基于小波變換的數(shù)字圖像

1、 基于小波變換的數(shù)字圖像降噪處理摘要：圖像一般都會(huì)受到噪聲污染的影響，由于噪聲影響圖像的輸入、輸出等環(huán)節(jié)，使得圖像分辨率下降，同時(shí)破壞了圖像的精細(xì)結(jié)構(gòu)，給圖像的后續(xù)處理帶來(lái)不便，因此如何有效地抑制噪聲已成為圖像處理的首要任務(wù)。圖像降噪是為了提高圖像的信噪比，突出圖像的期望特征。傳統(tǒng)的濾除噪聲的方法難題就是如何兼顧降低圖像噪聲和保留圖像細(xì)節(jié)兩個(gè)方面。將圖像的高頻成分濾掉的低通濾波方法，雖然可以有效地濾除噪聲但是高頻分量衰減得越多，圖像就越模糊。而小波變換技術(shù)具有可進(jìn)行時(shí)域和頻域的局部分析、靈活地對(duì)信號(hào)局部的奇異特征進(jìn)行提取和時(shí)變?yōu)V波等特點(diǎn)1，優(yōu)于傅立葉變換，能有效地處理信號(hào)，把真實(shí)的信號(hào)和噪聲區(qū)

2、分開(kāi)來(lái)，所以它被普遍用于信號(hào)與圖像處理。 本文結(jié)合了MATLAB進(jìn)行了小波閾值圖像處理，MATLAB是一種高效的工程計(jì)算語(yǔ)言，在數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)處理、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等方面都有廣泛的應(yīng)用。同時(shí)本文既概述了小波閾值去噪原理也對(duì)圖像處理后的結(jié)果進(jìn)行了定性分析。關(guān)鍵詞：噪聲污染 信噪比 濾波 小波變換 MATALAB AbstractImages are generally affected by noise pollution, because of the influence of noise of image input, output, makes the image resolu

3、tion to drop, at the same time destroyed the image of the fine structure, causing inconvenience to the subsequent processing of the image, so how to effectively suppress noise has become the primary task of image processing. Image noise reduction is in order to improve the SNR of image, highlight th

4、e desired features of the image. The traditional method of noise filtering problem is how to reduce the image noise and image details two aspects. The image of the high frequency component filter out low pass filtering method, although can effectively filter out noise. But the more high frequency at

5、tenuation, image is blurred. And wavelet transform technology for local analysis of time domain and frequency domain, the flexibility to singular characteristics of local signal extraction and time-varying filtering etc1 . is superior to the Fourier transform, the signal can be effectively dealt wit

6、h, to distinguish the real signal and noise, so it is widely used in signal and image processing. This paper combines MATLAB wavelet threshold image processing, MATLAB language is a kind of efficient engineering calculation, the numerical calculation, data processing, image processing, neural networ

7、k and wavelet analysis has a wide range of applications. At the same time, this article summarizes the wavelet threshold denoising both principle and the results of image processing after carried on the qualitative analysis.Keywords：Noise pollution Signal to noise ratio The filter The wavelet transf

8、ormation MATALAB 目 錄第一章 引言5第二章 圖像與噪聲62.1 噪聲圖像模型及噪聲特性62.1.1 含噪模型62.1.2 噪聲特性82.2 圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)92.2.1 主觀評(píng)價(jià)92.2.2 客觀評(píng)價(jià)9第三章 圖像去噪方法11 3.1 傳統(tǒng)去噪方法11 3.2 小波去噪143.2.1 小波去噪原理143.2.2小波去噪算法143.2.3 小波去噪的優(yōu)缺點(diǎn)15第四章 小波變換理論基礎(chǔ)154.1 從傅里葉變換到小波變換154.2 小波理論的基本概念164.2.1 連續(xù)小波變換164.2.2 離散小波變換18第五章 小波閾值去噪及MATLAB仿真205.1 小波閾值去噪概述205.1

9、.1小波閾值去噪方法215.1.2 基于小波變換的圖像分解與重構(gòu)225.2基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡(jiǎn)介235.3 利用小波去噪函數(shù)去除給定圖像中的噪聲24第六章 總結(jié)與展望28參考文獻(xiàn)29第一章 引言 圖像在生成和傳輸過(guò)程中常常因受到各種噪聲的干擾和影響而使圖像降質(zhì)，這對(duì)后續(xù)圖像的處理(如分割、壓縮和圖像理解等)將產(chǎn)生不利影響。噪聲種類很多，如：電噪聲、機(jī)械噪聲、信道噪聲和其他噪聲。在圖像處理中，圖像去噪是一個(gè)永恒的主題，為了抑制噪聲，改善圖像質(zhì)量，便于更高層次的處理，必須對(duì)圖像進(jìn)行去噪預(yù)處理。 計(jì)算機(jī)圖像處理主要采取兩大類方法：一是在空間域中的處理，即在圖像空間中對(duì)圖像進(jìn)行各種處理；另

10、一類是把空間域中的圖像經(jīng)過(guò)正交變換到頻域，在頻域里進(jìn)行各種處理然后反變換到空間域，形成處理后的圖像。人們也根據(jù)實(shí)際圖像的特點(diǎn)、噪聲的統(tǒng)計(jì)特征和頻譜分布的規(guī)律，發(fā)展了各式各樣的去噪方法。其中最為直觀的方法，是根據(jù)噪聲能量一般集中于高頻而圖像頻譜則分布于一個(gè)有限區(qū)間的這一特點(diǎn)，采用低通濾波方式來(lái)進(jìn)行去噪，或?qū)D像進(jìn)行平滑處理等，這屬于第一類圖像處理方法。還有就是在頻域進(jìn)行處理，如：傅立葉變換、小波基變換。 近年來(lái)，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，而且由于其具備良好的時(shí)頻特性，實(shí)際應(yīng)用也非常廣泛。其中圖像的小波閾值去噪方法可以說(shuō)是眾多圖像去噪方法的佼佼者?；舅枷刖褪抢脠D像小波分解后，各個(gè)子帶圖像的

11、不同特性選取不同的閾值，從而達(dá)到較好的去噪目的。而且，小波變換本身是一種非線形變換，而國(guó)內(nèi)外的研究大多集中在如何選取一個(gè)合適的全局閾值，通過(guò)處理低于該閾值的小波系數(shù)同時(shí)保持其余小波系數(shù)值不變的方法來(lái)降噪，因而大多數(shù)方法對(duì)于類似于高斯噪聲的效果較好，但對(duì)于混有脈沖噪聲的混合噪聲的情形處理效果并不理想。線形運(yùn)算往往還會(huì)造成邊緣模糊，小波分析技術(shù)正因其獨(dú)特的時(shí)頻局部化特性在圖像信號(hào)和噪聲信號(hào)的區(qū)分以及有效去除噪聲并保留有用信息等方面較之傳統(tǒng)的去噪具有明顯的優(yōu)勢(shì)，且在去噪的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了圖像一定程度的壓縮和邊緣特征的提取。所以小波去噪具有無(wú)可比擬的優(yōu)越性。小波去噪主要優(yōu)點(diǎn)有： （1） 低熵性，小波系數(shù)的稀

12、疏分布，使得圖象變換后的熵降低； （2） 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻畫(huà)信號(hào)的非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等； （3） 去相關(guān)性， 因?yàn)樾〔ㄗ儞Q可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢(shì)， 所以小波域比時(shí)域更利于去噪； （4） 選基靈活性，由于小波變換可以靈活選擇變換基， 從而對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)合、不同的研究對(duì)象，可以選用不同的小波函數(shù)，以獲得最佳的效果2。 第二章 圖像與噪聲2.1 圖像噪聲模型及噪聲特性2.1.1 圖像噪聲模型 實(shí)際獲得的圖像含有的噪聲，根據(jù)不同分類可將噪聲進(jìn)行不同的分類。從噪聲的概率分布情況來(lái)看，可分為高斯噪聲、瑞利噪聲、伽馬噪聲、指數(shù)噪聲和均勻

13、噪聲。（1） 高斯噪聲由于高斯噪聲在空間和頻域中數(shù)學(xué)上的易處理性，這種噪聲(也稱為正態(tài)噪聲)模型經(jīng)常被用于實(shí)踐中。事實(shí)上，這種易處理性非常方便，使高斯模型經(jīng)常用于臨界情況下 。高斯隨機(jī)變量z的概率密度函數(shù)由下式給出： （2.1） 其中z表示灰度值，表示z的平均值或期望值，表示z的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的平方2稱為z的方差。當(dāng)z服從式（2.1）的分布時(shí)候，其值有70落在(-),(+)內(nèi)，且有95落在(-2),( +2)范圍內(nèi)。（2） 瑞利噪聲瑞利噪聲的概率密度函數(shù)由下式給出： （2.2）概率密度的均值和方差由下式給出： （2.3）（3） 伽馬(愛(ài)爾蘭)噪聲伽馬噪聲的概率密度函數(shù)由下式給出： （2.4）其

14、中，a0，b為正整數(shù)且“!”表示階乘。其密度的均值和方差由下式給出： （2.5）盡管式(2.4)經(jīng)常被用來(lái)表示伽馬密度，嚴(yán)格地說(shuō)，只有當(dāng)分母為伽馬函數(shù)(b)時(shí)才是正確的。當(dāng)分母如表達(dá)式所示時(shí)，該密度近似稱為愛(ài)爾蘭密度。（4） 指數(shù)分布噪聲指數(shù)噪聲的概率密度函數(shù)可由下式給出： （2.6）其中a0。概率密度函數(shù)的期望值和方差是： （2.7）（5）均勻噪聲分布均勻噪聲分布的概率密度函數(shù)，由下式給出： （2.8）概率密度函數(shù)的期望值和方差可由下式給出： （2.9）（6）脈沖噪聲（椒鹽噪聲）(雙極)脈沖噪聲的PDF可由下式給出： （2.10）如果ba，灰度值b在圖像中將顯示為一個(gè)亮點(diǎn)，相反，a的值將顯示

15、為一個(gè)暗點(diǎn)。若Pa或Pb為零，則脈沖噪聲稱為單極脈沖。如果Pa和Pb均不可能為零，尤其是它們近似相等時(shí)，脈沖噪聲值將類似于隨機(jī)分布在圖像上的胡椒和鹽粉微粒。由于這個(gè)原因，雙極脈沖噪聲也稱為椒鹽噪聲。同時(shí)，它們有時(shí)也稱為散粒和尖峰噪聲。噪聲脈沖可以是正的，也可以是負(fù)的。標(biāo)定通常是圖像數(shù)字化過(guò)程的一部分。因?yàn)槊}沖干擾通常與圖像信號(hào)的強(qiáng)度相比較大，因此，在一幅圖像中，脈沖噪聲總是數(shù)字化為最大值(純黑或純白)。這樣，通常假設(shè)a，b是飽和值,從某種意義上看，在數(shù)字化圖像中，它們等于所允許的最大值和最小值。由于這一結(jié)果，負(fù)脈沖以一個(gè)黑點(diǎn)(胡椒點(diǎn))出現(xiàn)在圖像中。由于相同的原因，正脈沖以白點(diǎn)(鹽點(diǎn))出現(xiàn)在圖像

16、中。對(duì)于一個(gè)8位圖像，這意味著a=0(黑)，b=255(白)。2.1.2 噪聲特性所謂噪聲，就是指妨礙人的視覺(jué)或相關(guān)傳感器對(duì)圖像信息進(jìn)行理解或分析的各種因素。通常噪聲是不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)信號(hào)。由于噪聲影響圖像的輸入、采集、處理以及輸出的各個(gè)環(huán)節(jié)，尤其是圖像輸入、采集中的噪聲必然影響圖像處理全過(guò)程乃至最終結(jié)果，因此抑制噪聲已成為圖像處理中極其重要的一個(gè)步驟。圖像噪聲一般具有以下特點(diǎn)：(1) 噪聲在圖像中的分布和大小不規(guī)則，即具有隨機(jī)性。(2) 噪聲與圖像之間一般具有相關(guān)性。例如，攝像機(jī)的信號(hào)和噪聲相關(guān)，黑暗部分噪聲大，明亮部分噪聲小。又如，數(shù)字圖像中的量化噪聲與圖像相位相關(guān)，圖像內(nèi)容接近平坦時(shí)，量化

17、噪聲呈現(xiàn)偽輪廓，但圖像中的隨機(jī)噪聲會(huì)因?yàn)轭澰胄?yīng)反而使量化噪聲變得不很明顯。使用光導(dǎo)攝象管的攝像機(jī)，信號(hào)幅度和噪聲幅度無(wú)關(guān)。而使用超正析攝像機(jī)的信號(hào)和噪聲相關(guān)，黑暗部分噪聲大，明亮部分噪聲小，在數(shù)字圖像處理技術(shù)中量化噪聲是肯定存在的，它和圖像相位有關(guān)，如圖像內(nèi)容接近平坦時(shí)，量化噪聲呈現(xiàn)偽輪廓，但在此時(shí)圖像信號(hào)中的隨機(jī)噪聲就會(huì)因?yàn)轭澰胄?yīng)反而使量化噪聲變得不那么明顯。(3) 噪聲具有疊加性。在串聯(lián)圖像傳輸系統(tǒng)中，各部分竄入噪聲若是同類噪聲可以進(jìn)行功率相加，依次信噪比要下降。若不是同類噪聲應(yīng)區(qū)別對(duì)待，而且要考慮視覺(jué)檢出特性的影響。但是因?yàn)橐曈X(jué)檢出特性中的許多問(wèn)題還沒(méi)有研究清楚，所以也只能進(jìn)行一些主

18、觀的評(píng)價(jià)試驗(yàn)。32.2 圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià) 如何評(píng)價(jià)一個(gè)圖像經(jīng)過(guò)去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量，對(duì)于我們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義?，F(xiàn)有的評(píng)價(jià)方法一般分為主觀和客觀兩種。2.2.1 主觀評(píng)價(jià) 主觀評(píng)價(jià)通常有兩種:一種是作為觀察者的主觀評(píng)價(jià)，這是由選定的一組人對(duì)圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別給出其對(duì)所觀察的圖像的質(zhì)量作好或壞的評(píng)價(jià)，再綜合全組人的意見(jiàn)給出一個(gè)綜合結(jié)論。它只是一種定性的方法，沒(méi)有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。另一種是隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以用模糊綜合評(píng)判方法來(lái)盡量減少主觀因素的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像質(zhì)量近似定量的評(píng)價(jià)，不過(guò)它仍然沒(méi)有完全消除主觀不確

19、定性的影響，其定量計(jì)算公式中的參數(shù)往往要依賴專家經(jīng)驗(yàn)確定。2.2.2 客觀評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)方法是根據(jù)人眼的主觀視覺(jué)系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)具體的公式計(jì)算圖像的質(zhì)量。傳統(tǒng)的圖像質(zhì)量客觀評(píng)價(jià)方法主要包括均方誤差（MSE，mean squared error）和峰值信噪比（PSNR，peak signal to noise rate）。均方誤差法首先計(jì)算原始圖像和失真圖像象素差值的均方值，然后通過(guò)均方值的大小來(lái)確定失真圖像的失真程度。計(jì)算公式如下： 其中 M、N為圖像的長(zhǎng)和寬， 表示原始圖像的象素值，表示降質(zhì)后圖像的象素值。PSNR作為衡量圖像質(zhì)量的重要指標(biāo)，基于通信理論而提出，是最大信號(hào)量與

20、噪聲強(qiáng)度的比值。由于數(shù)字圖像都是以離散的數(shù)字表示圖像的像素，因此采用圖像的最大象素值來(lái)代替最大信號(hào)量。具體公式如下： 其中 L 為圖像中像素的最大灰度值，一般采用 255。 上述方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、嚴(yán)格，計(jì)算簡(jiǎn)單，而且可以直接應(yīng)用于依據(jù)“MSE 最小”原則設(shè)計(jì)的圖像系統(tǒng)。因此，這類方法成為應(yīng)用最廣泛的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)手段。但它的缺點(diǎn)也是顯而易見(jiàn)的。文獻(xiàn)6具體分析了 MSE 性能不穩(wěn)定的原因，并指出這一缺點(diǎn)是方法本身的缺陷，無(wú)法克服。PSNR 只在評(píng)價(jià)白噪聲失真圖像時(shí)效果良好,而在其它領(lǐng)域也會(huì)出現(xiàn)如 MSE 一樣的不穩(wěn)定現(xiàn)象，文獻(xiàn)7對(duì)此進(jìn)行了深入分析。 對(duì)圖像質(zhì)量進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)時(shí)，根據(jù)對(duì)原始無(wú)失真圖像依

21、賴程度的不同，可將圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)算法分成三類：全參考（Full Reference, FR）圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)、半?yún)⒖迹≧educed Reference, RR）圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)和無(wú)參考（No Reference, NR）圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)。全參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)主要是將失真圖像和參考圖像逐像素進(jìn)行比較，得出對(duì)失真圖像的評(píng)價(jià)；半?yún)⒖嫉膱D像質(zhì)量評(píng)價(jià)是從原始圖像和失真圖像中分別提取圖像的有效特征，如圖像的梯度和直方圖，通過(guò)對(duì)有效特征進(jìn)行比較，得出對(duì)失真圖像的評(píng)價(jià)；無(wú)參考的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)則無(wú)需任何參考圖像的信息，直接提取失真圖像的某些失真因素特征，如圖像的邊界強(qiáng)度、噪聲率、模糊度等，給出失真圖像的客觀質(zhì)量評(píng)價(jià)。 第

22、三章 圖像去噪方法 對(duì)隨時(shí)間變化的信號(hào)，通常采用兩種最基本的描述形式，即時(shí)域和頻域。時(shí)域描述信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化，頻域描述在一定時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的頻率分布。對(duì)應(yīng)的圖像的去噪處理方法基本上可分為空間域法和變換域法兩大類。前者即是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對(duì)像素的灰度值進(jìn)行處理。變換域法是在圖像的變換域上進(jìn)行處理，對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理，然后進(jìn)行反變換達(dá)到圖像去噪的目的。3.1 傳統(tǒng)去噪方法1、 均值濾波均值濾波器是一種消除圖像噪聲的線性處理方法。這種方法的基本思想是用幾個(gè)像素灰度的平均值來(lái)代替每個(gè)像素的灰度。均值濾波是典型的線性濾波算法，它是指在圖像上對(duì)目標(biāo)像素給一個(gè)模板，該模板包括了其周

23、圍的臨近像素（以目標(biāo)象素為中心的周圍8個(gè)象素，構(gòu)成一個(gè)濾波模板，即去掉目標(biāo)象素本身）。再用模板中的全體像素的平均值來(lái)代替原來(lái)像素值。均值濾波采用的主要方法為領(lǐng)域平均法。線性濾波的基本原理是用均值代替原圖像中的各個(gè)像素值，即對(duì)待處理的當(dāng)前像素點(diǎn)（x，y），選擇一個(gè)模板，該模板由其近鄰的若干像素組成，求模板中所有像素的均值，再把該均值賦予當(dāng)前像素點(diǎn)（x，y），作為處理后圖像在該點(diǎn)上的灰度個(gè)g（x，y），即均值濾波的公式： g（x，y）=1/m f（x，y） m為該模板中包含當(dāng)前像素在內(nèi)的像素總個(gè)數(shù)。 均值濾波的性能：均值濾波器是一種典型的線性去噪方法，因?yàn)槠溥\(yùn)算簡(jiǎn)單快速，同時(shí)又能夠較為有效地去除高

24、斯噪聲。因而適用面較廣，至今仍是一種常用的去噪方法， 許多濾除噪聲方法都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)。其缺點(diǎn)是嚴(yán)重破壞了圖像的邊緣，模糊了圖像。2、 中值濾波中值濾波是常用的非線性濾波方法，也是圖像處理技術(shù)中最常用的預(yù)處理技術(shù)。它在平滑脈沖噪聲方面非常有效，同時(shí)它可以保護(hù)圖像尖銳的邊緣。標(biāo)準(zhǔn)中值濾波算法是將窗口內(nèi)所有像素值比較其大小后，依次排列，然后取其中值置換窗口中心像素值。以鄰域?yàn)?*3的中值濾波為例，g(x,y)與9個(gè)像素點(diǎn)的灰度值有關(guān)，即f(x-1,y-1)，f(x-1,y) ，f(x-1,y+1)，f(x,y-1)，f(x,y)，f(x,y+1)， f(x+1,y-1)， f(x+1,y)

25、，f(x+1,y+1) 。g(x,y)取這9個(gè)數(shù)中大小排第5位的那個(gè)值。假設(shè)這9個(gè)值分別為（10,20,20,20,15,20,20,25,100 ），經(jīng)過(guò)排序后為（10,15,20,20,20,20,20,25,100 ）所以結(jié)果為排行第5的那個(gè)數(shù)20 ，就把這個(gè)數(shù)賦給g(x,y)。濾除噪聲的性能：中值濾波是非線性運(yùn)算，因此對(duì)隨機(jī)性質(zhì)的噪聲輸入，數(shù)學(xué)分析是相當(dāng)復(fù)雜的。對(duì)于零均值正態(tài)分布的噪聲輸入，中值濾波輸出與輸入噪聲的分布密度有關(guān)，輸出噪聲方差與輸入噪聲密度函數(shù)的平方成反比。對(duì)隨機(jī)噪聲的抑制能力，中值濾波比均值濾波要差些。但對(duì)于脈沖干擾來(lái)講，特別是脈沖寬度小于濾波窗口長(zhǎng)度之半，相距較遠(yuǎn)的窄

26、脈沖，中值濾波是很有效的。3、 維納濾波 維納濾波就是用來(lái)解決從噪聲中提取信號(hào)問(wèn)題的一種過(guò)濾(或?yàn)V波)方法。它基于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模型，且假設(shè)退化模型為線性空間不變系統(tǒng)的。實(shí)際上這種線性濾波問(wèn)題，可以看成是一種估計(jì)問(wèn)題或一種線性估計(jì)問(wèn)題?；镜木S納濾波是根據(jù)全部過(guò)去的和當(dāng)前的觀察數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或單位樣本響應(yīng)的形式給出的，因此更常稱這種系統(tǒng)為最佳線性過(guò)濾器或?yàn)V波器。設(shè)計(jì)維納濾波器的過(guò)程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位樣本響應(yīng)或傳遞函數(shù)的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)是解維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程?；揪S納濾波器是這樣的，有兩個(gè)信號(hào)x(k)

27、和y(k)同時(shí)加在濾波器上。典型地y(k)包含一個(gè)與x(k)相關(guān)地分量和另一個(gè)與x(k)不相關(guān)地分量。維納濾波器則產(chǎn)生y(k)中與x(k)相關(guān)分量地最優(yōu)估計(jì)，再?gòu)膟(k)中減去它就得到e(k)。假定一個(gè)N個(gè)系數(shù)（權(quán)值）的FIR濾波器的結(jié)構(gòu)，維納濾波和原始信號(hào)y(k)之間的差信號(hào)e(k)為： 其中和w分別為輸入信號(hào)矢量和權(quán)矢量，由下式確定： 誤差平方為： 對(duì)上式兩邊取期望得到均方誤差(MSE) ，若輸入x(k)與輸出y(k)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則： 其中代表期望，是的方差，是長(zhǎng)度為N地互相關(guān)矢量，是NN的自相關(guān)矩陣。一個(gè)MSE濾波系數(shù)的圖形是碗形地，且只有唯一地底部，這個(gè)圖稱為性能曲面，它是非負(fù)的。維

28、納濾波的實(shí)際用途有限，因?yàn)椋海?） 它需要已知自相關(guān)矩陣R和互相關(guān)矢量P，這兩個(gè)量通常是未知的。（2） 它包含了矩陣的求逆，非常的耗時(shí)。（3） 若信號(hào)為非平穩(wěn)的，則R和P是時(shí)變的，導(dǎo)致必需重復(fù)計(jì)算。對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用需要一種能夠依次加入地抽樣點(diǎn)而得到的算法。自適應(yīng)算法就就是用于達(dá)到這個(gè)目的，而且不需顯式計(jì)算R和P或進(jìn)行矩陣求逆4。 3.2 小波去噪 近年來(lái)，小波理論取得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了

29、非常好的效果。3.2.1 小波去噪原理小波變換濾去噪聲，就是利用信號(hào)與噪聲的李普西茲指數(shù)在局部奇異處呈現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。一般地，白噪聲的李氏指數(shù)0。從式（4.2.1）可以得出，連續(xù)小波變換計(jì)算分以下5個(gè)步驟進(jìn)行。 選定一個(gè)小波，并與處在分析時(shí)段部分的信號(hào)相比較。 計(jì)算該時(shí)刻的連續(xù)小波變換系數(shù)C。如圖4.1所示，C表示了該小波與處在分析時(shí)段內(nèi)的信號(hào)波形相似程度。C愈大，表示兩者的波形相似程度愈高。小波變換系數(shù)依賴于所選擇的小波。因此，為了檢測(cè)某些特定波形的信號(hào)，應(yīng)該選擇波形相近的小波進(jìn)行分析。小波變換的系數(shù)表示了小波與處在分析時(shí)段內(nèi)的信號(hào)的波形近似程度WaveletC=0.0102Sign

30、al圖4.1 計(jì)算小波變換系數(shù)示意圖 如圖4.2所示，調(diào)整參數(shù)b，調(diào)整信號(hào)的分析時(shí)間段，向右平移小波，重復(fù)步驟，直到分析時(shí)段已經(jīng)覆蓋了信號(hào)的整個(gè)支撐區(qū)間。 調(diào)整參數(shù)a，尺度伸縮，重復(fù)步驟。 重復(fù)步驟，計(jì)算完所有的尺度的連續(xù)小波變換系數(shù)，如圖4.3所示。WaveletWaveletC=0.2247SignalSignal 圖4.2 不同分析時(shí)段下的 圖4.3 不同尺度下的信號(hào)小波變換系數(shù)計(jì)算 信號(hào)小波變換系數(shù)計(jì)算 由小波變換的定義式（4.2.1），有其中，并設(shè)f (t)=f (kt)，t(k,k+1)，則 （4.2.2）式（4.2.2）可以通過(guò)以上5步來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以用快速卷積運(yùn)算來(lái)完成。卷積運(yùn)算

31、既可以在時(shí)域完成，也可以通過(guò)FFT來(lái)完成。4.2.2 離散小波變換 對(duì)于連續(xù)小波而言，尺度a、時(shí)間t和與時(shí)間有關(guān)的偏移量都是連續(xù)的。如果利用計(jì)算機(jī)計(jì)算，就必須對(duì)它們進(jìn)行離散化處理，得到離散小波變換。為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù)的a、限定在一些離散的點(diǎn)上取值。離散小波變換要經(jīng)過(guò)：尺度離散化、位移的離散化、求取、小波框架的定義。1. 尺度離散化：一種最通常的離散方法就是將尺度按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取（為整數(shù)，一般取）。如果采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，則尺度的離散取值如圖3.1所示。圖3.1 尺度與位移離散方法2. 位移的離散化：當(dāng)時(shí)，。 （1）通常對(duì)進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸。 （2）

32、要求采樣間隔滿足采樣定理，即采樣頻率大于該尺度下頻率通帶的2倍。 3.求取當(dāng)增加1時(shí)，尺度增加一倍，對(duì)應(yīng)的頻帶減小一半，可見(jiàn)采樣頻率可以降低一半，即采樣間隔可以增大一倍。因此，如果尺度時(shí)的間隔為，則在尺度為時(shí)，間隔可取。此時(shí)可表示為 為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，往往把軸用歸一化，這樣上式就變?yōu)?4、 小波框架的定義 當(dāng)由基本小波經(jīng)伸縮和位移引出的函數(shù)族； ，具有下述性質(zhì)時(shí)： 便稱構(gòu)成了一個(gè)小波框架，稱上式為小波框架條件，其頻域表示為 小波框架具有如下的性質(zhì)5：1）滿足小波框架條件的，其基本小波必定滿足容許性條件。但是并不是滿足容許性條件的小波，在任意離散間隔及尺度基數(shù)下都滿足小波框架的條件。2）小波函數(shù)的對(duì)偶

33、函數(shù)也構(gòu)成一個(gè)框架，其框架的上、下界是框架上、下界的倒數(shù)： 3）離散小波變換具有非伸縮和時(shí)移共變性。4）離散小波變換仍然具有冗余度。 第五章 小波閾值去噪及MATLAB仿真5.1 小波閾值去噪概述 小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪、利用小波變換模極大值的方法去噪、利用信號(hào)小波變換后空域相關(guān)性進(jìn)行信噪分離、非線性小波閾值方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。歸結(jié)起來(lái)主要有三類:模極大值檢測(cè)法、閾值去噪法和屏蔽(相關(guān))去噪法。其中最常用的就是閾值法去噪，本文主要研究閾值去噪。 1992年，斯坦福大學(xué)的Donoho和Johnstone教授提出一種具有良好的統(tǒng)計(jì)優(yōu)

34、化特性的去噪方法，稱作“WaveletShrinkage”（即閾值收縮法）。 該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計(jì)特性：圖像本身的能量對(duì)應(yīng)著幅值較大的小波系數(shù),主要集中在高頻（LL）；噪聲能量則對(duì)應(yīng)著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。根據(jù)該特征，設(shè)置一個(gè)閾值門(mén)限，認(rèn)為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成份為有用的信號(hào)，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成份為噪聲，予以剔除，這樣就可以達(dá)到去噪的目的。 去噪時(shí)，通常認(rèn)為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對(duì)剩余三個(gè)高通部分進(jìn)行處理。因此，一次閾值去噪并不能完全去除噪聲，還需要對(duì)未作處理的低頻部分

35、（LL）再次進(jìn)行小波分解和閾值去噪，直到實(shí)際圖像與估計(jì)圖像的偏差達(dá)到最小值。 但是隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來(lái)越少，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。一般來(lái)說(shuō)，進(jìn)行3-4層小波分解和去噪就可以達(dá)到滿意的去噪效果。5.1.1小波閾值去噪方法 Donoho提出的小波閾值去噪方法的基本思想是當(dāng)wj,k小于某個(gè)臨界閾值時(shí)，認(rèn)為這時(shí)的小波系數(shù)主要是由噪聲引起的，予以舍棄。當(dāng)wj,k大于這個(gè)臨界閾值時(shí)，認(rèn)為這時(shí)的小波系數(shù)主要是由信號(hào)引起，那么就把這一部分的wj,k直接保留下來(lái)(硬閾值方法)，或者按某一個(gè)固定量向零收縮(軟閾值方法)，然后用新的小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)得到去噪后的信號(hào)。小

36、波閾值降噪的基本思路是：（1）先對(duì)含噪信號(hào)f(k)做小波變換，得到一組小波系數(shù)。（2）通過(guò)對(duì)進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)系數(shù)，使得與兩者的差值盡可能小。（3）利用估計(jì)小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號(hào)了，即為去噪之后的信號(hào)。小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲；相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對(duì)于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 (4)閾值函數(shù)關(guān)系著重構(gòu)信號(hào)的連續(xù)性和精度，對(duì)小波去噪的效果有很大影響5。 目前，閾值的選擇主要分硬閾值和軟閾值兩種處理方式。其中，軟閾值處理是將信號(hào)的絕對(duì)值與閾值進(jìn)行比較

37、，當(dāng)數(shù)據(jù)的絕對(duì)值小于或等于閾值時(shí)，令其為零;大于閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)則向零收縮，變?yōu)樵擖c(diǎn)值與閾值之差。而硬閾值處理是將信號(hào)的絕對(duì)值閾值進(jìn)行比較，小于或等于閾值的點(diǎn)變?yōu)榱?，大于閾值的點(diǎn)不變。但硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性使消噪后的信號(hào)仍然含有明顯的噪聲;采用軟閾值方法雖然連續(xù)性好，但估計(jì)小波系數(shù)與含噪信號(hào)的小波系數(shù)之間存在恒定的偏差，當(dāng)噪聲信號(hào)很不規(guī)則時(shí)顯得過(guò)于光滑。5.1.2 基于小波變換的圖像分解與重構(gòu)二維離散小波主要解決二維多分辨率分析問(wèn)題，如一幅二維離散圖像c(m,n) ,二小波可以將它分解為各層各個(gè)分辨率上的近似分量cAj，水平方向細(xì)節(jié)分量 cHj，垂直方向細(xì)節(jié)分量cVj，對(duì)角線方向細(xì)節(jié)分量cDj，其

38、二層小波圖像分解過(guò)程如圖 4-1 所示：圖4-1 小波圖像分解過(guò)程 圖4-2 小波圖像分解過(guò)程其二層小波圖像重構(gòu)過(guò)程正好與此相反如圖4-2所示，基于小波變換的圖像處理，是通過(guò)對(duì)圖像分解過(guò)程中所產(chǎn)生的近似分量與細(xì)節(jié)分量系數(shù)的調(diào)整，使重構(gòu)圖像滿足特定條件，而實(shí)現(xiàn)圖像處理。5.2基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡(jiǎn)介 小波閾值降噪法就是對(duì)小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計(jì)方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出

39、現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺(jué)失真等現(xiàn)象：而軟閾值處理相對(duì)較光滑，但可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲：相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對(duì)于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。MATLAB中實(shí)現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方面6。1、閾值獲取MATLAB中實(shí)現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有ddencmp、select、wbmpen和wdcbm2。這里主要使用函數(shù)ddencmp。函數(shù)ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認(rèn)值。該函數(shù)是降噪和壓縮的

40、導(dǎo)向函數(shù)，它給出一維或二維信號(hào)使用小波或小波包進(jìn)行降噪和壓縮一般過(guò)程的所有默認(rèn)值。其語(yǔ)法格式為：THR,SORH,KEEPAPP,CRIT=ddencmp(IN1,IN2,X)THR,SORH,KEEPAPP=ddencmp(IN1,wv,X)THR,SORH,KEEPAPP,CRIT=ddencmp(IN1,wp,X)2 、閾值降噪MATLAB中實(shí)現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有wden、wdencmp、wpdencmp、wthresh、wpthcoef和wthcoef2。這里主要介紹函數(shù)wdencmp。其語(yǔ)法格式為:XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(gb1,X,wname,

41、N,THR,SORH,KEEPAPP）XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(lvd,X,wname,N,THR,SORH)XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(lvd,C,L,wname,N,THR,SORH)函數(shù)wdencmp的功能是使用小波進(jìn)行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪的導(dǎo)向函數(shù)。它使用小波對(duì)信號(hào)或圖像執(zhí)行降噪過(guò)程。wname是所用的小波函數(shù)。gbl（global）表示每層都采用同一個(gè)閾值進(jìn)行處理。lvd表示每層用不同的閾值進(jìn)行處理。N表示小波分解的層數(shù)。THR為閾值向量，長(zhǎng)度為N。SORH表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為s和h）。參數(shù)

42、KEEPAPP取值為1是，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值量化。XC是降噪后的信號(hào)，CXC,LXC是XC的小波分解結(jié)構(gòu)，PHRF0和PERFL2是恢復(fù)和壓縮L2的范數(shù)百分比。如果C，L是x的小波分解結(jié)構(gòu)，則PERFL2=100（CXC向量的范數(shù)/C向量的范數(shù)）7。5.3 利用小波去噪函數(shù)去除給定圖像中的噪聲 下面分別采用小波降噪函數(shù)降噪和軟硬閾值進(jìn)行降噪，用MATLAB分別進(jìn)行仿真，輸入的都是高斯白噪聲，采用自己拍攝的華南師范大學(xué)的圖書(shū)館作為驗(yàn)證圖片。實(shí)驗(yàn)一、 小波降噪函數(shù)降噪：利用sym5小波對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行二層分解，再接著利用ddencmp函數(shù)來(lái)計(jì)算去噪的默認(rèn)閾值和熵標(biāo)準(zhǔn)

43、，用wdencmp函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮，使用這兩個(gè)函數(shù)實(shí)現(xiàn)圖像的去噪，程序如下：%載入原始圖片I=imread(huashitushuguan.jpg);nbc=size(I,1);X = im2double(I);% 產(chǎn)生噪聲圖像 init=3718025452; randn(seed,init); Xnoise=X+randn(size(X)/10;%顯示原始圖像%colormap(map);subplot(221);imshow(X);title(原始圖像);subplot(222);imshow(Xnoise);title(高斯白噪聲圖像);% 使用 sym5 執(zhí)行圖像的2層小波分解w

44、name=sym5;lev=2; c,s=wavedec2(X,lev,wname); %圖像降噪聲THR,SORH,KEEPAPP=ddencmp(den,wv,Xnoise);Xdenoise,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(gbl,c,s,sym5,2,THR,SORH,KEEPAPP);%顯示處理后圖像subplot(223);imshow(Xdenoise);title(降噪圖像);采用小波降噪函數(shù)降噪的MATLAB仿真圖像如下：實(shí)驗(yàn)二：軟硬閾值：利用sym4小波對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行二層分解，使用wbmpen 函數(shù)選擇閾值，設(shè)置參數(shù)分別進(jìn)行軟閾值和硬閾值的圖像仿真

45、，輸入的同樣是高斯白噪聲，但不同點(diǎn)的是該白噪聲主要集中在圖像的高頻部分，驗(yàn)證圖片依然和上一個(gè)仿真一樣。程序如下：%載入原始圖片I=imread(huashitushuguan.jpg);nbc=size(I,1);X = im2double(I);%畫(huà)出原始圖像 subplot(221);imshow(X);title(原圖像); init=2055415866; randn(seed,init); x=X+randn(size(X)/10;subplot(222);imshow(x);title(高斯白噪聲圖像); % 使用 sym4 執(zhí)行圖像的2層小波分解wname=sym4;lev=2; c,l=wavedec2(x,lev,wname); sigma_s=0.054779;% 圖像降噪時(shí)，使用wbmpen 函數(shù)選擇閾值alpha=2; thr_s=wbmpen(c,l,sigma_s,alpha); % 使用軟閾值和保存的低頻信號(hào)，進(jìn)行圖像降噪 keepapp=1; xds=wdencmp(gbl,x,wname,lev,thr_s,s,keepapp);subplot(223);imshow(xds);title(軟閾值降噪圖像); sigma_h=0.0