高等數(shù)學電子教案課件

1、 高等數(shù)學精品教案 百通教育第三節(jié)第三節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù) 前面我們已經(jīng)研究了常數(shù)項級數(shù)，下面將繼續(xù)研究函數(shù)一一. .函數(shù)項級數(shù)的一般概念函數(shù)項級數(shù)的一般概念 設(shè)u1(x),u2(x),.un(x).都是定義在某一區(qū)間I上的函數(shù)序列,)(1xunn項級數(shù).這是比常數(shù)項級數(shù)具有更加廣泛意義的級數(shù)。則表達式u1(x)+u2(x)+.+un(x). (1) 稱為在I上的函數(shù)項級數(shù),記為 高等數(shù)學精品教案 百通教育 對于I上的任一定點x0,函數(shù)序列就成為數(shù)列,此時函數(shù)項級數(shù) u1(x)+u2(x)+.+ un(x). (1)就成為 u1(x0 )+u2(x0 )+.+un(x0 ). (2)這個級數(shù)(

2、2)就是常數(shù)項級數(shù) 對于I上的不同的點,就有不同的常數(shù)項級數(shù),所以函數(shù)項級數(shù)和常數(shù)項級數(shù)的關(guān)系是一般和特殊的關(guān)系.這樣我們可以把常數(shù)項級數(shù)的有關(guān)理論和審斂法的知識應(yīng)用到函數(shù)項級數(shù)中來. 高等數(shù)學精品教案 百通教育級數(shù)(2)可能收斂也可能發(fā)散.如果(2)收斂,我們稱點x0是函注意:I上的點若不是收斂點就是發(fā)散點,收斂域可能是區(qū)間,數(shù)項級數(shù)(1)的收斂點;如果(2)發(fā)散,我們稱點x0是函數(shù)項級數(shù)(1)的發(fā)散點 函數(shù)項級數(shù)(1)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域,所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域.也可能是孤立點,還可能是空集. 高等數(shù)學精品教案 百通教育對應(yīng)于收斂域內(nèi)的任意一個數(shù)x,函數(shù)項級數(shù)成為一收斂

3、).()(limxSxSnn我們?nèi)园裷n(x)=S(x)-Sn(x)叫做函數(shù)項級數(shù)的余項(當然,只有x在收斂域rn(x)才有意義),于是有.0)(limxrnn的常數(shù)項級數(shù),因而有一確定的和S.這樣在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)S(x),通常稱S(x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù),這函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域,寫成 S(x)= u1(x)+u2(x)+.+un(x). 把函數(shù)項級數(shù)(1)的前n項的部分和記作Sn(x),則在收斂域上有 高等數(shù)學精品教案 百通教育 判斷函數(shù)項級數(shù)的收斂性仍然和常數(shù)項級數(shù)一樣,有 (1)和函數(shù)極限的存在性. (2)比值判別法 (3)根值判別法 高等數(shù)學精品教案 百通

4、教育例1 討論下函數(shù)項級數(shù)的收斂域并求和函數(shù).(*).11211nnnxxxx解:函數(shù)項級數(shù)的定義域是(-,+) 當|x|1時,由公比為x的等比數(shù)列求和公式,可得到);(11)(lim,1|.11)(xSxxSxxxxSnnnn時當 高等數(shù)學精品教案 百通教育;(*),)(lim,1|發(fā)散級數(shù)不存在時當xSxnn都發(fā)散和常數(shù)項級數(shù)時當.1111.111,1|x在此區(qū)間上其和的收斂域為綜上可知),1 , 1(,11nnx;11)(xxS 高等數(shù)學精品教案 百通教育的收斂域111nnx利用比值判別法11111lim1111lim)()(limnnnnnnnnnxxxxxuxu比值判別法失效,但由例

5、2 討論函數(shù)項級數(shù)111lim1, 11nnnxxxx 高等數(shù)學精品教案 百通教育級數(shù)收斂,且絕對收斂|1|11lim11xxxxnnn11, 1, 111limxxxxnn不存在，知級數(shù)發(fā)散故收斂域為), 1 () 1,( 高等數(shù)學精品教案 百通教育二二 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性 函數(shù)項級數(shù)是比較復(fù)雜的,這是因為它的每一項都是比)3.(.2210nnxaxaxaa其中常數(shù)a0,a1,a2,.an.叫做冪級數(shù)的系數(shù).12nxxx.!1.! 2112nxnxx都是冪級數(shù)例如較復(fù)雜的函數(shù).但這些函數(shù)都是冪函數(shù)時,它在理論上和形式上都很簡單,卻應(yīng)用很廣泛的一類級數(shù),稱為冪級數(shù).冪級數(shù)的一般形

6、式是 高等數(shù)學精品教案 百通教育 冪級數(shù)之所以簡單而重要,首先在于它的部分和Sn(x)是 冪級數(shù)收斂域的研究由Aber得到關(guān)于x的多項式,盡管它的和函數(shù)S(x)可能是很復(fù)雜的函數(shù),當它總是可以用多項式來近似地表達,而且只要n充分大時,這種近似表達可以達到任意指定的精確程度,其次冪級數(shù)的收斂域有比較簡單的形式. 高等數(shù)學精品教案 百通教育冪級數(shù)發(fā)散1nnnxa1nnnxa證明: 先設(shè)x0是冪級數(shù)(3)收斂點,即級數(shù).0202010nnxaxaxaa收斂.根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件,這時有. 0lim0nnnxa定理(Aber) 如果級數(shù)當x=x0(x00)時收斂,則適合不等式 |x|x0|的一切x使

7、這于是存在一個常數(shù)M,使得,.)2 , 1(0nMxann這樣級數(shù)(3)的一般項的絕對值nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa00000 高等數(shù)學精品教案 百通教育因為當|x|x0|使級數(shù)收斂,則根據(jù)本定理的第一部分,級數(shù)當x=x0時應(yīng)該收斂,這和所設(shè)矛盾.定理得證. 高等數(shù)學精品教案 百通教育 定理1告訴我們,如果冪級數(shù)在x=x0處收斂,則對于開區(qū)間設(shè)已給冪級數(shù)在數(shù)軸上既有收斂點(不僅是原點)也有發(fā)散 ( - |x0|,|x|)內(nèi)的任何x冪級數(shù)都收斂;如果冪級數(shù)在x=x0處發(fā)散,則對于閉區(qū)間-|x0|,|x|外的任何x冪級數(shù)都發(fā)散.點.現(xiàn)在從原點沿數(shù)軸向右方走,最初只遇到收斂點,然后

8、就只遇到發(fā)散點.這兩部分的界點可能是收斂點也可能是發(fā)散點.從原點沿數(shù)軸向左方走情況也是如此.兩界點在原點的兩側(cè),且由定理1可以證明它們到原點的距離是一樣的. 高等數(shù)學精品教案 百通教育oR-Rpp從上面的幾何說明,我們知道,冪級數(shù)的收斂域是以數(shù)軸上原點為中心的對稱區(qū)間.這里的特殊情況是整個數(shù)軸,或僅有數(shù)軸的原點是收斂域. 高等數(shù)學精品教案 百通教育且當|x|R時冪級數(shù)發(fā)散.0nnnxa對于任何冪級數(shù)如果都存在一個非負數(shù)R, 0R+,關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑求法,有下面的定理:特殊地,如果R=+,則冪級數(shù)在(-,+,)內(nèi)收斂;如果R=0,則冪級數(shù)僅在x=0處收斂. 這個數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.(-

9、R,+R)叫做收斂域.由冪級數(shù)在x=R處的收斂性,就可決定它在區(qū)間(-R,+R)上的收斂情況. 高等數(shù)學精品教案 百通教育,如果它的系數(shù)滿足0nnnxannnaa1lim.1,0) 1 (R則收斂半徑若定理2 設(shè)有冪級數(shù)R則收斂半徑若, 0)2(. 0,)3(R則收斂半徑若 高等數(shù)學精品教案 百通教育證明: 由任意項級數(shù)的比值法,得到xxaaxaxannnnnnnn111limlim.1.,1, 1Rxx故收斂半徑為級數(shù)發(fā)散即當因而冪級數(shù)在都有則對任何若, 10, 0)2(xx.,1, 1,0) 1 (冪級數(shù)絕對收斂即則當若xx.,R故整個數(shù)軸上都收斂0,)3(x則除了若于是都有值以外的其它一

10、切, 1,xx. 0R 高等數(shù)學精品教案 百通教育例2 求冪級數(shù).) 1(.32132nxxxxnn的收斂半徑解:因為1111lim111limlim1Rnnnnaannnnn在x=+1的端點,級數(shù)成為.1)1(.312111nn級數(shù)收斂在x= -1的端點,級數(shù)成為.1.31211n級數(shù)發(fā)散所以它的收斂半徑為(-1,1 高等數(shù)學精品教案 百通教育例3 求下冪級數(shù)的收斂區(qū)間1!nnnx解:!1/)!1(1limlim1nnaannnn所以收斂半徑R=+,收斂區(qū)間是(-,+)011limnn 高等數(shù)學精品教案 百通教育例4 求級數(shù)的收斂區(qū)間1!nnxnnnnaa1lim解:所以收斂半徑R=0,級數(shù)

11、僅在x=0處收斂1lim!)!1(limnnnnn 高等數(shù)學精品教案 百通教育例5 求級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間nnnxn)( !1!) 1()!1(limlim11nnnnaannnnnn所以收斂半徑為eennnnnn1) 1() 1(lim1 高等數(shù)學精品教案 百通教育，！，原冪級數(shù)為當1nnnnenex通項不趨于0,級數(shù)發(fā)散nnnnenu！通項nnnnnnennnneuu！）（111) 1(!1)11 ( 1)11 (1ennenn 高等數(shù)學精品教案 百通教育,)1(1nnnnnenex！，原冪級數(shù)為當所以原冪級數(shù)的收斂半徑為e,收斂區(qū)域為(-e,e)發(fā)散同樣原級數(shù)通項不趨于, 0 高等數(shù)

12、學精品教案 百通教育例6求級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間022nnnx本冪級數(shù)x的奇次冪的系數(shù)a2n+1=0,故不能用公式法求收斂半徑.這里有二種解法 高等數(shù)學精品教案 百通教育解法一,利用正項級數(shù)的比值法考察022nnnx,222lim22122xxxnnnnn冪級數(shù)收斂即當2|, 122xx2.2|122收斂半徑為冪級數(shù)發(fā)散即當xx, 1,2顯然發(fā)散原級數(shù)為時當x 高等數(shù)學精品教案 百通教育解法二 令x2=t,原級數(shù)化為t的冪級數(shù)02nnnt21|22|lim|lim11nnnnnnuu所以原級數(shù)的收斂半徑為2 高等數(shù)學精品教案 百通教育當t=1時;1) 1() 1(1111它收斂nntnnnn

13、n當t=-1時;1) 1() 1(111它發(fā)散nnnnnn收斂區(qū)間為-1t 1,即-10.R20,則對000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa.22101nnnnnxbxbxbbxbR=minR1R2,在(-R,R)內(nèi),兩個冪級數(shù)可作加法,減法,乘法運算即.).(.)(0001100000nnnnnnnnnxbabaxbababaxbxa 高等數(shù)學精品教案 百通教育對于兩個冪級數(shù)相除.221022102210nnnnnnxcxcxccxbxbxbbxaxaxaa這里設(shè)b00,為了求出右端的式子,我們把上式寫為000nnnnnnnnnxcxbxa采用系數(shù)待定法解出C0,C1. 高等數(shù)學精品教

14、案 百通教育 有了前面冪級數(shù)的四則運算,現(xiàn)在我們研究在收斂域內(nèi)0nnnxa1)冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在其收斂域內(nèi)是一個連續(xù)函數(shù)的冪級數(shù)的和函數(shù) 關(guān)于冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)和冪級數(shù)的分析運算有如下結(jié)論: 高等數(shù)學精品教案 百通教育0nnnxa010)()(nnnnnnxnaxaxS且求導(dǎo)前后的兩個級數(shù)有相同的收斂半徑R.2) 冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在其收斂域內(nèi)是可導(dǎo)的,并有逐項求導(dǎo)公式反過來,和函數(shù)在收斂域內(nèi)具有任意階的導(dǎo)數(shù). 高等數(shù)學精品教案 百通教育并有逐項積分公式0nnnxa 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收

15、斂半徑3)冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在其收斂域內(nèi)是可積的, 高等數(shù)學精品教案 百通教育有了和函數(shù)的分析性質(zhì),我們就不必每次用定義求和函數(shù) 在利用冪級數(shù)的可以逐項微分,逐項積分性質(zhì)求冪級數(shù)的極限,而是利用一些已知的冪級數(shù)的和函數(shù) ( 這些冪級數(shù)即是: 等比級數(shù),sinx,cosx, ex.的冪級數(shù)的展開式 ) 來求另外一些和函數(shù).的和函數(shù)時,會提出如下的問題:在何種情形需逐項微分?又在何種情形需逐項積分? 高等數(shù)學精品教案 百通教育下面幾點可作為解題時的依據(jù):除了上面兩條原則外,把冪級數(shù)斥成幾個級數(shù)的代數(shù)和或 (1)若冪級數(shù)通項的系數(shù)是n的有理分式,一般可用逐項微分的方法求和函數(shù). (2)當冪級數(shù)通

16、項的系數(shù)是n的有理整式時,一般可用逐項積分的方法求和函數(shù).提出公因子,也是求冪級數(shù)的和函數(shù)常用的技巧. 高等數(shù)學精品教案 百通教育,) 1 , 1(811的和函數(shù)內(nèi)求冪級數(shù)在區(qū)間例nnnx兩邊對x求導(dǎo)便得到S(x)的和并求級數(shù)12nnn) 1 , 1(11limlim1級數(shù)收斂半徑為nnuunnnn1101011)()(nnnxnxnnxdxnxdxxSnxxSxxxxxxn1.).1 (12解: 高等數(shù)學精品教案 百通教育)1()(0 xxdxxSdxdx22)1(1)1(1xxxx11)21(21nnnx4)2/11(122421)21(212111nnnnnn 高等數(shù)學精品教案 百通教育

17、的收斂域及和函數(shù)nnnnnxnnxnn12121!)2(;)!12()22() 1() 1 (分析: 這兩個冪級數(shù)通項的分母都是階乘,這種情形,一般例9 求冪級數(shù)可用逐項積分的性質(zhì)求和函數(shù),且要利用和函數(shù)為正余弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)求和公式. 高等數(shù)學精品教案 百通教育:) 1 ( 它的收斂域22)!12()!32(42limlim1nnnnuunnnn),(0)22)(32(42lim2nnnnxdxxsxS0)()(和函數(shù))!12()22() 1(1210dxxnnnnnx)!12() 1()!12()22() 1(1221210nnnnnxnnxdxxnn 高等數(shù)學精品教案 百通教育2

18、2112!)!1() 1(lim:!)2(nnnnuuxnnnnnnn的收斂域)!12() 1(112nnnnxx),(cossin)sin(xxxxxx),(0) 1(12lim22nnnnn)(!)(111212xxSxnnxxnnxSnnnn 高等數(shù)學精品教案 百通教育1121!)(nnxnnxSxnxnnndxxnndxxnnxS010121121)!()!()( )()!()!2111xxSnnxxnnxnnnn 1010112)!()!()(nxnxnndxxnndxxnnxSxxnnnneenxnx) 1() 1!()!(01 )()()(21xxexxxSxxxSxS),()

19、1(xexxx 高等數(shù)學精品教案 百通教育利用冪級數(shù)的和函數(shù)求收斂常數(shù)項級數(shù)的和收斂,并求其和132nnn分析:此級數(shù)為冪級數(shù)當x=1/3時的值.此時冪級數(shù)為12nnnx12221nnuunn其收斂半徑為1.例10 證明級數(shù)11122)(nnnnnxxnxxS和函數(shù)為:)(2xgx 高等數(shù)學精品教案 百通教育 xxnnnndxnxdxxgnxxg001111)()(xxxdxnxnnnxn 111012)1 (1)1()(xxxxg.)1 (2)(2xxxS2332311nnnx 高等數(shù)學精品教案 百通教育的和1) 12(21nnn該級數(shù)利用根值判別法證明它收斂121) 12(21limlimnnnnnnu1