結(jié)構(gòu)有限元法(緒論)

1、有限元分析有限元分析 (FEA) 方法方法結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對(duì)象 桿件結(jié)構(gòu)，如桁架、剛架等，桿件的幾何特征是長(zhǎng)度比橫截面尺寸大得多。彈性力學(xué)的研究對(duì)象 非桿件結(jié)構(gòu)如扳、殼結(jié)構(gòu)、實(shí)體結(jié)構(gòu)等，這些結(jié)構(gòu)的幾何特征是它的厚度要比長(zhǎng)度和寬度小得多，或長(zhǎng)、寬、厚三個(gè)尺度大小屬于同一量級(jí)。 結(jié)構(gòu)力學(xué)剛架位移法： 先取基本體系，把剛架拆成多個(gè)單元(桿件)，作單元分析，再將桿件組合成整個(gè)剛架，建立剛架位移法的基本方程，作整體分析。 在這一分一合、先拆后搭的過程中，把復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的單元分析和集合問題，這就是有限單元法的雛形。 解析法： 由于數(shù)學(xué)上的困難，通常只有某些簡(jiǎn)單向題才能得到解析的解答，而對(duì)于

2、多數(shù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題，目前還沒能得到閉合解?，F(xiàn)在，為了求解這些復(fù)雜問題，唯一的途徑是應(yīng)用數(shù)值法，求得問題的近似解。 數(shù)值法分為兩類：第一類是在解析法的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。它的要點(diǎn)是對(duì)基本微分方程采用近似的數(shù)值解法，如將微分改為差分，建立差分方程，得有限差分法，第二類是在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算。它的基本點(diǎn)是將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散化模型，再對(duì)離散化模型求出數(shù)值解答，對(duì)這類方法的代表就是近三十年發(fā)展起來的有限單元法。 有限單元法具有如下的優(yōu)點(diǎn)：(1) 物理概念清晰 有限元法一開始就從力學(xué)角度進(jìn)行簡(jiǎn)化，使初學(xué)者易于入門。(2) 可以在不同的水平上建立起對(duì)該法的理解 它可以從通俗易懂的結(jié)

3、構(gòu)力學(xué)方法出發(fā)，闡述其基本原理和公式推導(dǎo)，也可以利用變分原理為該法建立起嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解釋。 (3) 有較強(qiáng)的靈活性與適用性 它不僅能處理力學(xué)分析中的復(fù)雜的幾何形狀，任意的邊界條件，非均質(zhì)各向異性材料，結(jié)構(gòu)中包含桿件、板、殼等不同類型的構(gòu)件，非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，還能用來求解流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)以及電磁場(chǎng)等領(lǐng)域的許多問題。目前，它幾乎適用于求解所有的連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問題。(4) 采用矩陣表達(dá)形式 便于編制計(jì)算機(jī)程序，能充分利用高速電子計(jì)算機(jī)這個(gè)現(xiàn)代化工具。 因此，有限元法已被公認(rèn)為力學(xué)分析中的新穎而又有效的數(shù)值方法。 有限單元法的發(fā)展歷史 有限單元法最初是在五十年代作為處理固體力學(xué)問題的方法出現(xiàn)的。 追溯

4、歷史，早在一九四三年，庫蘭特(courant)已應(yīng)用了“單元”概念。在一九五六年，特納(Turner)等人把剛架位移法的解題思路，推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題。他們把連續(xù)體劃分成一個(gè)個(gè)三角形的和矩形的單元，單元中位移函數(shù)首先采用了近似表達(dá)式，推導(dǎo)了單元?jiǎng)偠染仃?，建立了單元結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的單元?jiǎng)偠确匠獭?近幾十年來，隨著電子計(jì)算機(jī)的高速化和普遍化，有限元繼續(xù)不斷地向更加廣闊、更加深入的方面發(fā)展。 有限單元法的發(fā)展借助于兩個(gè)重要工具，在理論推導(dǎo)方面，采用了矩陣方法，在實(shí)際計(jì)算中，采用了電子計(jì)算機(jī)。有限元、矩陣、計(jì)算機(jī)是三位一體的。由于有了現(xiàn)代化的、先進(jìn)的計(jì)算工具，使得有限單元法近年來以驚人的速

5、度驟然崛起。有限單元法的應(yīng)用有限單元法的應(yīng)用 有限單元法在應(yīng)用上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了原來的范圍。它已由彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題和板殼問題，能對(duì)原子能反應(yīng)堆、拱壩、飛機(jī)、船體、渦輪葉片等復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分析；它已出平衡問題擴(kuò)展到穩(wěn)定問題與動(dòng)力問題，由彈性問題擴(kuò)展到彈塑性與粘彈性問題，由結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。除此，它在流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、建筑聲學(xué)、生物力學(xué)等等方面部有不同程度的應(yīng)用。 用有限單元法解彈性力學(xué)問題，初學(xué)者并不需要掌握彈性力學(xué)的全部理論，但對(duì)其中的某些基本概念和基本方程卻要有所了解。為此，本節(jié)將對(duì)這些概念和方程作簡(jiǎn)要的介紹，作為下面各章介紹彈性力學(xué)有限單元法的導(dǎo)引。 彈

6、性力學(xué)的基本假定 彈性力學(xué)在處理問題方面比材料力學(xué)更廣泛、但彈性力學(xué)仍必須作一些基本的假設(shè)；（1）假設(shè)物體是線性彈性的 即物體在引起形變的外力被除去以后，能夠完全恢復(fù)其原來的形狀，這種性質(zhì)稱為“彈性”。如果材料又服從虎克定律，即外力與變形之間的關(guān)系成正比，這種彈性就叫做“線性彈性”。在這一假定下的物體只能發(fā)生線性彈性變形。（2）假設(shè)物體是連續(xù)的 這假設(shè)認(rèn)為整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的物質(zhì)所填滿，而不留下任何空隙。這樣物體中應(yīng)力、應(yīng)變和位移等等物理量就可看成是連續(xù)的，因而我們就可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。（3）假設(shè)物體是均勻的，各向同性的 均勻假設(shè)是認(rèn)為整個(gè)物體是由同一種材料組成

7、的，在這種情況下物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)，加彈性模量、泊松比等都不隨位置坐標(biāo)而變化。因此，我們可以取出物體中的任意一小部分來加以研究，然后把研究的結(jié)果用于整個(gè)物體。物體各向同性的假設(shè)是認(rèn)為物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同，各個(gè)彈性常數(shù)不隨方向而變化。（4）假設(shè)物體的位移和應(yīng)變是微小的 該假設(shè)認(rèn)為物體在外力作用下，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原來尺寸。經(jīng)過這樣假定以后，有以下好處 1）在考察物體的應(yīng)變和位移時(shí)，我們可以將它們的二次冪或乘積略去不計(jì)。因此彈性力學(xué)中的微分方程都可簡(jiǎn)化為線性的微分方程，由此得小位移可以應(yīng)用迭加原理。 2）建立物體變形以后的平

8、衡方程時(shí)，可用變形以前的尺寸代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差。有限元分析 (FEA)有限元分析有限元分析 是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡(jiǎn)單而又相互（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。定義定義物理系統(tǒng)舉例 幾何體幾何體 載荷載荷 物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)熱熱電磁電磁有限元模型真實(shí)系統(tǒng)真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象是真

9、實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義定義自由度（DOFs）自由度自由度(DOFs) 用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) DOFs 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 位移位移 熱熱 溫度溫度 電電 電位電位 流體流體 壓力壓力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。單元單元: 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩?cái)?shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或。單元有線

10、、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。三維的單元等種類。有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元單元組成，單組成，單元之間通過元之間通過節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定連接，并承受一定載荷載荷。載荷載荷載荷載荷節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))l 每個(gè)單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。每個(gè)單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。l 作為一個(gè)整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。作為一個(gè)整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。l 盡管梯子的有限元模型低于盡管梯子的有限元模型低于100100個(gè)方程（即個(gè)方程（即“自由度自由度”），然而在今天一個(gè)小的），然而在今天一個(gè)小的 ANSYSANSYS分析就可能有分

11、析就可能有50005000個(gè)未個(gè)未知量，矩陣可能有知量，矩陣可能有2525，000000，000000個(gè)剛度系數(shù)。個(gè)剛度系數(shù)。歷史典故歷史典故 ANSYS ANSYS最早是在最早是在19701970年發(fā)布的，運(yùn)行在價(jià)格為一百年發(fā)布的，運(yùn)行在價(jià)格為一百萬美元萬美元、由由IBMIBM生產(chǎn)的計(jì)算機(jī)上，它們的處理能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后生產(chǎn)的計(jì)算機(jī)上，它們的處理能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于今天的于今天的PCPC機(jī)。一臺(tái)奔騰機(jī)。一臺(tái)奔騰PCPC機(jī)在幾分鐘內(nèi)可求解機(jī)在幾分鐘內(nèi)可求解5000500050005000的矩陣系統(tǒng)，而過去則需要幾天時(shí)間。的矩陣系統(tǒng)，而過去則需要幾天時(shí)間。節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的

12、。信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和和B之間沒有信息傳遞之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞之間存在信息傳遞 .AB.AB.1 node2 nodes節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn) 單元類型單元類型 變化的。變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元三維桿單元 (鉸接鉸接)UX, UY, UZ三維梁?jiǎn)卧S梁?jiǎn)卧S或軸對(duì)稱實(shí)體單元二維或軸對(duì)稱實(shí)體單元UX, UY三維四邊形殼單元三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,三維實(shí)體

13、熱單元三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX, ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ單元形函數(shù)FEAFEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOFDOF值。值。單元單元形函數(shù)形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOFDOF值到單元內(nèi)所值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處有點(diǎn)處DOFDOF值的計(jì)算方法。值的計(jì)算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定假定的特

14、性。的特性。單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。真實(shí)的二次曲線真實(shí)的二次曲線.節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元 二次曲線的線性近二次曲線的線性近 (不理想結(jié)果不理想結(jié)果).2單元形函數(shù)(續(xù))節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元 DOF值二次分布值二次分布.1節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 單元單元 線性近似線性近似(更理想的結(jié)果更理想的結(jié)果)真實(shí)的二次曲線真實(shí)的二次曲線. . . .3節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元二次近似二次近似 (接近于真實(shí)的二次近似擬合接近于真實(shí)的二次近似擬合) (最理想結(jié)果最理想結(jié)果).4單元形函數(shù)(續(xù))遵循遵循: DOFDOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解

15、，但值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元這些平均意義上的典型解是從單元DOFsDOFs推導(dǎo)推導(dǎo)出來的（如出來的（如，結(jié)構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。，結(jié)構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFsDOFs，就不能就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過單元形很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導(dǎo)出來的。函數(shù)推導(dǎo)出來的。單元形函數(shù)(續(xù))遵循原則遵循原則: 當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選擇并當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選擇并接受接受該種單元類型所假定的單