基于小波變換的數(shù)字圖像

1、 基于小波變換的數(shù)字圖像降噪處理摘要：圖像一般都會受到噪聲污染的影響，由于噪聲影響圖像的輸入、輸出等環(huán)節(jié)，使得圖像分辨率下降，同時破壞了圖像的精細結(jié)構(gòu)，給圖像的后續(xù)處理帶來不便，因此如何有效地抑制噪聲已成為圖像處理的首要任務。圖像降噪是為了提高圖像的信噪比，突出圖像的期望特征。傳統(tǒng)的濾除噪聲的方法難題就是如何兼顧降低圖像噪聲和保留圖像細節(jié)兩個方面。將圖像的高頻成分濾掉的低通濾波方法，雖然可以有效地濾除噪聲但是高頻分量衰減得越多，圖像就越模糊。而小波變換技術(shù)具有可進行時域和頻域的局部分析、靈活地對信號局部的奇異特征進行提取和時變?yōu)V波等特點1，優(yōu)于傅立葉變換，能有效地處理信號，把真實的信號和噪聲區(qū)

2、分開來，所以它被普遍用于信號與圖像處理。 本文結(jié)合了MATLAB進行了小波閾值圖像處理，MATLAB是一種高效的工程計算語言，在數(shù)值計算、數(shù)據(jù)處理、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等方面都有廣泛的應用。同時本文既概述了小波閾值去噪原理也對圖像處理后的結(jié)果進行了定性分析。關(guān)鍵詞：噪聲污染 信噪比 濾波 小波變換 MATALAB AbstractImages are generally affected by noise pollution, because of the influence of noise of image input, output, makes the image resolu

3、tion to drop, at the same time destroyed the image of the fine structure, causing inconvenience to the subsequent processing of the image, so how to effectively suppress noise has become the primary task of image processing. Image noise reduction is in order to improve the SNR of image, highlight th

4、e desired features of the image. The traditional method of noise filtering problem is how to reduce the image noise and image details two aspects. The image of the high frequency component filter out low pass filtering method, although can effectively filter out noise. But the more high frequency at

5、tenuation, image is blurred. And wavelet transform technology for local analysis of time domain and frequency domain, the flexibility to singular characteristics of local signal extraction and time-varying filtering etc1 . is superior to the Fourier transform, the signal can be effectively dealt wit

6、h, to distinguish the real signal and noise, so it is widely used in signal and image processing. This paper combines MATLAB wavelet threshold image processing, MATLAB language is a kind of efficient engineering calculation, the numerical calculation, data processing, image processing, neural networ

7、k and wavelet analysis has a wide range of applications. At the same time, this article summarizes the wavelet threshold denoising both principle and the results of image processing after carried on the qualitative analysis.Keywords：Noise pollution Signal to noise ratio The filter The wavelet transf

8、ormation MATALAB 目 錄第一章 引言5第二章 圖像與噪聲62.1 噪聲圖像模型及噪聲特性62.1.1 含噪模型62.1.2 噪聲特性82.2 圖像質(zhì)量的評價92.2.1 主觀評價92.2.2 客觀評價9第三章 圖像去噪方法11 3.1 傳統(tǒng)去噪方法11 3.2 小波去噪143.2.1 小波去噪原理143.2.2小波去噪算法143.2.3 小波去噪的優(yōu)缺點15第四章 小波變換理論基礎(chǔ)154.1 從傅里葉變換到小波變換154.2 小波理論的基本概念164.2.1 連續(xù)小波變換164.2.2 離散小波變換18第五章 小波閾值去噪及MATLAB仿真205.1 小波閾值去噪概述205.1

9、.1小波閾值去噪方法215.1.2 基于小波變換的圖像分解與重構(gòu)225.2基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡介235.3 利用小波去噪函數(shù)去除給定圖像中的噪聲24第六章 總結(jié)與展望28參考文獻29第一章 引言 圖像在生成和傳輸過程中常常因受到各種噪聲的干擾和影響而使圖像降質(zhì)，這對后續(xù)圖像的處理(如分割、壓縮和圖像理解等)將產(chǎn)生不利影響。噪聲種類很多，如：電噪聲、機械噪聲、信道噪聲和其他噪聲。在圖像處理中，圖像去噪是一個永恒的主題，為了抑制噪聲，改善圖像質(zhì)量，便于更高層次的處理，必須對圖像進行去噪預處理。 計算機圖像處理主要采取兩大類方法：一是在空間域中的處理，即在圖像空間中對圖像進行各種處理；另

10、一類是把空間域中的圖像經(jīng)過正交變換到頻域，在頻域里進行各種處理然后反變換到空間域，形成處理后的圖像。人們也根據(jù)實際圖像的特點、噪聲的統(tǒng)計特征和頻譜分布的規(guī)律，發(fā)展了各式各樣的去噪方法。其中最為直觀的方法，是根據(jù)噪聲能量一般集中于高頻而圖像頻譜則分布于一個有限區(qū)間的這一特點，采用低通濾波方式來進行去噪，或?qū)D像進行平滑處理等，這屬于第一類圖像處理方法。還有就是在頻域進行處理，如：傅立葉變換、小波基變換。 近年來，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，而且由于其具備良好的時頻特性，實際應用也非常廣泛。其中圖像的小波閾值去噪方法可以說是眾多圖像去噪方法的佼佼者?；舅枷刖褪抢脠D像小波分解后，各個子帶圖像的

11、不同特性選取不同的閾值，從而達到較好的去噪目的。而且，小波變換本身是一種非線形變換，而國內(nèi)外的研究大多集中在如何選取一個合適的全局閾值，通過處理低于該閾值的小波系數(shù)同時保持其余小波系數(shù)值不變的方法來降噪，因而大多數(shù)方法對于類似于高斯噪聲的效果較好，但對于混有脈沖噪聲的混合噪聲的情形處理效果并不理想。線形運算往往還會造成邊緣模糊，小波分析技術(shù)正因其獨特的時頻局部化特性在圖像信號和噪聲信號的區(qū)分以及有效去除噪聲并保留有用信息等方面較之傳統(tǒng)的去噪具有明顯的優(yōu)勢，且在去噪的同時實現(xiàn)了圖像一定程度的壓縮和邊緣特征的提取。所以小波去噪具有無可比擬的優(yōu)越性。小波去噪主要優(yōu)點有： （1） 低熵性，小波系數(shù)的稀

12、疏分布，使得圖象變換后的熵降低； （2） 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻畫信號的非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點等； （3） 去相關(guān)性， 因為小波變換可以對信號進行去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢， 所以小波域比時域更利于去噪； （4） 選基靈活性，由于小波變換可以靈活選擇變換基， 從而對不同應用場合、不同的研究對象，可以選用不同的小波函數(shù)，以獲得最佳的效果2。 第二章 圖像與噪聲2.1 圖像噪聲模型及噪聲特性2.1.1 圖像噪聲模型 實際獲得的圖像含有的噪聲，根據(jù)不同分類可將噪聲進行不同的分類。從噪聲的概率分布情況來看，可分為高斯噪聲、瑞利噪聲、伽馬噪聲、指數(shù)噪聲和均勻

13、噪聲。（1） 高斯噪聲由于高斯噪聲在空間和頻域中數(shù)學上的易處理性，這種噪聲(也稱為正態(tài)噪聲)模型經(jīng)常被用于實踐中。事實上，這種易處理性非常方便，使高斯模型經(jīng)常用于臨界情況下 。高斯隨機變量z的概率密度函數(shù)由下式給出： （2.1） 其中z表示灰度值，表示z的平均值或期望值，表示z的標準差。標準差的平方2稱為z的方差。當z服從式（2.1）的分布時候，其值有70落在(-),(+)內(nèi)，且有95落在(-2),( +2)范圍內(nèi)。（2） 瑞利噪聲瑞利噪聲的概率密度函數(shù)由下式給出： （2.2）概率密度的均值和方差由下式給出： （2.3）（3） 伽馬(愛爾蘭)噪聲伽馬噪聲的概率密度函數(shù)由下式給出： （2.4）其

14、中，a0，b為正整數(shù)且“!”表示階乘。其密度的均值和方差由下式給出： （2.5）盡管式(2.4)經(jīng)常被用來表示伽馬密度，嚴格地說，只有當分母為伽馬函數(shù)(b)時才是正確的。當分母如表達式所示時，該密度近似稱為愛爾蘭密度。（4） 指數(shù)分布噪聲指數(shù)噪聲的概率密度函數(shù)可由下式給出： （2.6）其中a0。概率密度函數(shù)的期望值和方差是： （2.7）（5）均勻噪聲分布均勻噪聲分布的概率密度函數(shù)，由下式給出： （2.8）概率密度函數(shù)的期望值和方差可由下式給出： （2.9）（6）脈沖噪聲（椒鹽噪聲）(雙極)脈沖噪聲的PDF可由下式給出： （2.10）如果ba，灰度值b在圖像中將顯示為一個亮點，相反，a的值將顯示

15、為一個暗點。若Pa或Pb為零，則脈沖噪聲稱為單極脈沖。如果Pa和Pb均不可能為零，尤其是它們近似相等時，脈沖噪聲值將類似于隨機分布在圖像上的胡椒和鹽粉微粒。由于這個原因，雙極脈沖噪聲也稱為椒鹽噪聲。同時，它們有時也稱為散粒和尖峰噪聲。噪聲脈沖可以是正的，也可以是負的。標定通常是圖像數(shù)字化過程的一部分。因為脈沖干擾通常與圖像信號的強度相比較大，因此，在一幅圖像中，脈沖噪聲總是數(shù)字化為最大值(純黑或純白)。這樣，通常假設(shè)a，b是飽和值,從某種意義上看，在數(shù)字化圖像中，它們等于所允許的最大值和最小值。由于這一結(jié)果，負脈沖以一個黑點(胡椒點)出現(xiàn)在圖像中。由于相同的原因，正脈沖以白點(鹽點)出現(xiàn)在圖像

16、中。對于一個8位圖像，這意味著a=0(黑)，b=255(白)。2.1.2 噪聲特性所謂噪聲，就是指妨礙人的視覺或相關(guān)傳感器對圖像信息進行理解或分析的各種因素。通常噪聲是不可預測的隨機信號。由于噪聲影響圖像的輸入、采集、處理以及輸出的各個環(huán)節(jié)，尤其是圖像輸入、采集中的噪聲必然影響圖像處理全過程乃至最終結(jié)果，因此抑制噪聲已成為圖像處理中極其重要的一個步驟。圖像噪聲一般具有以下特點：(1) 噪聲在圖像中的分布和大小不規(guī)則，即具有隨機性。(2) 噪聲與圖像之間一般具有相關(guān)性。例如，攝像機的信號和噪聲相關(guān)，黑暗部分噪聲大，明亮部分噪聲小。又如，數(shù)字圖像中的量化噪聲與圖像相位相關(guān)，圖像內(nèi)容接近平坦時，量化

17、噪聲呈現(xiàn)偽輪廓，但圖像中的隨機噪聲會因為顫噪效應反而使量化噪聲變得不很明顯。使用光導攝象管的攝像機，信號幅度和噪聲幅度無關(guān)。而使用超正析攝像機的信號和噪聲相關(guān)，黑暗部分噪聲大，明亮部分噪聲小，在數(shù)字圖像處理技術(shù)中量化噪聲是肯定存在的，它和圖像相位有關(guān)，如圖像內(nèi)容接近平坦時，量化噪聲呈現(xiàn)偽輪廓，但在此時圖像信號中的隨機噪聲就會因為顫噪效應反而使量化噪聲變得不那么明顯。(3) 噪聲具有疊加性。在串聯(lián)圖像傳輸系統(tǒng)中，各部分竄入噪聲若是同類噪聲可以進行功率相加，依次信噪比要下降。若不是同類噪聲應區(qū)別對待，而且要考慮視覺檢出特性的影響。但是因為視覺檢出特性中的許多問題還沒有研究清楚，所以也只能進行一些主

18、觀的評價試驗。32.2 圖像質(zhì)量的評價 如何評價一個圖像經(jīng)過去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量，對于我們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義?，F(xiàn)有的評價方法一般分為主觀和客觀兩種。2.2.1 主觀評價 主觀評價通常有兩種:一種是作為觀察者的主觀評價，這是由選定的一組人對圖像直接用肉眼進行觀察，然后分別給出其對所觀察的圖像的質(zhì)量作好或壞的評價，再綜合全組人的意見給出一個綜合結(jié)論。它只是一種定性的方法，沒有定量的標準，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評價結(jié)果有一定的不確定性。另一種是隨著模糊數(shù)學的發(fā)展，可以用模糊綜合評判方法來盡量減少主觀因素的影響，實現(xiàn)對圖像質(zhì)量近似定量的評價，不過它仍然沒有完全消除主觀不確

19、定性的影響，其定量計算公式中的參數(shù)往往要依賴專家經(jīng)驗確定。2.2.2 客觀評價圖像質(zhì)量的客觀評價方法是根據(jù)人眼的主觀視覺系統(tǒng)建立數(shù)學模型，并通過具體的公式計算圖像的質(zhì)量。傳統(tǒng)的圖像質(zhì)量客觀評價方法主要包括均方誤差（MSE，mean squared error）和峰值信噪比（PSNR，peak signal to noise rate）。均方誤差法首先計算原始圖像和失真圖像象素差值的均方值，然后通過均方值的大小來確定失真圖像的失真程度。計算公式如下： 其中 M、N為圖像的長和寬， 表示原始圖像的象素值，表示降質(zhì)后圖像的象素值。PSNR作為衡量圖像質(zhì)量的重要指標，基于通信理論而提出，是最大信號量與

20、噪聲強度的比值。由于數(shù)字圖像都是以離散的數(shù)字表示圖像的像素，因此采用圖像的最大象素值來代替最大信號量。具體公式如下： 其中 L 為圖像中像素的最大灰度值，一般采用 255。 上述方法的優(yōu)點是直觀、嚴格，計算簡單，而且可以直接應用于依據(jù)“MSE 最小”原則設(shè)計的圖像系統(tǒng)。因此，這類方法成為應用最廣泛的圖像質(zhì)量評價手段。但它的缺點也是顯而易見的。文獻6具體分析了 MSE 性能不穩(wěn)定的原因，并指出這一缺點是方法本身的缺陷，無法克服。PSNR 只在評價白噪聲失真圖像時效果良好,而在其它領(lǐng)域也會出現(xiàn)如 MSE 一樣的不穩(wěn)定現(xiàn)象，文獻7對此進行了深入分析。 對圖像質(zhì)量進行客觀評價時，根據(jù)對原始無失真圖像依

21、賴程度的不同，可將圖像質(zhì)量的客觀評價算法分成三類：全參考（Full Reference, FR）圖像質(zhì)量評價、半?yún)⒖迹≧educed Reference, RR）圖像質(zhì)量評價和無參考（No Reference, NR）圖像質(zhì)量評價。全參考圖像質(zhì)量評價主要是將失真圖像和參考圖像逐像素進行比較，得出對失真圖像的評價；半?yún)⒖嫉膱D像質(zhì)量評價是從原始圖像和失真圖像中分別提取圖像的有效特征，如圖像的梯度和直方圖，通過對有效特征進行比較，得出對失真圖像的評價；無參考的圖像質(zhì)量評價則無需任何參考圖像的信息，直接提取失真圖像的某些失真因素特征，如圖像的邊界強度、噪聲率、模糊度等，給出失真圖像的客觀質(zhì)量評價。 第

22、三章 圖像去噪方法 對隨時間變化的信號，通常采用兩種最基本的描述形式，即時域和頻域。時域描述信號強度隨時間的變化，頻域描述在一定時間范圍內(nèi)信號的頻率分布。對應的圖像的去噪處理方法基本上可分為空間域法和變換域法兩大類。前者即是在原圖像上直接進行數(shù)據(jù)運算，對像素的灰度值進行處理。變換域法是在圖像的變換域上進行處理，對變換后的系數(shù)進行相應的處理，然后進行反變換達到圖像去噪的目的。3.1 傳統(tǒng)去噪方法1、 均值濾波均值濾波器是一種消除圖像噪聲的線性處理方法。這種方法的基本思想是用幾個像素灰度的平均值來代替每個像素的灰度。均值濾波是典型的線性濾波算法，它是指在圖像上對目標像素給一個模板，該模板包括了其周

23、圍的臨近像素（以目標象素為中心的周圍8個象素，構(gòu)成一個濾波模板，即去掉目標象素本身）。再用模板中的全體像素的平均值來代替原來像素值。均值濾波采用的主要方法為領(lǐng)域平均法。線性濾波的基本原理是用均值代替原圖像中的各個像素值，即對待處理的當前像素點（x，y），選擇一個模板，該模板由其近鄰的若干像素組成，求模板中所有像素的均值，再把該均值賦予當前像素點（x，y），作為處理后圖像在該點上的灰度個g（x，y），即均值濾波的公式： g（x，y）=1/m f（x，y） m為該模板中包含當前像素在內(nèi)的像素總個數(shù)。 均值濾波的性能：均值濾波器是一種典型的線性去噪方法，因為其運算簡單快速，同時又能夠較為有效地去除高

24、斯噪聲。因而適用面較廣，至今仍是一種常用的去噪方法， 許多濾除噪聲方法都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來。其缺點是嚴重破壞了圖像的邊緣，模糊了圖像。2、 中值濾波中值濾波是常用的非線性濾波方法，也是圖像處理技術(shù)中最常用的預處理技術(shù)。它在平滑脈沖噪聲方面非常有效，同時它可以保護圖像尖銳的邊緣。標準中值濾波算法是將窗口內(nèi)所有像素值比較其大小后，依次排列，然后取其中值置換窗口中心像素值。以鄰域為3*3的中值濾波為例，g(x,y)與9個像素點的灰度值有關(guān)，即f(x-1,y-1)，f(x-1,y) ，f(x-1,y+1)，f(x,y-1)，f(x,y)，f(x,y+1)， f(x+1,y-1)， f(x+1,y)

25、，f(x+1,y+1) 。g(x,y)取這9個數(shù)中大小排第5位的那個值。假設(shè)這9個值分別為（10,20,20,20,15,20,20,25,100 ），經(jīng)過排序后為（10,15,20,20,20,20,20,25,100 ）所以結(jié)果為排行第5的那個數(shù)20 ，就把這個數(shù)賦給g(x,y)。濾除噪聲的性能：中值濾波是非線性運算，因此對隨機性質(zhì)的噪聲輸入，數(shù)學分析是相當復雜的。對于零均值正態(tài)分布的噪聲輸入，中值濾波輸出與輸入噪聲的分布密度有關(guān)，輸出噪聲方差與輸入噪聲密度函數(shù)的平方成反比。對隨機噪聲的抑制能力，中值濾波比均值濾波要差些。但對于脈沖干擾來講，特別是脈沖寬度小于濾波窗口長度之半，相距較遠的窄

26、脈沖，中值濾波是很有效的。3、 維納濾波 維納濾波就是用來解決從噪聲中提取信號問題的一種過濾(或濾波)方法。它基于平穩(wěn)隨機過程模型，且假設(shè)退化模型為線性空間不變系統(tǒng)的。實際上這種線性濾波問題，可以看成是一種估計問題或一種線性估計問題?；镜木S納濾波是根據(jù)全部過去的和當前的觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或單位樣本響應的形式給出的，因此更常稱這種系統(tǒng)為最佳線性過濾器或濾波器。設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位樣本響應或傳遞函數(shù)的表達式，其實質(zhì)是解維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程?；揪S納濾波器是這樣的，有兩個信號x(k)

27、和y(k)同時加在濾波器上。典型地y(k)包含一個與x(k)相關(guān)地分量和另一個與x(k)不相關(guān)地分量。維納濾波器則產(chǎn)生y(k)中與x(k)相關(guān)分量地最優(yōu)估計，再從y(k)中減去它就得到e(k)。假定一個N個系數(shù)（權(quán)值）的FIR濾波器的結(jié)構(gòu)，維納濾波和原始信號y(k)之間的差信號e(k)為： 其中和w分別為輸入信號矢量和權(quán)矢量，由下式確定： 誤差平方為： 對上式兩邊取期望得到均方誤差(MSE) ，若輸入x(k)與輸出y(k)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則： 其中代表期望，是的方差，是長度為N地互相關(guān)矢量，是NN的自相關(guān)矩陣。一個MSE濾波系數(shù)的圖形是碗形地，且只有唯一地底部，這個圖稱為性能曲面，它是非負的。維

28、納濾波的實際用途有限，因為：（1） 它需要已知自相關(guān)矩陣R和互相關(guān)矢量P，這兩個量通常是未知的。（2） 它包含了矩陣的求逆，非常的耗時。（3） 若信號為非平穩(wěn)的，則R和P是時變的，導致必需重復計算。對于實際的應用需要一種能夠依次加入地抽樣點而得到的算法。自適應算法就就是用于達到這個目的，而且不需顯式計算R和P或進行矩陣求逆4。 3.2 小波去噪 近年來，小波理論取得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應用?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學、應用科學、社會科學等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應用小波理論進行圖像去噪受到許多專家學者的重視，并取得了

29、非常好的效果。3.2.1 小波去噪原理小波變換濾去噪聲，就是利用信號與噪聲的李普西茲指數(shù)在局部奇異處呈現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式來實現(xiàn)。一般地，白噪聲的李氏指數(shù)0。從式（4.2.1）可以得出，連續(xù)小波變換計算分以下5個步驟進行。 選定一個小波，并與處在分析時段部分的信號相比較。 計算該時刻的連續(xù)小波變換系數(shù)C。如圖4.1所示，C表示了該小波與處在分析時段內(nèi)的信號波形相似程度。C愈大，表示兩者的波形相似程度愈高。小波變換系數(shù)依賴于所選擇的小波。因此，為了檢測某些特定波形的信號，應該選擇波形相近的小波進行分析。小波變換的系數(shù)表示了小波與處在分析時段內(nèi)的信號的波形近似程度WaveletC=0.0102Sign

30、al圖4.1 計算小波變換系數(shù)示意圖 如圖4.2所示，調(diào)整參數(shù)b，調(diào)整信號的分析時間段，向右平移小波，重復步驟，直到分析時段已經(jīng)覆蓋了信號的整個支撐區(qū)間。 調(diào)整參數(shù)a，尺度伸縮，重復步驟。 重復步驟，計算完所有的尺度的連續(xù)小波變換系數(shù)，如圖4.3所示。WaveletWaveletC=0.2247SignalSignal 圖4.2 不同分析時段下的 圖4.3 不同尺度下的信號小波變換系數(shù)計算 信號小波變換系數(shù)計算 由小波變換的定義式（4.2.1），有其中，并設(shè)f (t)=f (kt)，t(k,k+1)，則 （4.2.2）式（4.2.2）可以通過以上5步來實現(xiàn)，也可以用快速卷積運算來完成。卷積運算

31、既可以在時域完成，也可以通過FFT來完成。4.2.2 離散小波變換 對于連續(xù)小波而言，尺度a、時間t和與時間有關(guān)的偏移量都是連續(xù)的。如果利用計算機計算，就必須對它們進行離散化處理，得到離散小波變換。為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù)的a、限定在一些離散的點上取值。離散小波變換要經(jīng)過：尺度離散化、位移的離散化、求取、小波框架的定義。1. 尺度離散化：一種最通常的離散方法就是將尺度按冪級數(shù)進行離散化，即?。檎麛?shù)，一般?。Ｈ绻捎脤?shù)坐標，則尺度的離散取值如圖3.1所示。圖3.1 尺度與位移離散方法2. 位移的離散化：當時，。 （1）通常對進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸。 （2）

32、要求采樣間隔滿足采樣定理，即采樣頻率大于該尺度下頻率通帶的2倍。 3.求取當增加1時，尺度增加一倍，對應的頻帶減小一半，可見采樣頻率可以降低一半，即采樣間隔可以增大一倍。因此，如果尺度時的間隔為，則在尺度為時，間隔可取。此時可表示為 為簡化起見，往往把軸用歸一化，這樣上式就變?yōu)?4、 小波框架的定義 當由基本小波經(jīng)伸縮和位移引出的函數(shù)族； ，具有下述性質(zhì)時： 便稱構(gòu)成了一個小波框架，稱上式為小波框架條件，其頻域表示為 小波框架具有如下的性質(zhì)5：1）滿足小波框架條件的，其基本小波必定滿足容許性條件。但是并不是滿足容許性條件的小波，在任意離散間隔及尺度基數(shù)下都滿足小波框架的條件。2）小波函數(shù)的對偶

33、函數(shù)也構(gòu)成一個框架，其框架的上、下界是框架上、下界的倒數(shù)： 3）離散小波變換具有非伸縮和時移共變性。4）離散小波變換仍然具有冗余度。 第五章 小波閾值去噪及MATLAB仿真5.1 小波閾值去噪概述 小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪、利用小波變換模極大值的方法去噪、利用信號小波變換后空域相關(guān)性進行信噪分離、非線性小波閾值方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。歸結(jié)起來主要有三類:模極大值檢測法、閾值去噪法和屏蔽(相關(guān))去噪法。其中最常用的就是閾值法去噪，本文主要研究閾值去噪。 1992年，斯坦福大學的Donoho和Johnstone教授提出一種具有良好的統(tǒng)計優(yōu)

34、化特性的去噪方法，稱作“WaveletShrinkage”（即閾值收縮法）。 該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計特性：圖像本身的能量對應著幅值較大的小波系數(shù),主要集中在高頻（LL）；噪聲能量則對應著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。根據(jù)該特征，設(shè)置一個閾值門限，認為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成份為有用的信號，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成份為噪聲，予以剔除，這樣就可以達到去噪的目的。 去噪時，通常認為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對剩余三個高通部分進行處理。因此，一次閾值去噪并不能完全去除噪聲，還需要對未作處理的低頻部分

35、（LL）再次進行小波分解和閾值去噪，直到實際圖像與估計圖像的偏差達到最小值。 但是隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來越少，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。一般來說，進行3-4層小波分解和去噪就可以達到滿意的去噪效果。5.1.1小波閾值去噪方法 Donoho提出的小波閾值去噪方法的基本思想是當wj,k小于某個臨界閾值時，認為這時的小波系數(shù)主要是由噪聲引起的，予以舍棄。當wj,k大于這個臨界閾值時，認為這時的小波系數(shù)主要是由信號引起，那么就把這一部分的wj,k直接保留下來(硬閾值方法)，或者按某一個固定量向零收縮(軟閾值方法)，然后用新的小波系數(shù)進行小波重構(gòu)得到去噪后的信號。小

36、波閾值降噪的基本思路是：（1）先對含噪信號f(k)做小波變換，得到一組小波系數(shù)。（2）通過對進行閾值處理，得到估計系數(shù)，使得與兩者的差值盡可能小。（3）利用估計小波系數(shù)進行小波重構(gòu)，得到估計信號了，即為去噪之后的信號。小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個關(guān)鍵因素是閾值的具體估計。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲；相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 (4)閾值函數(shù)關(guān)系著重構(gòu)信號的連續(xù)性和精度，對小波去噪的效果有很大影響5。 目前，閾值的選擇主要分硬閾值和軟閾值兩種處理方式。其中，軟閾值處理是將信號的絕對值與閾值進行比較

37、，當數(shù)據(jù)的絕對值小于或等于閾值時，令其為零;大于閾值的數(shù)據(jù)點則向零收縮，變?yōu)樵擖c值與閾值之差。而硬閾值處理是將信號的絕對值閾值進行比較，小于或等于閾值的點變?yōu)榱?，大于閾值的點不變。但硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性使消噪后的信號仍然含有明顯的噪聲;采用軟閾值方法雖然連續(xù)性好，但估計小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定的偏差，當噪聲信號很不規(guī)則時顯得過于光滑。5.1.2 基于小波變換的圖像分解與重構(gòu)二維離散小波主要解決二維多分辨率分析問題，如一幅二維離散圖像c(m,n) ,二小波可以將它分解為各層各個分辨率上的近似分量cAj，水平方向細節(jié)分量 cHj，垂直方向細節(jié)分量cVj，對角線方向細節(jié)分量cDj，其

38、二層小波圖像分解過程如圖 4-1 所示：圖4-1 小波圖像分解過程 圖4-2 小波圖像分解過程其二層小波圖像重構(gòu)過程正好與此相反如圖4-2所示，基于小波變換的圖像處理，是通過對圖像分解過程中所產(chǎn)生的近似分量與細節(jié)分量系數(shù)的調(diào)整，使重構(gòu)圖像滿足特定條件，而實現(xiàn)圖像處理。5.2基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡介 小波閾值降噪法就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出

39、現(xiàn)偽吉布斯效應等視覺失真等現(xiàn)象：而軟閾值處理相對較光滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個關(guān)鍵因素是閾值的具體估計。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲：相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。MATLAB中實現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實現(xiàn)兩個方面6。1、閾值獲取MATLAB中實現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有ddencmp、select、wbmpen和wdcbm2。這里主要使用函數(shù)ddencmp。函數(shù)ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認值。該函數(shù)是降噪和壓縮的

40、導向函數(shù)，它給出一維或二維信號使用小波或小波包進行降噪和壓縮一般過程的所有默認值。其語法格式為：THR,SORH,KEEPAPP,CRIT=ddencmp(IN1,IN2,X)THR,SORH,KEEPAPP=ddencmp(IN1,wv,X)THR,SORH,KEEPAPP,CRIT=ddencmp(IN1,wp,X)2 、閾值降噪MATLAB中實現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有wden、wdencmp、wpdencmp、wthresh、wpthcoef和wthcoef2。這里主要介紹函數(shù)wdencmp。其語法格式為:XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(gb1,X,wname,

41、N,THR,SORH,KEEPAPP）XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(lvd,X,wname,N,THR,SORH)XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(lvd,C,L,wname,N,THR,SORH)函數(shù)wdencmp的功能是使用小波進行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪的導向函數(shù)。它使用小波對信號或圖像執(zhí)行降噪過程。wname是所用的小波函數(shù)。gbl（global）表示每層都采用同一個閾值進行處理。lvd表示每層用不同的閾值進行處理。N表示小波分解的層數(shù)。THR為閾值向量，長度為N。SORH表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為s和h）。參數(shù)

42、KEEPAPP取值為1是，則低頻系數(shù)不進行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進行閾值量化。XC是降噪后的信號，CXC,LXC是XC的小波分解結(jié)構(gòu)，PHRF0和PERFL2是恢復和壓縮L2的范數(shù)百分比。如果C，L是x的小波分解結(jié)構(gòu)，則PERFL2=100（CXC向量的范數(shù)/C向量的范數(shù)）7。5.3 利用小波去噪函數(shù)去除給定圖像中的噪聲 下面分別采用小波降噪函數(shù)降噪和軟硬閾值進行降噪，用MATLAB分別進行仿真，輸入的都是高斯白噪聲，采用自己拍攝的華南師范大學的圖書館作為驗證圖片。實驗一、 小波降噪函數(shù)降噪：利用sym5小波對圖像信號進行二層分解，再接著利用ddencmp函數(shù)來計算去噪的默認閾值和熵標準

43、，用wdencmp函數(shù)來實現(xiàn)圖像的壓縮，使用這兩個函數(shù)實現(xiàn)圖像的去噪，程序如下：%載入原始圖片I=imread(huashitushuguan.jpg);nbc=size(I,1);X = im2double(I);% 產(chǎn)生噪聲圖像 init=3718025452; randn(seed,init); Xnoise=X+randn(size(X)/10;%顯示原始圖像%colormap(map);subplot(221);imshow(X);title(原始圖像);subplot(222);imshow(Xnoise);title(高斯白噪聲圖像);% 使用 sym5 執(zhí)行圖像的2層小波分解w

44、name=sym5;lev=2; c,s=wavedec2(X,lev,wname); %圖像降噪聲THR,SORH,KEEPAPP=ddencmp(den,wv,Xnoise);Xdenoise,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(gbl,c,s,sym5,2,THR,SORH,KEEPAPP);%顯示處理后圖像subplot(223);imshow(Xdenoise);title(降噪圖像);采用小波降噪函數(shù)降噪的MATLAB仿真圖像如下：實驗二：軟硬閾值：利用sym4小波對圖像信號進行二層分解，使用wbmpen 函數(shù)選擇閾值，設(shè)置參數(shù)分別進行軟閾值和硬閾值的圖像仿真

45、，輸入的同樣是高斯白噪聲，但不同點的是該白噪聲主要集中在圖像的高頻部分，驗證圖片依然和上一個仿真一樣。程序如下：%載入原始圖片I=imread(huashitushuguan.jpg);nbc=size(I,1);X = im2double(I);%畫出原始圖像 subplot(221);imshow(X);title(原圖像); init=2055415866; randn(seed,init); x=X+randn(size(X)/10;subplot(222);imshow(x);title(高斯白噪聲圖像); % 使用 sym4 執(zhí)行圖像的2層小波分解wname=sym4;lev=2; c,l=wavedec2(x,lev,wname); sigma_s=0.054779;% 圖像降噪時，使用wbmpen 函數(shù)選擇閾值alpha=2; thr_s=wbmpen(c,l,sigma_s,alpha); % 使用軟閾值和保存的低頻信號，進行圖像降噪 keepapp=1; xds=wdencmp(gbl,x,wname,lev,thr_s,s,keepapp);subplot(223);imshow(xds);title(軟閾值降噪圖像); sigma_h=0.0