【數(shù)學(xué)】金陵中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)檢測(cè)卷教師版2

1、金陵中學(xué)2021 屆高三數(shù)學(xué)檢測(cè)卷（ 23）一、填空題：本大題共14 小題，每道題5 分，共 70 分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答 題卡相應(yīng)位置上1設(shè)集合a x| x 2 或 x 1 ， b x| 1x b 如a b x| 2 x 4 ，就b 的值為答 案 ：942. 已知 i 是虛數(shù)單位，就答案： 23 i i開(kāi)頭s13. 設(shè)e1， e2 是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a xe1 3e2 x r， b 2e1 e2如 ab，就 x 的值為答案： 64. 如一組數(shù)據(jù)1， 1， a， 3， 2 的平均數(shù)是1，就這組數(shù)據(jù)的方差為 答案： 25. 盒子中有大小相同的3 只白球， 2 只黑球如從中隨機(jī)地摸出兩只球，就

2、兩只球顏色相同的概率是2答案： 56. 如圖是一個(gè)算法流程圖，其輸出的n 的值是答案：n0nn 1s20y輸出 n終止s s 3nn57. 設(shè)函數(shù)fx是奇函數(shù)，當(dāng)x0 時(shí)， fx axa 0， a 1如flog 14 3，就實(shí)數(shù)a 的值2為 答案：38. 如圖，正方形oabc 的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)d 在oa 的延長(zhǎng)線上，且od 2，點(diǎn)p為 bcd 內(nèi)含邊界 的動(dòng)點(diǎn)，如存在， r，使得 ，就 op oc od的最大值為3答案： 2解析：如圖建系，就 0，1， od 2， 0，設(shè)px， y， x， yocopx 2， 1 x， y 0， 1 2，0 2， ，y ， 2x y設(shè) z111 2x y，就y

3、2x z， z 是直線y 2x z 在 y 軸上的截距，由圖形可以看出，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)b1， 1時(shí)，它在y 軸的截距 z33最大，最大為2，的最大值是 22y29在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，如傾斜角為的直線 l 的斜率等于雙曲線x 3 1 的離心率，就 sin6 2的值為答案：45解析：雙曲線離心率為2， tan 2， sin6 2 sin22tan 41 tan2 510. 如圖，在棱長(zhǎng)為2 的正四周體pabc 中， m，n 分別為 pa，bc 的中點(diǎn)， 點(diǎn) d 是線段 pn 上的一點(diǎn)，且 pd 2dn ，就四周體 pmbd 的體積為 答案：29解析：正四周體pabc 的體積 v2vpmbd

4、 9 12622，三棱錐 pmbd33 331的體積為正四周體體積的，6330 311. 設(shè)函數(shù)fx axsinx2a 0，如在區(qū)間值為答案：， 2 上， f x的最大值為2，就實(shí)數(shù)a 的取3解析： f x3 sinx a xcosx，03當(dāng) a0 時(shí)， f x 0， x， 2 ， fx在 0， 2 上單調(diào)遞減，最大值f0 0 合題意， a0，此時(shí)f x 0， x， 2 033 3，不適2a22故 fx在， 2 上單調(diào)遞增，最大值f 2 2 ，解得a 3，適合題意，故a 312. 在 abc 中， bc3ac ，tana 3tanb，就 tanbc 答案： 2 32解析：過(guò)點(diǎn)c 作cd ab

5、于 d ，設(shè)ad x， bd 3x，不妨設(shè)bc 3， ac 1，就 1 x2 3 3x2，得 x1 ， b ， c 262取得最小值時(shí)，13. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn如 s9 s3 2s6，就 s6 1s9 的s3值為7答案：33解析：設(shè)公比為qq 0，就s31 q3 q6 s3 2s31 q3，得q3 1舍或2 s61 3s3 1 23，當(dāng)且僅當(dāng)s3 1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)s9 s31 q3 q6 7s3s33314. 已知函數(shù)fx xln x， gx x2 a 12x 2a，如不等式fx g x的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，就實(shí)數(shù)a 的取值范疇是答案：ln2 104ln2 162

6、，3二、解答題：本大題共6 小題，共計(jì)90 分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15. 本小題滿分14 分已知向量a 2sin ， 1， b 1， sin 4(1) 如角 的終邊過(guò)點(diǎn) 3 ，4 ，求 ab 的值；(2) 如 ab，求銳角4 的大小解析： 1 由題意 sin3cos2 分 ，55 ab2sin sin 4 2sin sincos cos4442423232 5 52 52 2 6 分42 a b，2sin sin 4 1，即 2sin sincoscossin4 1， sin2 sincos 1，10 分就sincos 1 sin2 cos2，對(duì)銳

7、角有cos0， tan 1，銳角 414 分16. 本小題滿分14 分如圖，在四棱錐pabcd 中，已知底面abcd 是平行四邊形，bcd 135，側(cè)面 pab底面 abcd， bap 90， abacpa 2， e， f 分別為 bc， ad 的中點(diǎn)，點(diǎn) m 在線段 pd 上(1) 求證： ef 平面pac；(2) 如 m 為側(cè)棱 pd 的中點(diǎn)，求證：me 平面pab 證明： 1 在平行四邊形abcd 中， ab ac， bcd 135， abc acb 45，ab ac1 分由 e， f 分別為 bc， ad 的中點(diǎn)，得efab ， ef ac2 分側(cè)面pab底面abcd ，且 bap 9

8、0，側(cè)面pab底面abcd ab，pa底面 abcd 4 分又 ef. 底面 abcd， pa ef6 分又 paaca，pa. 平面 pac， ac. 平面 pac， ef平面 pac8 分2 m 為 pd 的中點(diǎn)， f 為 ad 的中點(diǎn)， mf pa，又 mf .平面 pab，pa. 平面 pab， mf平面pab10 分同理，得ef平面 pab又 mf ef f， mf . 平面mef ， ef. 平面mef ，平面 mef 平面 pab12 分又 me . 平面 mef ， me 平面 pab14 分17. 本小題滿分14 分x2y2橢圓 c： a2 b2 1a b 0， a， b 是

9、橢圓與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)，m 為橢圓 c 的上頂點(diǎn)，2設(shè)直線ma 的斜率為是k1，直線mb 的斜率為k2， k1k2 3(1) 求橢圓c 的離心率；(2) 已知直線l 經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)f3 0p q，交橢圓于、 兩點(diǎn)，且滿意fp 3qf 求直線l 的方程解： 1 m 0， 6， a a，0， ba， 0，bbb bb22c21就k1 a，k2 a，就k1k2 aa a2 3， a2 3， c3 e a 3 ；4 分x2y22 c3， a2 3c2 9，b2 2c2 6，就橢圓c 的方程為 9 6 1，6 分方法一 設(shè)直線l 的方程為： x my 3， px1， y1， qx2 ， y2， 2x2

10、 3y2 18，x3就 my得2m23 y24 3my 12 0，直線l 與橢圓c 相交， 48m2 482m2 3 0，43m12由韋達(dá)定理：y1 y2 2m23， y1y2 2m2 3，10 分2又 fp 3qf， y1 3y2，代入上述兩式得m 3， m313 分直線 l 的方程為x3y3，即 x3y3 014 分方法二 設(shè)px1， y1， q x2 ，y2 ， fp 3qf ， x1 3x2 4， y1 3y2又點(diǎn) p、q 在橢圓上，2x12 3y12 18， 2x2 23y2 218，10 分由四個(gè)式子聯(lián)立解得x1 353， y1 32，或52x1 3 3， y1 313 分x 23

11、， y2 2x23， y 2 2直線 l 的方程為x3y3，即 x3y3 014 分18. 本小題滿分 14 分如圖 1，在路邊安裝路燈，路寬為 od ，燈柱 ob 長(zhǎng)為 h 米，燈桿 ab 長(zhǎng)為 1 米，且燈桿與燈柱成 120角，路燈采納圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為 2 ，燈罩軸線 ac 與燈桿 ab 垂直(1) 設(shè)燈罩軸線與路面的交點(diǎn)為 c，如 oc 5 3，求燈柱 ob 的長(zhǎng)；(2) 設(shè) h 10，如燈罩軸截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)o，另一條與地面的交點(diǎn)為e如圖 2，求 cos 的值；求該路燈照在路面上的寬度 oe 的長(zhǎng)aab 120 2b120 2ocdoced圖 1圖 2解

12、： 1 過(guò)點(diǎn)a 作 od 的垂線，垂足為h，過(guò)點(diǎn)b 作 ah 的垂線，垂足為f ab 1， oba 120， abac， abf 120 90 30， aco60，abf af absin30 1， bf abcos30 322 ，3又oc 5 3，oh bf 2 ，9 3 hc oc oh 2 ohcdahhc tan acohc tan60 3hc1h393，22解得 h 134分2在 abo 中，由余弦定理得oa2 ab2 ob2 2ab obcos120 111， oa 111在三角形abo 中，由正弦定理得booa，即10 111，sin baosinabosinbaosin120

13、解得 sin bao 5， cos sinbao 5 8分3737 sin 1 cos223sin2 2sincos203，3737 ， sinaeosin aco cae sin60 32 512333 2在 aoe 中，由正弦定理得oe oa，3737237sin2sin aeo oeoasin2111 20340 3 13分sinaeo332 37373答： 略14分19. 本小題滿分16 分已知函數(shù)f x aexln x(1) 求 a，b 的值；2 求證： fx 1.bex 1x，曲線y fx 在點(diǎn) 1， f1 處的切線方程為y ex 1 2.1bex1 x 1x解： 1 fx aex

14、 lnxx2x0 ，直線y ex 1 2 的斜率為e，且圖象過(guò)點(diǎn)1， 2，f1 2，f1 e，即 b 2，ae e，2ex 1a 1，解得6 分b 2.xe2(2) 由1 知fx exlnxx 0，從而 fx 1 等價(jià)于 xlnx x e.8 分x令gx xlnx，就gx 1ln x011e當(dāng) x，時(shí)， gx 0；當(dāng) x11， 時(shí)， gx 0， e0故gx在，e 上單調(diào)遞減，在， 上單調(diào)遞增，e從而 gx 在0， 上的最小值為g1112 分e e.令 hx xe x2hx ex 1 x ，就e當(dāng)x 0,1時(shí)， hx 0， hx單調(diào)遞增；當(dāng)x 1， 時(shí)， hx0， hx單調(diào)遞減，從而 hx 在0

15、， 上的最大值為h1 1 gx1 e e. hx，且等號(hào)不能同時(shí)取到，當(dāng) x 0 時(shí)， g xh x，即 fx116 分20. 本小題滿分16 分pan n1， n為奇數(shù)已知數(shù)列 an 滿意 a1 2，前 n 項(xiàng)和為 sn， an 1 an 2n， n為偶數(shù)(1) 如數(shù)列 bn 滿意bn a2 n a2n1 n 1，試求數(shù)列 bn 前n 項(xiàng)和tn；(2) 如數(shù)列 cn 滿意cn a2n，試判定 cn 是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3) 當(dāng) p1 時(shí)，問(wèn)是否存在2nn*，使得 s2n 110 c2n 1，如存在，求出全部的n 的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解： 1 據(jù)題意得bn a2n a2n 1 4n， bn 成等差數(shù)列，故tn 2n2 2n4 分2 當(dāng) p1 時(shí)，數(shù)列 cn 成等比數(shù)列；當(dāng)p1 22時(shí)，數(shù)列 cn 不為等比數(shù)列理由如下：cn1 a2n 2 pa2 n 1 2n p a2n 4n2n pcn 4pn 2n， cn12n1 2p11 cn pcn，故當(dāng) p 2時(shí)，數(shù)列 cn 是首項(xiàng)為1，公比為 2等比數(shù)列