冪等矩陣的性質(zhì)_畢業(yè)論文

1、目錄中文摘要 1英文摘要 11 引言 12 冪等矩陣的概念 33 冪等矩陣的性質(zhì) 4 3. 1 冪等矩陣的主要性質(zhì)43. 2 冪等矩陣的等價(jià)性命題7 3. 3 冪等矩陣的線性組合的相關(guān)性質(zhì)114 冪等矩陣與其他矩陣的關(guān)系 144. 1 冪等矩陣與對(duì)合矩陣14 4. 1. 1 對(duì)合矩陣14 4. 1. 2 冪等矩陣與對(duì)合矩陣的關(guān)系154. 2 冪等矩陣與投影矩陣16 4. 2. 1 投影矩陣16 4. 2. 2 冪等矩陣與投影矩陣的關(guān)系17結(jié)束語(yǔ) 19參考文獻(xiàn) 20致謝 21英文原文 22英文譯文 29冪等矩陣的性質(zhì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí) 王素云摘要: 本文對(duì)冪等矩陣的一些性質(zhì)進(jìn)行歸納總結(jié)

2、及推廣, 并將冪等矩陣與其他特殊矩陣進(jìn)行了比較. 給出冪等矩陣的概念. 討論冪等矩陣的主要性質(zhì), 并將其進(jìn)行推廣. 然后研究了冪等矩陣的等價(jià)性命題, 以及冪等矩陣的線性組合的相關(guān)性質(zhì). 再結(jié)合對(duì)合矩陣和投影矩陣更深入的研究?jī)绲染仃嚨男再|(zhì), 分別討論了冪等矩陣與對(duì)合矩陣, 冪等矩陣與投影矩陣的關(guān)系. 關(guān)鍵字: 冪等矩陣; 性質(zhì); 對(duì)合矩陣; 投影矩陣; 廣義逆矩陣PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied MathematicsAbstract In this paper, som

3、e properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent m

4、atrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and t

5、he projection matrix are discussed.Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix1 引言 冪等矩陣是矩陣中非常特殊的一類矩陣，也是非常重要且非常常見(jiàn)的一類矩陣，很多其他特殊矩陣都與冪等矩陣有著密切的聯(lián)系，如對(duì)合矩陣及投影矩陣。冪等矩陣在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其他許多領(lǐng)域的應(yīng)用都非常廣泛，冪等矩陣更是矩陣論中的一個(gè)基礎(chǔ)部分，冪等矩陣在可對(duì)角化矩陣的分解中具有重要作用。近年來(lái)有關(guān)此問(wèn)題的研究吸引了國(guó)內(nèi)外許多研究

6、學(xué)者的關(guān)注，關(guān)于冪等矩陣的研究已經(jīng)成為矩陣論中的活躍的研究領(lǐng)域。冪等矩陣在研究廣義逆矩陣中占有非常重要的地位，研究?jī)绲染仃嚨男再|(zhì)是研究其他特殊矩陣的基礎(chǔ)。廣義逆的思想可追溯到1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作，他討論了關(guān)于積分算子的一種廣義逆(他稱之為偽逆)。1904年，D.希爾伯特在廣義格林函數(shù)的討論中，含蓄地提出了微分算子的廣義逆。而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆?tīng)栐?920年提出的，他以抽象的形式發(fā)表在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊上。當(dāng)時(shí)人們對(duì)此似乎很少注意。這一概念在以后30年中沒(méi)有多大發(fā)展。曾遠(yuǎn)榮在1933年，F(xiàn).J.默里和J.馮諾伊曼在1936年對(duì)希爾伯特空間中線性算子的廣義逆作過(guò)討

7、論。T.N.E.格雷維爾、C.R.拉奧和其他人也作出了重要的貢獻(xiàn)。1955年，彭羅斯證明了存在唯一的滿足前述性質(zhì)，并以此作為的定義。1956年，R.拉多證明了彭羅斯定義的廣義逆與穆?tīng)柖x的廣義逆是等價(jià)的，因此通稱為穆?tīng)?彭羅斯廣義逆矩陣。冪等矩陣是國(guó)內(nèi)外學(xué)者都非常感興趣的一類矩陣，如文1中研究了冪等矩陣的可對(duì)角化性質(zhì)，證明了冪等矩陣是可對(duì)角化的；文2研究了冪等矩陣的伴隨矩陣的冪等性等等。本文在接下來(lái)的章節(jié)中，我們將先給出冪等矩陣的定義及幾個(gè)簡(jiǎn)單命題，并證明之。然后給出冪等矩陣的一系列性質(zhì)，在前人的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)以及推廣，并進(jìn)行證明。再給出冪等矩陣的等價(jià)命題，并給出證明。然后討論冪等矩陣的線性組

8、合的相關(guān)性質(zhì)，再結(jié)合對(duì)合矩陣和投影矩陣及冪等矩陣分別于對(duì)合矩陣和投影矩陣的關(guān)系對(duì)冪等矩陣進(jìn)行深入研究。2 冪等矩陣的概念定義2.1 若有性質(zhì), 則稱為冪等矩陣. 為了更好地了解冪等矩陣, 現(xiàn)在來(lái)看以下幾個(gè)命題:命題2.1 若階方陣是冪等矩陣, 則與相似的任意階方陣是冪等矩陣.證明 設(shè)(即矩陣與矩陣相似),則, 且 , 又 , . 是冪等矩陣. 命題2.1也可以表述為: 若是冪等矩陣, 則對(duì)于任意可逆陣, 也為冪等矩陣.命題2.2 若階方陣是冪等矩陣, 則的轉(zhuǎn)置, 的伴隨矩陣及都是冪等矩陣.證明 , 即為冪等矩陣; 對(duì), 先證明對(duì)任意兩個(gè)冪等矩陣, 有關(guān)系式. 由公式有: 矩陣的第行第列的代數(shù)余

9、子式 所以, ; 對(duì), 有 .命題2.3 若是冪等矩陣, 的次冪仍是冪等矩陣.證明 可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時(shí), 顯然成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí), 命題成立, 現(xiàn)考慮情形: . 即當(dāng)時(shí)命題仍成立, 由數(shù)學(xué)歸納法知, 對(duì)任意命題都成立.3 冪等矩陣的性質(zhì)3.1 冪等矩陣的主要性質(zhì)性質(zhì)3.1.1 矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣. 由和的定義可知命題成立.性質(zhì)3.1.2 冪等矩陣滿足: .證明 . .性質(zhì)3.1.3 若矩陣均為冪等矩陣, 且, 則與也是冪等矩陣.證明 . 同理, 也是冪等矩陣.性質(zhì)3.1.4 若冪等矩陣可逆, 則.證明 .性質(zhì)3.1.5 冪等矩陣的特征值只能為0或1.證明 設(shè)是冪等矩陣, 即, 再

10、設(shè)的特征值為, 則(由特征值的性質(zhì)), 故. 由這個(gè)性質(zhì)可以知道冪等矩陣是半正定矩陣.性質(zhì)3.1.6 冪等矩陣可對(duì)角化.證明 設(shè)是冪等矩陣, 為的最小多項(xiàng)式, 由性質(zhì)3.1.5知: 或或, 最小多項(xiàng)式是互素的一次因式的乘積, 從而可對(duì)角化.另證明 當(dāng)(即)時(shí), 顯然成立. 當(dāng)時(shí), 的特征值全為0, 1. 的屬于1的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組的解空間的維數(shù). 屬于0的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組的解空間的維數(shù).由冪等矩陣的性質(zhì)有. 故可對(duì)角化, 設(shè), 則由冪等矩陣的性質(zhì)得, 因此的相似標(biāo)準(zhǔn)型為.性質(zhì)3.1.7 若是冪等矩陣, 則, 是可逆矩陣.證明 , . 又, . 故可逆, 且.

11、性質(zhì)3.1.8 冪等矩陣的跡等于冪等矩陣的秩, 即.證明 設(shè)分別為A 的特征值及其相應(yīng)的特征向量, 于是有: , 從而有. 由此可推得結(jié)果.性質(zhì)3.1.9 若滿足, 則是冪等矩陣.證明 設(shè)的基礎(chǔ)解系為(其實(shí)它們都是特征值0的特征向量), 再設(shè)的基礎(chǔ)解系為(它們都是特征值為1的特征向量), 且, 設(shè)矩陣(可逆)滿足, 而是冪等矩陣, 故也是冪等矩陣.例3.1.1 設(shè)都是冪等矩陣, 且, 證明: 是冪等矩陣.證明 由題意可知, 且, 于是: .例3.1.2 設(shè)為階冪等矩陣, 且, .證明 (1) 若則或. (2) 若則或.證明 (1) , 由題設(shè)知, 則有 . 對(duì)上式兩邊同乘于得:. 移項(xiàng)得 .

12、從而有, 即或. 同理可證( 2).例3.1.3 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱陣, 且, 證明: 正交矩陣, .證明 設(shè)是屬于的特征向量, 那么,又, 從而,但, .(由冪等矩陣的性質(zhì)也可以得知), 故的特征值不是0就是1. 故(可由特征向量構(gòu)造, 將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型即為所求).3.2 冪等矩陣的等價(jià)命題 冪等矩陣的等價(jià)命題在實(shí)數(shù)域內(nèi)與復(fù)數(shù)域內(nèi)基本是一致的, 故在此只考慮冪等矩陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)的等價(jià)命題.定理3.2.1 以下命題等價(jià):(i) ; (ii) , ;(iii) ; (iv) ;(v) , ; (vi) , ;(vii) , ;(viii) ;(ix) 非奇異矩陣, , 其中.證明 (i)、(ii)、(ii

13、i)的等價(jià)性是易證的.(i)(iv) , 由性質(zhì)5知, 的特征值只能為0或1, 即為對(duì)應(yīng)特征值1的特征子空間. .(i)(v) “” . 故的列向量都滿足. 從而,又, 有: . 由的任意性可知. 綜上, . “” 對(duì)有,即. 于是有. 由的任意性得. 同理可證.(i)(vi) 若, 即對(duì)某兩個(gè)成立, 則, 故. 同理可證后面一個(gè)式子. 從而(iv)成立. 反之, 若(vi)成立, 則對(duì)任一, 有 是的唯一分解. 但又有唯一分解, 又. 于是對(duì)任何成立著, 從而.(vi)(vii) 注意到對(duì)任何成立, 故總有, 故(vi)與(vii)等價(jià).(vii)(viii)總是成立的. 由維數(shù)公式知 .

14、由性質(zhì)3.1.8可知, 若, 則. 另外, 利用矩陣的滿秩分解, 我們可以具體的找出(ix)中的變換陣. 設(shè),均為滿秩分解, 則有, 且均為方陣. 從而. 由此可知, , , . 于是可證明. 從此式還可以看出, 與的列向量分別是的屬于特征值1與0的特征向量. 最后,矩陣的滿秩分解可用來(lái)判定冪等性: 若是滿秩分解, 則當(dāng)且僅當(dāng). 另一方面, 常用此特殊性來(lái)構(gòu)造冪等矩陣. 下面給出幾個(gè)構(gòu)造冪等矩陣的定理:定理3.2.2 設(shè)非零列向量, 則階矩陣為冪等矩陣.證明 “” , , 即, 從而, 因?yàn)? , 因此, . “” , .推論3.2.1 令, 其中: 為非零列向量. 若, 則階方陣不可逆.證明

15、 設(shè)可逆, 則由冪等矩陣的性質(zhì)可知, 當(dāng)時(shí), 由定理3.2.2可知為冪等矩陣, 即,但, 所以, 得, 與矛盾, 所以不可逆.定理3.2.3 若和是同階冪等矩陣, 則為冪等矩陣.證明 , .定理3.2.4 若和是同階冪等矩陣, 且,則為冪等矩陣.證明 由題意可得 , 即為冪等矩陣.定理3.2.5 若為冪等矩陣, 且, 則不可逆.證明 設(shè),則有. 若可逆, 則, 在的兩邊同時(shí)乘以, 得,即. 矛盾, 故不可逆.定理3.2.6 若是冪等矩陣, 且, 則矩陣方程有非零解.證明 由定理3.2.5可知, 不可逆, 即. 故矩陣方程有非零解.定理3.2.7 若和是同階冪等矩陣, 則是冪等矩陣.證明 “”

16、是冪等矩陣, , 將兩邊分別左乘和右乘得: , 即. (3.2.1) , 即. (3.2.2) 兩式相減可得, 從而. “” .3.3冪等矩陣線性組合的可逆性 在本節(jié)中, 我們討論兩冪等矩陣線性組合的可逆性.引理3.3.1 設(shè)矩陣是階方陣, 則可逆.定理3.3.1 設(shè)矩陣均是冪等矩陣, 即. 若存在兩個(gè)非零復(fù)數(shù), 且使得可逆, 則對(duì)所有的復(fù)數(shù), 滿足, 則線性組合都是可逆的.證明 設(shè). 對(duì) , 有. 于是 . (3.3.1) 將上式兩邊依次左乘, 可得: . (3.3.2) 由(3.3.1)、(3.3.2)可得 . (3.3.3) 又, . 將代入上式可得 . 由于可逆,將上式兩邊同時(shí)左乘得

17、. (3.3.4) 再左乘得: . 即. 代入可得 . 注意到(3.3.3)式有, 因此由(3.3.4)式可得.因此. 由引理1知是可逆的.在定理3.3.1中令, 立即可以得到:推論3.3.1設(shè)矩陣均是冪等矩陣, 即. 若可逆,則, 滿足, 線性組合都是可逆的.定理3.3.2設(shè)矩陣均是冪等矩陣, , 下列命題等價(jià): 可逆. 及是可逆的.證明 (1)(2) 對(duì) 由定理1的證明過(guò)程知. 從而 又 可逆, 所以. 即. 由引理3.3.1知 可逆. 同樣地, 對(duì) . 兩邊同時(shí)左乘, 得. 所以 . 又 可逆, 所以. 所以. 由引理3.3.1知可逆.(2)(1) 對(duì), 有 從而有 . 所以 . . 又

18、及是可逆的. 知. 由引理3.3.1知可逆. 定理證畢. 在定理3.3.2中令, 立即可以得到:推論3.3.2設(shè)矩陣均是冪等矩陣, 下列兩個(gè)命題等價(jià): 可逆. 及可逆. 4 冪等矩陣與其他矩陣的關(guān)系4.1冪等矩陣與對(duì)合矩陣4.1.1對(duì)合矩陣定義 若矩陣滿足, 則稱為對(duì)合矩陣.對(duì)合矩陣和冪等矩陣是密切相關(guān)的, 它們的性質(zhì)也非常相似, 這里就不在一一舉出了, 先舉出幾個(gè)主要性質(zhì)并進(jìn)行證明:性質(zhì) 若是對(duì)合矩陣, 則, 反之, 也成立.證明 由是對(duì)合矩陣可知, 故 . 由秩的性質(zhì)可知. 又, . 綜上 . 反過(guò)來(lái), 即可證明當(dāng)時(shí), 是對(duì)合矩陣.性質(zhì) 對(duì)合矩陣的

19、特征值為1或-1.證明 類似于冪等矩陣, 設(shè)為對(duì)合矩陣的特征值, 由于滿足, 故滿足.性質(zhì) 是對(duì)合矩陣, 則一定與對(duì)角矩陣相似.證明 當(dāng)時(shí), 本身已經(jīng)是對(duì)角矩陣. 當(dāng)時(shí),的特征值為1或-1. 的屬于1的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組的解空間的維數(shù); 的屬于-1的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組的解空間的維數(shù), 由性質(zhì)得 . 因此可以對(duì)角化. 設(shè), 由性質(zhì)4.1.1得. 因此的相似標(biāo)準(zhǔn)型為.4.1.2 冪等矩陣與對(duì)合矩陣的關(guān)系命題 設(shè)是n階矩陣, 則以下兩個(gè)命題等價(jià):（1） 若, 則是冪等矩陣;（2） 若, 則是對(duì)合矩陣.證明 (1)(2) , 可

20、變形為. 由(1)有是冪等矩陣, 而, 即是對(duì)合矩陣. 同理可證 (2)(1). 原命題得證.命題 矩陣和都是對(duì)合矩陣, 則冪等矩陣.證明 . . 即都是冪等矩陣, 原命題得證.命題 矩陣是冪等矩陣, 則都是對(duì)合矩陣.證明 . 即都是對(duì)合矩陣, 原命題得證.命題 矩陣是對(duì)合矩陣, 則是冪等矩陣.證明 是對(duì)合矩陣, . , 即是冪等矩陣.4.2 冪等矩陣與投影矩陣4.2.1 投影矩陣 投影矩陣是研究廣義逆矩陣和最小二乘問(wèn)題的重要方法與手段.定義 設(shè)矩陣, 任意矩陣, 若滿足:(1) ; (2) ;(3) ; (4) 中的一個(gè)或者幾個(gè)條件,

21、都稱為的廣義逆矩陣. 上面四個(gè)方程稱為Moore-Penrose方程. 向量空間可以分解成子空間與的直和, 即, 則中任意的向量可以唯一的分解成, 其中, 則稱為向量沿著到的投影, 而稱中滿足的變換為沿著到的投影算子或投影變換. 投影算子在的基下的矩陣稱為投影矩陣, 記為. 投影矩陣與冪等矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.投影矩陣的種類有很多, 在文7中有細(xì)致的討論, 如斜投影矩陣, 正交投影矩陣, 加權(quán)正交投影矩陣等, 我們?cè)谶@里只討論特殊的正交投影矩陣與冪等矩陣的關(guān)系.4.2.2冪等矩陣與正交投影矩陣的關(guān)系引理 對(duì)任意矩陣有:（1） 與廣義逆矩陣的選擇無(wú)關(guān);（2） , .證明 (1) 因?yàn)?

22、 故存在矩陣, ,于是右端與選擇無(wú)關(guān). (2) 記, 可直接證明, 于是. 類似的, 可以證明第二式.定理設(shè)為任一矩陣, 記為向的正交投影陣, 則.證明 由以上引理可知, 所含的廣義逆的選擇無(wú)關(guān). 設(shè)為一滿足的矩陣, 則對(duì)任意向量, 有分解式這里為兩個(gè)適當(dāng)維數(shù)的向量. 依的定義我們有 , 對(duì)一切成立. 這說(shuō)明滿足矩陣方程 由()知. 于是. () 代入()得, 即. () 顯然, 此矩陣方程是相容的. 再由相容性定理可知()的解為, 代入()即可得, 定理得證.定理 設(shè)

23、為兩個(gè)正交投影陣, 則（1） 為正交投影陣;（2） 當(dāng)時(shí), 為向上的正交投影.證明 (1) 充分性顯然. 現(xiàn)證必要性: 設(shè)是一個(gè)正交投影陣, 于是, . () 用分別左乘和右乘(), 有: . () . () ()+()得: . 再由()和()可得 . (2) 我們只需證 對(duì), 于是 從可以推出, 證畢.定理 設(shè)為兩個(gè)正交投影陣, 則（1） 為正交投影陣;（2） 當(dāng)時(shí), 為向上的正交投影.定理 設(shè)為兩個(gè)正交投影陣, 則（1） 為正交投影陣;（2） 當(dāng)為正交

24、投影陣時(shí), 為向上的正交投影.投影矩陣與冪等矩陣是一一對(duì)應(yīng)的, 這兩個(gè)定理的證明類似于冪等矩陣的有關(guān)性質(zhì)的證明, 此處略去.結(jié)束語(yǔ)本文采用了直接證明的方式證明了冪等矩陣的伴隨矩陣是冪等的. 采用數(shù)學(xué)歸納法證明了若是冪等矩陣, 則的次冪仍是冪等矩陣. 但在本文中只討論了實(shí)數(shù)域內(nèi)的冪等矩陣的等價(jià)命題, 還可以推廣到復(fù)數(shù)域; 且僅討論了2次冪等矩陣, 推廣到次會(huì)有更多更好的結(jié)果.參考文獻(xiàn)1 陳文華. 冪等矩陣與對(duì)合矩陣的對(duì)角化J. 臨滄師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào), 2009.6, 18(2): 82-83. 2 Jin Bai Kim, Hee Sik Kim, Seung Dong Kim. An ad

25、joint matrix of real idempotent matrix J. of Math. Research & Exposition, 1997, 17(3): 335-339.3 張凱院, 徐仲, 陸全. 矩陣論典型題解及自測(cè)題M. 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2003.10: 228-234.4 樊正恩. 冪等矩陣的幾個(gè)注記J. 高師理科學(xué)刊, 2001.1, 31(1): 36-39.5 王松桂, 吳密霞, 賈忠貞. 矩陣不等式M. 科學(xué)出版社, 2006.5: 29-31.6 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第三版)M. 高等教育出版社, 2003.9: 3

26、04.7 陳永林. 廣義逆矩陣的理論與方法M. 南京師范大學(xué)出版社, 2005: 7-13.8 T. Akasaki, idempotent ideals of integral group ringsJ. Algebra, 1972, 23: 343346.9 山軍. 冪等矩陣線性組合可逆性的若干條件J. 欽州學(xué)院學(xué)報(bào), 2006.12, 21(5): 17-19.10 肖潤(rùn)梅. 冪等矩陣的概念及性質(zhì)J. 雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2003.10,19(5): 64-68.致謝 經(jīng)過(guò)近兩個(gè)月的努力，本論文終于在我的指導(dǎo)老師李小燕教授的悉心指導(dǎo)下完成了，在寫論文的過(guò)程中，從論文的選題，查找資料，擬定

27、提綱，確定論文以來(lái)，盡管我遇到了很多的困難，但都在老師和同學(xué)的幫助下順利解決了。從論文選題到搜集資料，從寫稿到反復(fù)修改，期間經(jīng)歷了喜悅、聒噪、痛苦和彷徨，在寫作論文的過(guò)程中心情是如此復(fù)雜。如今，伴隨著這篇畢業(yè)論文的最終成稿，復(fù)雜的心情煙消云散，自己甚至還有一點(diǎn)成就感，但更多的是懷著一顆感恩的心，謝謝各位老師給我的悉心指導(dǎo)，謝謝各位前輩寫出的論文，讓我的思路豁然開(kāi)朗，謝謝各位同學(xué)的鼓勵(lì)，在我迷茫的時(shí)候，告訴我放輕松，有一個(gè)好的心態(tài)才能寫出更好的論文，也謝謝跟我一組的唐金棟同學(xué)，我們互相鞭策，才得以使論文按時(shí)完成。 還要感謝我的家人和朋友，他們的關(guān)心和支持是我最大的財(cái)富和動(dòng)力。最后，我要特別感謝李

28、老師。是她在我畢業(yè)的最后關(guān)頭給了我們巨大的幫助與鼓勵(lì)，使我能夠順利完成畢業(yè)論文的撰寫，在此表示衷心的感激。老師們認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我收益匪淺。她無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中，都給與我很大的幫助，使我得到不少的提高這對(duì)于我以后的工作和學(xué)習(xí)都有一種巨大的幫助，感謝她耐心的輔導(dǎo)。最后的最后，衷心地感謝在百忙中評(píng)閱論文的各位老師、專家、教授！英文原文An Adjoint Matrix of a Real Idempotent MatrixJin Bai Kim(Dept. of Math., West Virginia University Morgantown, WV

29、 26506, USA)Hee Sik Kim(Dept. of Math. Education Chungbuk National University, Chongju 360-763, Korea)Seung Dong Kim(Dept. of Math., Kong-Ju National Teachers University, Kongju 314-701, Korea)Abstract We prove that an adjoint matrix of a real idempotent matrix is idempotent.Key words idempotent mat

30、rices.Classification AMS(1991) 15A/CCL O151.211. Introduction There are papers on real idempotent matrices (for instance 1 , 3 and 4). The first author of this paper in 5 proved that the second ajoint matrix of a Fuzzy idempotent matrix is idempotent. Our motivation of this paper is initiated from 5

31、 and we prove that an adjoint matrix of a real idempotent matrix is idempotent.2. Lemmas We have two lemmas in this section. We need some definitions.Definition1 (i) denotes the set of all real numbers. denotes the set of all n by n real matrices. (ii) Let . denotes the transpose of . (iii) Let. The

32、 cofactor of in is times the determinant of the submatrix of order obtained by deleting the th row and the th column from , where denotes the determinant of (see6, p.57). (iv)If is a matrix of order and is the cofactor of in , then the matrixis called the adjoint matrix of (see6,p.58for ). (v) in de

33、notes the matrix obtained from the identity matrix by interchanging row and row .Lemma 1 Let . Then we have that .We omit the proof of Lemma 1.Lemma 2 We assume that . Let be a real matrix of order defined byAssume that is idempotent.Then we have the following: (i) Iffor, then (ii) If, then (iii) If

34、, then (iv) If, then We omit the proof of Lemma2.Example 1 We list 18 real 55 idempotent matrices with (the rank of is equal to 3). In this example, denotes a 55 real idempotent matrix with In this matrix, we can add that: (i) If and all other entries ofare zero, then we can have and all other entri

35、es ofmust be zero, whereanddenote respectively the th row and th column of . (ii) Similarly, ifand all other entries ofare zero, then only non-zero entries are. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) 3.Theorem We quote the following 2: If is a real idempoten

36、t matrix of order , then is similar to a diagonal matrix, that is where is a non-singular matrix of order . We prove the following theorem.Theorem Let be a real idempotent matrix. Then the adjoint matrix is idempotent.Proof The proof consists of several steps. (i) Suppose the rank of a real idempote

37、nt matrix of order is equal to . Then we see that , the identity matrix. We can compute as and hence is idempotent. (ii) Suppose that . Then we can assume, without loss of generality, thatWe can compute , the adjoint matrix of as follows:We can show that is idempotent. (iii) We referring to Lemma 1

38、and 2, and Example 1, we claim that if is an idempotent of rank , then one of the following three statements holds: (1) has two rows each of two is the zero vector. (2) has two columns each of two is the zero vector. (3) has one row and one column both of them are zero vectors. (iv) We just prove th

39、at the claim mentioned in the above (iii) is true (for a case). Suppose thatis an idempotent of rank of and suppose, in addition, that for and . Then we can show that , and . Now if, then (the column) must be the zero vector. In addition, if, then(the column) must also be the vector. This proves the

40、 claim for a case (referring to 17, Example1). The rest of all other cases will be proved by a similar way using Lemma 2. Now we see that for an idempotent matrix of order , where 0 denotes the zero matrix. Therefore is idempotent. (v) Letbe an idempotent matrix of rank, where. We again refer to Lem

41、mas 1 and 2, and Example 1, and we easily deduce that whenis an idempotent of rank ().We know that is idempotent. This proves Theorem.References1 J.A.Erdos, On product of idempotent matrices, Glasgow Math. Journal (1967), 118-122.2 F.R.Gantmacher, The theory of matrices, Volume 1, (1959), Example 2,

42、 p.226; Chelsea Publishing Company, New York.3 J.H.Hodges, Idempotent matrices, Amer. Math. Monthly, 1966, 277.4 Jin Bai Kim, Idempotent generated Rees matrix semigroups, Kyungpook Mathematical, Journal10:1(1970), 7-14.5 Jin Bai Kim and K.H.Choi, The second adjoint matrix of a Fuzzy idempotent matri

43、x, The Journal of Fuzzy Mathematics,2:2(1994), 341-350.6 C.C.Macduffee, Vectors and matrices, The Mathematical Association of America, 1943.英文譯文一個(gè)實(shí)冪等矩陣的伴隨矩陣金佰金(美國(guó)西弗吉尼亞大學(xué)的摩根數(shù)學(xué)系,WV26506) 金熙嗇(教育韓國(guó)忠北大學(xué)數(shù)學(xué)系,清州360-763,韓國(guó))金升東(香港舉全國(guó)教師的大學(xué)數(shù)學(xué)系,孔距314-701,韓國(guó))摘要: 我們證明一個(gè)實(shí)冪等矩陣的伴隨矩陣是冪等的.關(guān)鍵詞: 冪等矩陣.分類: AMS(1991)15A/CCL

44、 O151.211 引言有實(shí)冪等矩陣的文件(例如1, 3和4). 首先在5本文作者證明了一個(gè)模糊冪等矩陣的第二聯(lián)合矩陣是冪等的. 本文的動(dòng)機(jī)是來(lái)自5開(kāi)始, 我們證明了一個(gè)實(shí)冪等矩陣的伴隨矩陣式冪等的.2 引理在本節(jié)中, 我們有兩個(gè)引理.我們需要一些定義.定義1 (i) 表示實(shí)數(shù)集. 表示所有的實(shí)矩陣. (ii) 設(shè). 表示的轉(zhuǎn)置矩陣. (iii) 設(shè). 的代數(shù)余子式是乘上在中劃去第行和第列后得到的階行列式, 表示的行列式. (見(jiàn)6, 第57頁(yè)). (iv) 如果是一個(gè)階矩陣且是中的代數(shù)余子式, 那么矩陣就叫做的伴隨矩陣(見(jiàn)6,第58頁(yè) ). (v) 在中表示從單位矩陣中互換行和行后所得到的矩陣

45、.引理1 設(shè).然后我們得到. 我們省略引理1的證明.引理2 我們假設(shè). 設(shè)是一個(gè)被如下定義的階實(shí)矩陣： 假設(shè)是冪等矩陣, 我們有以下結(jié)論： (i) 如果, 則 (ii) 如果, 則 (iii) 如果, 則 (iv) 如果, 則. 我們省略引理2的證明.例1 我們列出了18個(gè)實(shí)55的且(的秩為3)的冪等矩陣. 在這個(gè)例子中, 表示一個(gè)55實(shí)冪等矩陣且, 在這個(gè)矩陣中, 我們可以加上一句： (i)如果且的其他元素均為0, 那么我們可以得出, 且的其他元素都是0, 其中和分別表示的第行和第列. (ii)同樣的, 如果, 且的其他元素均為0, 那么非零元素只有. (1) (2) (3) (4) (5)

46、 (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) 3 定理 我們引述如下2： 如果是一個(gè)階實(shí)矩陣, 則相似于一個(gè)對(duì)角矩陣, 也就是說(shuō), 是一個(gè)階非奇異矩陣. 我們證明如下定理.定理 設(shè)是一個(gè)實(shí)冪等矩陣, 則它的伴隨矩陣也是冪等的.證明 證明可分為幾個(gè)步驟. (i)假設(shè)階實(shí)冪等矩陣的秩, 我們可以看到(單位矩陣). 我們可以計(jì)算出的伴隨矩陣也是, 所以是冪等的. (ii)假設(shè), 然后, 不失一般性, 我們可以假定我們可以計(jì)算出,的伴隨矩陣如下：顯然是冪等的.(iii)我們參照引理1、引理2和例1, 我們主張, 如果是秩為冪

47、等矩陣, 則以下三個(gè)語(yǔ)句之一成立: (1) 有兩行是0向量. (2) 有兩列是0向量. (3) 有一行和一列是0向量. (iv) 我們只證明上述(iii)在主張下為真(一種情況). 假設(shè)是一個(gè)秩為的冪等矩陣, 此外, 我們假設(shè)且 我們可以看出, . 現(xiàn)在, 如果, 則(第列)必須是0向量. 接下來(lái), 如果, 則(第列)必須是0向量. 這證明了一個(gè)要求的情況下(指例1(17). 剩下的其他的情況可以用類似于運(yùn)用引理2的方法證明. 我們看到矩陣是階冪等矩陣, 0表示0矩陣. 因此是冪等的. (v) 設(shè)是一個(gè)秩為的冪等矩陣, . 我們?cè)俅螀⒄找?、2和例1, 我們很容易推斷出當(dāng)是一個(gè)秩為的冪等矩陣

48、(), 我們知道是冪等的. 定理證畢.參考文獻(xiàn)1 J.A.Erdos, 產(chǎn)品冪等矩陣J, 格拉斯哥數(shù)學(xué)期刊(1967), 118-122.2 F.R.Gantmacher, 矩陣?yán)碚揗, 紐約切爾西出版公司, 1959, 例2, 226.3 J.H.Hodges, 冪等矩陣J, 美國(guó)數(shù)學(xué)月刊, 1966, 277.4 Jin Bai Kim, 冪等生成的Rees矩陣半群J, 慶北數(shù)學(xué)刊物10:1(1970), 7-14.5 Jin Bai Kim,K.H.Choi, 第二模糊冪等矩陣J, 伴隨矩陣模糊數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2:2(1994), 341-350.6 C.C.Macduffee, 向量和矩陣

49、M, 美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì), 1943.9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpR89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxG89AmUE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&