統(tǒng)計學(xué)第八講回歸與相關(guān)

1、第四軍醫(yī)大學(xué)衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)教研室2021-7-17制作：Dr.宇傳華變量間關(guān)系問題：變量間關(guān)系問題：身高、肺活量身高、肺活量體重、藥物劑量與動物體重、藥物劑量與動物死亡率等死亡率等。 y 第一節(jié)第一節(jié) 直線回歸直線回歸 第二節(jié)第二節(jié) 直線相關(guān)直線相關(guān) 第三節(jié)第三節(jié) Spearman等級相關(guān)等級相關(guān) 兩個關(guān)系：兩個關(guān)系： 依存關(guān)系：應(yīng)變量依存關(guān)系：應(yīng)變量(dependent variable)Y隨自變量隨自變量(independent variable)X變化而變化。變化而變化。 回歸分析回歸分析(1) 互依關(guān)系：互依關(guān)系： Y與自變量與自變量 X間間的彼此關(guān)系的彼此關(guān)系 Today: 2021-7

2、-17 Today: 2021-7-17圖7-1 母血與新生兒臍帶血TSH水平散點圖3.54.04.55.05.51.01.21.41.61.82.02.2母血TSH水平（mU/L）X新生兒臍帶血TSH水平（mU/L）YX Today: 2021-7-17函數(shù)關(guān)系：函數(shù)關(guān)系： 確定。例如園周長與半徑：確定。例如園周長與半徑：y=2r ?；貧w關(guān)系：不確定。例如血壓和年齡的關(guān)系，稱為直線回回歸關(guān)系：不確定。例如血壓和年齡的關(guān)系，稱為直線回歸歸(linear regression)。 目的：目的： 建立直線回歸方程建立直線回歸方程( linear regression equation) Today

3、: 2021-7-17一般表達式：一般表達式： a：截距：截距(intercept)，直線與，直線與Y軸交點的縱坐標(biāo)。軸交點的縱坐標(biāo)。b：斜率：斜率(slope)，回歸系數(shù)，回歸系數(shù)(regression coefficient)。 意義：意義：X每改變一個單位，每改變一個單位，Y平均改變平均改變b個單位。個單位。 b0，Y隨隨X的增大而增大（減少而減少）的增大而增大（減少而減少） 斜上；斜上； b0，Y隨隨X的增大而減小（減少而增加）的增大而減?。p少而增加） 斜下；斜下； b=0，Y與與X無直線關(guān)系無直線關(guān)系 水平。水平。 b越大，表示越大，表示Y隨隨X變化越快，直線越陡峭。變化越快，直線

4、越陡峭。bXaYXY9973. 09943. 217 資料的回歸方程：例 Today: 2021-7-17 最小二乘法原則最小二乘法原則(least square method)：使各散點到直：使各散點到直線的縱向距離的平方和最小。即使線的縱向距離的平方和最小。即使 最小。最小。2YYXXXYllnXXnYXXYXXYYXXb/)()(222XbYaniiiniiibXaYYYYYQ12122)()( Today: 2021-7-17圖7-1 母血與新生兒臍帶血TSH水平散點圖2.53.03.54.04.55.05.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.2母血

5、TSH水平（mU/L）X新生兒臍帶血TSH水平（mU/L）YXXY Today: 2021-7-17編號編號母母X X臍臍Y YX X2 2Y Y2 2XYXY1 11.21 1.21 3.90 3.90 1.4641 1.4641 15.2100 15.2100 4.7190 4.7190 2 21.30 1.30 4.50 4.50 1.6900 1.6900 20.2500 20.2500 5.8500 5.8500 3 31.39 1.39 4.20 4.20 1.9321 1.9321 17.6400 17.6400 5.8380 5.8380 4 41.42 1.42 4.83 4

6、.83 2.0164 2.0164 23.3289 23.3289 6.8586 6.8586 5 51.47 1.47 4.16 4.16 2.1609 2.1609 17.3056 17.3056 6.1152 6.1152 6 61.56 1.56 4.93 4.93 2.4336 2.4336 24.3049 24.3049 7.6908 7.6908 7 71.68 1.68 4.32 4.32 2.8224 2.8224 18.6624 18.6624 7.2576 7.2576 8 81.72 1.72 4.99 4.99 2.9584 2.9584 24.9001 24.900

7、1 8.5828 8.5828 9 91.98 1.98 4.70 4.70 3.9204 3.9204 22.0900 22.0900 9.3060 9.3060 10102.10 2.10 5.20 5.20 4.4100 4.4100 27.0400 27.0400 10.9200 10.9200 合計合計15.83 15.83 45.73 45.73 25.8083 25.8083 210.7319 210.7319 73.1380 73.1380 X X Y Y X X2 2 Y Y2 2 XYXY9973. 07494. 07474. 010/83.158083.2510/73.4

8、583.15138.73/222nXXnYXXYllbXXXY573. 410/73.45/nYY 9943. 2583. 19973. 0573. 4XbYa583. 110/83.15/nXXXY9973. 09943. 217 資料的回歸方程：例 Today: 2021-7-17b0原因：原因： 由于抽樣誤差引起，總體回歸系數(shù)由于抽樣誤差引起，總體回歸系數(shù)=0 存在回歸關(guān)系，總體回歸系數(shù)存在回歸關(guān)系，總體回歸系數(shù) 0公式公式 ，n2bbSbSbt0 Sb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤XXXYXXXYblSSS.2 SY.X為為Y的剩余標(biāo)準(zhǔn)差的剩余標(biāo)準(zhǔn)差扣除扣除X的影響后的影響后Y的

9、變異程度。的變異程度。 22nYYsXY2222XXYYXXYYYY Today: 2021-7-17編號編號母母X X臍臍Y YX X2 2Y Y2 2XYXY1 11.21 1.21 3.90 3.90 1.4641 1.4641 15.2100 15.2100 4.7190 4.7190 2 21.30 1.30 4.50 4.50 1.6900 1.6900 20.2500 20.2500 5.8500 5.8500 3 31.39 1.39 4.20 4.20 1.9321 1.9321 17.6400 17.6400 5.8380 5.8380 4 41.42 1.42 4.83

10、4.83 2.0164 2.0164 23.3289 23.3289 6.8586 6.8586 5 51.47 1.47 4.16 4.16 2.1609 2.1609 17.3056 17.3056 6.1152 6.1152 6 61.56 1.56 4.93 4.93 2.4336 2.4336 24.3049 24.3049 7.6908 7.6908 7 71.68 1.68 4.32 4.32 2.8224 2.8224 18.6624 18.6624 7.2576 7.2576 8 81.72 1.72 4.99 4.99 2.9584 2.9584 24.9001 24.90

11、01 8.5828 8.5828 9 91.98 1.98 4.70 4.70 3.9204 3.9204 22.0900 22.0900 9.3060 9.3060 10102.10 2.10 5.20 5.20 4.4100 4.4100 27.0400 27.0400 10.9200 10.9200 合計合計15.83 15.83 45.73 45.73 25.8083 25.8083 210.7319 210.7319 73.1380 73.1380 X X Y Y X X2 2 Y Y2 2 XYXY7454. 07474. 09973. 0/)/2222222XXXYXXXYlbb

12、lnXXnYXXYllXXYYXX6086. 110/73.457319.210/)()(2222YYlnYYYY8632.07454.06086.12222XXYYXXYYYY2.0.05/2,80.86320.328521020.99732.6284/0.3285/0.74942.30600.05Y XY XXXYYSnbtSltP Today: 2021-7-17 YYYYYY回歸部分)(YY )(YY 總情況Y剩余部分)(YY 實測點),(YXPYX X Today: 2021-7-17回剩總回?？偼瑯佑校杭此杂幸驗榈仁絻蛇吰椒胶笤偾蠛蚐SSSSSYYYYYYYYYYYYYYYY22

13、2)()()(:, 0)(2,)()()( Today: 2021-7-17SS總總2)(YY，Y的的離離均均差差平平方方和和(total sum of squares)， 未未考考慮慮X與與Y的的回回歸歸關(guān)關(guān)系系時時Y的的總總變變異異。 1 n SS剩剩2)(YY，為為剩剩余余平平方方和和(residual sum of squares)， X對對Y的的線線性性影影響響之之外外的的一一切切因因素素對對Y的的變變異異，即即總總變變異異中中， 無無法法用用X解解釋釋的的部部分分。SS剩剩越越小小，回回歸歸效效果果越越好好。 2 n SS回回2)(YY，為為回回歸歸平平方方和和(regressio

14、n sum of squares)， 由由于于X與與Y的的直直線線關(guān)關(guān)系系而而使使Y變變異異減減小小的的部部分分,即即總總變變異異中中， 可可以以用用X解解釋釋的的部部分分。SS回回越越大大，回回歸歸效效果果越越好好。 1 Today: 2021-7-17222222.()()()()22YYXYXYXXXXY XYYYYYYSSSSSSSSllSSblb llSSYYSMSnn剩總回總回剩剩公式可寫成：2222XXYYXXYYYY Today: 2021-7-17編號編號（1 1）X Y （2 2）（3 3）（4 4）(5)=(3)-(4)(5)=(3)-(4)(6)=(5)(6)=(5)2

15、 21 11.21 1.21 3.90 3.90 4.2010 4.2010 -0.3010 -0.3010 0.0906 0.0906 2 21.30 1.30 4.50 4.50 4.2908 4.2908 0.2092 0.2092 0.0438 0.0438 3 31.39 1.39 4.20 4.20 4.3805 4.3805 -0.1805 -0.1805 0.0326 0.0326 4 41.42 1.42 4.83 4.83 4.4104 4.4104 0.4196 0.4196 0.1761 0.1761 5 51.47 1.47 4.16 4.16 4.4603 4.46

16、03 -0.3003 -0.3003 0.0902 0.0902 6 61.56 1.56 4.93 4.93 4.5501 4.5501 0.3799 0.3799 0.1443 0.1443 7 71.68 1.68 4.32 4.32 4.6698 4.6698 -0.3498 -0.3498 0.1244 0.1244 8 81.72 1.72 4.99 4.99 4.7096 4.7096 0.2804 0.2804 0.0786 0.0786 9 91.98 1.98 4.70 4.70 4.9689 4.9689 -0.2689 -0.2689 0.0723 0.0723 101

17、02.10 2.10 5.20 5.20 5.0886 5.0886 0.1114 0.1114 0.0124 0.0124 合計合計15.83 15.83 45.73 45.73 45.7300 45.7300 0.0000 0.0000 0.86320.8632 Y2)(YY YYXY9973. 09943. 2備注： Today: 2021-7-17 ?；厥Ｊ；鼗豈SMSSSSSF；21n?；?， 統(tǒng)計量統(tǒng)計量F F服從自由度為服從自由度為?；?、的的F F分布。分布。 例例 7 7- -2 2 檢驗例檢驗例 7 7- -1 1 求得臍求得臍 TSHTSH 對母對母 TSHTSH 的直線關(guān)系

18、是否成立的直線關(guān)系是否成立? ? 解解：1. 1. 建立假設(shè)并確定檢驗水準(zhǔn)。建立假設(shè)并確定檢驗水準(zhǔn)。 H Ho:o:0 0；H H1 1: :0 0；0.050.05 2. 2. 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量F F 變異來源變異來源 SSSS DFDF MSMS F F P P值值 總變異總變異 1.60861.6086 9 9 回回歸歸 0 0.7454.7454 1 1 0.74540.7454 6.9084 0.0303 剩剩余余 0.86320.8632 8 8 0.10790.1079 3.3. 確定確定P P值下結(jié)論。值下結(jié)論。本例本例P P0.01t0.05/2，8=2.306,按按0.05水水準(zhǔn)準(zhǔn)拒拒絕絕 Ho， Today: 2021-7-17必須先對必須