第14章第4節(jié)空間曲線的切線與法平面PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第第14章第章第4節(jié)空間曲線的切線與法平面節(jié)空間曲線的切線與法平面2由于切線是割線的極限位置，在上式中令由于切線是割線的極限位置，在上式中令 取極限，就得到曲線在點(diǎn)取極限，就得到曲線在點(diǎn) 的的切線方程切線方程：000000( )( )( )( )( )( )Xx tYy tZz tx ty tz t 000( ),( ),( ) .x ty tz t 由此可見，曲線在點(diǎn)由此可見，曲線在點(diǎn) 的切線的一組方向數(shù)是的切線的一組方向數(shù)是0tt0M0M(切向量切向量)第1頁/共12頁3 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn) 的法平面就是過的法平面就是過 點(diǎn)且與該點(diǎn)點(diǎn)且與該點(diǎn)的切線垂直的平面，于是切線的的切線垂直的平

2、面，于是切線的(切向量切向量)方向數(shù)就方向數(shù)就是法平面的是法平面的(法向量法向量)法方向數(shù)，從而過法方向數(shù)，從而過 點(diǎn)的法點(diǎn)的法平面方程是平面方程是000000( )()( )()( )() 0 x tX xy tYyz tZ z 0M0M0M第2頁/共12頁4如果曲線的方程表示如果曲線的方程表示為為( ),( )yy xzz x ,( ),( )xxyy xzz x 可以把它寫成如下的以可以把它寫成如下的以 為參數(shù)的參數(shù)方程為參數(shù)的參數(shù)方程x于是可得曲線在點(diǎn)于是可得曲線在點(diǎn) 的切線方程和法平面方程如下的切線方程和法平面方程如下：0M00000()()1()()XxYy xZz xy xz x

3、 00000()()()()()0Xxy xYyz xZz 第3頁/共12頁5一般地，如果曲線表示為兩個曲面的交線一般地，如果曲線表示為兩個曲面的交線：( , , )0( , , )0F x y zG x y z 設(shè)設(shè) ，設(shè)上述方程組在點(diǎn)，設(shè)上述方程組在點(diǎn) 確定了一對函確定了一對函數(shù)數(shù)0(,)0( , )MD F GD y z 0M( ),( )yy xzz x 由這兩個方程可解出由這兩個方程可解出(,)(,)(,)(,),( , )( , )( , )( , )dydzD F GD F GD F GD F GD z xD y zD x yD y zdxdx 這時容易把它化成剛才討論過的情形：

4、這時容易把它化成剛才討論過的情形：第4頁/共12頁6從而可得曲線在點(diǎn)從而可得曲線在點(diǎn) 的切線方程：的切線方程：0M000000(,)(,)(,)( , )( ,)( ,)MMMXxYyZzD F GD F GD F GD y zD z xD x y 和法平面方程和法平面方程000000(,)(,)(,)()()()0( , )( , )( , )MMMD F GD F GD F GXxYyZzD y zD z xD x y 第5頁/共12頁7解：解：2tt 1 , 2 , 3txytzt 在（在（ 1 ，1 ，1 ）點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為）點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為 t = 1 1 , 2 , 3 T 切切線線方方向

5、向數(shù)數(shù)為為切線方程：切線方程：121123xyz 法平面方程：法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 2 )+3( z - 1 )=0即：即： x + 2 y + 3 z = 8例例1 求曲線求曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線及法平面方程。處的切線及法平面方程。 23,xt ytzt (1,2,1)第6頁/共12頁8例例2. 求曲線求曲線 在在 點(diǎn)點(diǎn) （ 1 ，-2 ，1）處的切線及法平面方程）處的切線及法平面方程。0, 6222 zyxzyx222600 xyzxyz 方方程程組組 解解：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為,x方方程程組組兩兩端端關(guān)關(guān)于于 求求導(dǎo)導(dǎo) 得得222010dydzxyzdxdxdydzdx

6、dx dyzxdxyzdzxydxyz 12 11, 2,101dydxdzdx ， ，第7頁/共12頁9 1, 2,1121101XYZ 切切線線方方程程為為 所所以以過過點(diǎn)點(diǎn)的的 1, 2,110100XYZZXZ 所所以以過過點(diǎn)點(diǎn)的的 法法平平面面方方程程 為為即即第8頁/共12頁10ZYXO0MT例例3 求兩柱面求兩柱面222222,xyRxzR 的交線在點(diǎn)：的交線在點(diǎn)：,222RRR 處的切線方程。處的切線方程。解解:222222,xyRxzR 中分別對中分別對 求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得220220dyxydxdzxzdx dyxdxydzxdxz x解方程組得解方程組得第9頁/共12頁11所以所以切線方程為：切線方程為：222111RRRxyz 即即2( 2)( 2)x Ry Rz R 此直線可看作是此直線可看作是 平面與平面平面與平面 的交線的交線。2x yR y z 從而在點(diǎn)從而在點(diǎn) 有：有：,222RRR 1,1dydzdxdx 第10頁/共12頁1223,244:,.xt ytztxyz在在曲曲線線求求出出一一點(diǎn)點(diǎn)，使使過過此此點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線 平平行行于于平平面面例例 21,2 ,3.Ttt 曲曲線線的的切切向向量量為為 1,2,1 .n 已已 知知 平平 面面