§112余弦定理

1、1.2余弦定理教學(xué)目標(biāo)1知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學(xué)重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；教學(xué)難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角

2、計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角教學(xué)設(shè)想創(chuàng)設(shè)情景 C如圖11-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c b aA c B探索研究 (圖11-4)聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 A如圖11-5，設(shè)，那么，則 C B (圖11-5)從而 同理可證 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍

3、。即 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： 理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？（由學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題:例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos= 8 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos 解法二：sin又， 即 評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。例2在ABC中，已知，解三角形解：由余弦定理的推論得：cos ；cos ； 補(bǔ)充練習(xí)在ABC中，若，求角A（答案：A=120）課堂小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共