微分幾何曲面的第一基本形式

1、第二節(jié)第二節(jié) 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式 1、 給出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲線 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r u (t) ,v (t) = r (t)，若 s 表示弧長有 所以 稱為曲面的第一基本形式。其中稱為第一類基本量。( )uvdudvr trrdtdt 或uvdrr dur dv2222222()22uvuuuvvvdsdrr dur dvrr durr dudvr r dvEduFdudvGdv vvvuuurrGrrFrrE,3、用顯函數(shù)樣 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式222222)1 (

2、2)1 (1,1., 1 , 0, 0 , 1),(,dyqpqdxdydxpqrrGpqrrFprrEyzqxzpqrpryxzyxryyyxxxyx4、第一基本形式是正定的。事實上，也可從 直接得到。. 0)(, 0, 0222222vuvuvuuurrrrFEGrGrrrE2ds 1、把兩個向 量 和 間的交角稱為方向（ ）和（ ）間的角。dvrdurdrvuvrurrvudvdu:vu:2、設(shè)兩方向的夾角為 ，則22222222)()(cosvGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdurdrvrurdvrdurrdrrdrvuvu3、特別 （1）（2）對于坐標曲線

3、的交角，有故坐標曲線正交的充要條件為 F = 0 。0)()()(vGdvudvvduFuEdudEGFrrrrrdrrdrvuvucos2、3 正交曲線簇和正交軌線 設(shè)有兩曲線 如果它們正交，則 或 即0),(),(,0vvuDuvuCBdvAdu0)(vGdvudvvduFuEdu0)(uvdudvGuvdudvFE0)(DCBAGDCBAFE 若另給出一簇曲線 則另一族與它正交的曲線稱為這曲線的正交軌線，它的微分方程 是 即 ,0 BdvAdu0)()(uvBAGuvBAFEAGBFAFBEuv2、4 曲面域的面積),( vuP),(vduu),(dvvu ),(dvvduudurudv

4、rv 如圖,用坐標曲線把曲面分成若干小塊,每塊的面積為DDvuDvuvududvFEGdudvrrddudvrrdvrdurd2其中 D 為相對應(yīng)的 u,v 平面上的區(qū)域，0)()(22222FEGrrrrrrvuvuvu從前面的講解中知道第一類基本量有關(guān)，都可以用第一類基本向量E、F、G 來表示，這類量非常重要，要知道定義定義 曲面上僅由第一類基本量表示的量稱為曲面的內(nèi)蘊量內(nèi)蘊量,曲面上僅由第一類基本量有關(guān)的性質(zhì)稱為曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)內(nèi)蘊性質(zhì)一個問題是什么樣的問題必須使不同的2、5 等距變換等距變換 1) 曲面 S 到 S1 的變換 給定兩曲面： S： S1：如果其對應(yīng)點的參數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)

5、系： ， 其中 連續(xù)，有連續(xù)的偏導數(shù)，且這種一一對應(yīng)關(guān)系稱為曲面 S 到 S1 的變換。),(vurr),(1111vurr),(11vuuu ),(11vuvv ),(),(11vuvvuu0),(),(11vuvu 由于這樣兩個曲面在對應(yīng)點就有相同的參數(shù)。并且在以后的討論中我們總假定在對應(yīng)點有相同的參數(shù)。),(),(),(),(:111111111vurvuvvuurvurrS2)等距變換：曲面間的一個變換，如果保持曲面上任意對應(yīng)曲線的長度不變，則這個變換稱為等距變換（保長變換）。定理：兩個曲面之間的一個變換是等距的充要條件是經(jīng)過適當?shù)膮?shù)選擇后，他們具有相同的第一基本形式。（內(nèi)蘊性質(zhì)）例

6、：證明平面和圓柱面等距分析只要找到一個參數(shù)變換使證：平面和圓柱面的22222,IdudvIR ddz平圓柱22222IR ddzdudvI平圓柱1uRzv作 其雅可比行列式不為零有2.6 保角變換定義 曲面之間的一個變換，如果使曲面上對應(yīng)曲線的交角相等，則這個變換稱為保角變換(保形變換)與等距變換一樣，下面假定曲面在對應(yīng)點有相同參數(shù)。什么樣的兩曲面保角呢？有下定理：定理：兩個曲面之間變換是保角變換的充要條件是第一基本形式成比例。充分性：設(shè)兩個曲面的第一基本形式為：由此可知即第一基本量成比例：22112.duFdudvG dv11IE111E : E = F : F = G : G .222.d

7、uFdudvGdvIE2( , ) , ( , )0,u vu v1I:du dvuv1對 和上任意兩方向和有22221112222111111()cos.22()cos.22coscosEdu uF du vdv uGdv vEduFdudvGdvE uF u vG vE du uF du vdv uG dv vE duFdudvG dvE uF u vG v 所以保角111111111111111()0,()0()()0,()()0,0,0Edu uF du vdv uGdv vE du uF du vdv uG dv vEduFdvuFduGdvvE duFdvuFduG dvvEduFdvFduGdvuvE duFdvFduG dvFGFEEduFGFE必要性“”：已知保角保正交有非零解取取dv111FGEFG 特別：等距變換是它的特例。定理：在局部范圍內(nèi)，任何曲面總可以和