一行展開(kāi)得,對(duì)應(yīng)特征方程：，解之得二根 令，則時(shí)， (1) 時(shí)， (2)由式（1），（2）得， 所以。特征5 能夠借助行列式性質(zhì)分析因子的情況.例5 計(jì)算.互不相同。解 因分別取均有 ，所以有因子，

20、又兩兩互素，所以，由定義知，是一個(gè)關(guān)于首1的次多項(xiàng)式，所以為首1的一次多項(xiàng)式。又各行素之和相同，將 列加到第一列，提取公因子得，即而所以。特征6 借助輔助行列式. 例6 計(jì)算，其中 為次數(shù)小于的數(shù)域上的多項(xiàng)式，為數(shù)域中的任意個(gè)數(shù)。解 若， ,則。 若,令 , (1) 按第一列展開(kāi)知是的線性組合.如果，由于. 故，又由式（1）可知，所以，從而。特征7 借助對(duì)應(yīng)矩陣的特征值計(jì)算.例7 證明 其中， 為全部次單位根。證明 設(shè)階矩陣，則, 因?yàn)?所以的特征值為又，所以的特征根為 所以 特征8 化為范德蒙行列式計(jì)算。例8 計(jì)算行列式.解 原式 3.2抽象行列式的計(jì)算 抽象行列式一般不給出具體元素，它往往

21、涉及到與行列式相關(guān)聯(lián)的方陣、伴隨陣、逆矩陣、分塊矩陣，以及維向量等的運(yùn)算。因此解決該類(lèi)問(wèn)題是應(yīng)該靈活運(yùn)用矩陣的有關(guān)性質(zhì)具體討論時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1） 熟悉公式 ，,等，這里為矩陣的階數(shù)。2） 計(jì)算一般較難，但有公式（這里均為階方陣），所以兩個(gè)方陣和的行列式常轉(zhuǎn)化為積的問(wèn)題。3） 遇到伴隨矩陣時(shí)，?？紤]如下公式然后兩邊取行列式。4） 對(duì)形如的分塊行列式，一般施廣義初等變換進(jìn)行“打洞”（即打出一塊矩陣），然后兩邊取行列式.如當(dāng)可逆時(shí)，由得5)各行（列）以向量及其運(yùn)算形式給出的行列式，可以按行（列）拆成幾個(gè)行列式之和。6）當(dāng)已知矩陣的特征值時(shí)，可以用所有特征值之積計(jì)算。例1 證明。 證明 若，因?yàn)椋?/p>

22、所以， 故 若，只要證，事實(shí)上，如，則 ，因此，與矛盾。例2 設(shè)，矩陣滿足。其中為的伴隨矩陣， 是級(jí)單位矩陣，求。解 由可得，又由，再由， 知，。例3 設(shè)階矩陣，其中均為維行向量，且，求。解 =例4 設(shè)均為階方陣，, ,求。解 例5 設(shè)為維列向量，階方陣, 如果，求。解 因?yàn)?而，所以例6 設(shè) 是3階方陣，其特征值是，且，求。解 由題設(shè)，又,而的特征值是，所以。例7 設(shè)均為階方陣，且,則=。證明 （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?由式得。 （2)當(dāng)時(shí)，令,由于,使時(shí)，且由知，,所以，兩邊均為的多項(xiàng)式，對(duì)時(shí)它們相等，因而它們恒等，特別取時(shí)有=。4行列式理論的應(yīng)用4.1范德蒙行列式我們稱下列的行列式為范德蒙行列式

23、將中不加區(qū)別看做，那么就是一個(gè)次方程，利用行列式的性質(zhì)可觀察出時(shí)范德蒙行列式值為零。不妨稱方程的根，或者說(shuō)中含有的因子，利用排列原理知至少有個(gè)根也至少有個(gè)個(gè)因子。事實(shí)上行列式中是對(duì)等的，我們根據(jù)行列式的定義略去和之間區(qū)別，含有的最高次數(shù)為個(gè)，即之多有個(gè)根或至多有個(gè)因子；再利用主對(duì)角線上元素之積的系數(shù)為1可知4.2范德蒙行列式在計(jì)算行列式中的應(yīng)用4.2.1利用行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)變?yōu)榉兜旅尚辛惺嚼?.計(jì)算階行列式分析：該行列式的排列規(guī)律與范德蒙行列式排列規(guī)律正好相反，為使中的各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列，可以將第行依次與上行交換自至第1行，第行依次與上行交換自至第2行，第2行依次與上行交換自至第

24、行，于是共經(jīng)過(guò)次行的交換得到階范德蒙行列式。解: 4.2.2利用乘法規(guī)則轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式例2.計(jì)算行列式解：此行列式中沒(méi)一個(gè)元素都可以利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可以變成乘積的和，根據(jù)行列式的乘法法則，其中對(duì)進(jìn)行例1中的行交換就可得到范德蒙行列式，于是4.3一類(lèi)階實(shí)方陣行列式的應(yīng)用研究了形如 的一類(lèi)階實(shí)方陣方行列式的幾何意義，并在結(jié)論部分包含了如下結(jié)論的一類(lèi)階實(shí)方陣方行列式的幾何意義，并在結(jié)論部分包含了如下結(jié)論：這里的式實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含了在證明幾何相關(guān)問(wèn)題、向量線性問(wèn)題等問(wèn)題的應(yīng)用價(jià)值，下面給出的一些相關(guān)應(yīng)用。一. 巧用證明平面上的三點(diǎn)共線問(wèn)題定理1.其幾何意義是二維平面以三點(diǎn)為頂點(diǎn)三角面積的6倍，亦即以矢

25、量為鄰邊的平行四邊形的面積。根據(jù)的幾何意義，有定理1直接可得：推論1：平面上三點(diǎn)共線例1. 試推導(dǎo)直線的兩點(diǎn)式方程證明：設(shè)是過(guò)已知點(diǎn)的直線，對(duì)于三點(diǎn)共線展開(kāi)并整理，且當(dāng)時(shí)就有 這就是直線的兩點(diǎn)式方程。二巧用證明空間四點(diǎn)共面問(wèn)題定理2.四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積的6倍，亦即等于以矢量為相鄰的平行六面體的體積。根據(jù)的幾何意義，有定理2直接可得：推論2.空間四點(diǎn)共面例2. 試推導(dǎo)平面的三點(diǎn)式方程證明：設(shè)是過(guò)已知點(diǎn)的平面，據(jù)推論2，對(duì)于必有 對(duì)展開(kāi)并整理得 即為所求三巧用計(jì)算其他行列式的值定理3.范德蒙行列式為并取 則證明：先將轉(zhuǎn)置，則；然后得第一行通過(guò)第次交換到第行，第2行通過(guò)次交換到第行，將第行交換

26、1次到第1行，這樣總共經(jīng)過(guò)次的交換而得到，于是便有（2）式成立。例3. 計(jì)算階行列式 解：設(shè)的轉(zhuǎn)置為，則與（4）式有相同形式。于是，根據(jù)定理3得： 4.4行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用例1.證明一個(gè)次多項(xiàng)式至少有個(gè)互異的根證明：個(gè)互異的零點(diǎn)，則有 即 這個(gè)關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式 因此，這個(gè)矛盾表明有個(gè)互異根。4.5在線性變換理論中的應(yīng)用例1 在數(shù)域上的維向量的線性變換有個(gè)互異的特征值，則1)與可交換的線性變換都是的線性組合，這里為恒等變換；2)線性無(wú)關(guān)的充要條件為，這里證明：1）設(shè)與是可交換的線性變換，且，則是的不變子空間，則由以下方程組。令，則有以下方程組 （1）因?yàn)榉匠探M（1）的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，且，所以方程組（1）有唯一解，故是的線性組合。2）充分性因?yàn)?，所以并且，所以是可逆矩陣，又因?yàn)槭堑囊唤M基，所以線性無(wú)關(guān)。3）必要性設(shè)是分別屬于的特征向量，則構(gòu)成的一個(gè)基，因而有，若，則是屬于的特征向量，故結(jié)論成立。若存在，使，不妨設(shè)全不為零，而，因而有，則，利用范德蒙行列式可知有一個(gè)階子式不為零，所以秩，從而線性無(wú)關(guān)，矛盾。從而，這里。參考文獻(xiàn)1王正文.高等代數(shù)分析與研究M.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，1994.2王品超.高等代數(shù)新方法M.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，198