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文檔簡介

1、山西省太原市 2020 屆高三數學上學期階段性(期中)考試試題(含解析)一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5 分,滿分 60 分,在每出的小題給四個選項中, 只有一項是符合題目要求的,請將其字母代碼填入下表相應位置)1. 已知集合 M=, N=,貝U MU N=A. (0,1 ) B. (-f1)U( 2, +s)C. (- 1,0 ) D. (-f,- 2 )U (- 1, +f)【答案】 B【解析】【分析】解出集合M N,然后進行并集的運算即可.【詳解】M=x| 1 v x v 1, N=x|x v 0,或 x 2; MU N=x|x v 1,或 x 2= ( f, 1)U( 2,

2、 +f).故選: B【點睛】考查絕對值不等式和一元二次不等式的解法,描述法的定義,以及并集的運算2. 函數的定義域是 ( )A. ( 0,1 ) B. C. D. 0,1【答案】 C【解析】【分析】求函數定義域只需保證函數各部分有意義即可【詳解】由解得0 v x w 1,所以函數f (x)的定義域為(0, 1.故選: C【點睛】本題考查函數定義域的求法,一般說來給出的函數要保證函數解析式有意義3. 給定函數:;,其中在區(qū)間上單調遞減的函數序號是()A. B. C. D. 【答案】 B解析】視頻4. 已知等比數列中,+=,-=,則=A. - B. C. - 4 D. 4【答案】A【解析】【分析】

3、利用等比數列的通項公式列出方程組,求出首項和公比,由此能求出結果.【詳解】t等比數列an中,ai+a2=,ai - a3=,解得,3.a 4=1X(-)=-.故選:A.【點睛】本題考查利用等比數列的通項公式求第4項的方法,也考查運算求解能力,是基礎題.5. 巳知函數,貝U =A. - B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意先求出log 23的范圍為(1, 2),然后結合函數的解析式可得f (log 23) =f (1+log 23)【詳解】由題意可得:1 0 ,0 ,0B.0 ,0C. 0 ,0D.0, 0 ,0,當x=0時,f (0) =b,結合函數圖象得b 0,由此利用排除

4、法能求出結果.【詳解】T函數f (X)=, X=- c時,函數值不存在,結合函數圖象得c0,排除B和D;當 x=0 時, f ( 0) =,結合函數圖象得 b 0,排除 C故選: A【點睛】本題考查命題真假的判判斷和函數的圖象和性質等基礎知識,同時也考查化歸與 轉化思想,是基礎題9. 已知+1 ()在(0, +s)內有且只有一個零點,則在-1,1上的值域為A. - 4,0 B. - 4,1 C. - 1,3 D. , 12【答案】 B【解析】【分析】f ( x) =2x (3x- a), x ( 0, +),當 a 0, f (0) =1,f (x)在(0, +8)上沒有零點;當 a0 時,f

5、 ( x) =2x (3x- a) 0 的解為 x, f (x) 在(0,)上遞減,在(,+8)遞增,由 f (x)只有一個零點,解得 a=3,從而f (x) =2x3- 3x2+1, f ( x) =6x (x - 1), x - 1, 1,利用導數性質能求出 f (x )在-1, 1上的值 域即可【詳解】t函數f (x) =2x3- ax2+1 (a只)在(0, +8)內有且只有一個零點, f ( x) =2x (3x- a), x( 0, +8), 當 aW0 時,f( x) =2x (3x - a) 0,函數f (乂)在(0, +8)上單調遞增,f (0) =1,f (x)在(0, +

6、8)上沒有零點,舍去; 當 a 0 時,f( x) =2x (3x - a) 0 的解為 x, f ( x)在(0,)上遞減,在(,+8)遞增,又f (x )只有一個零點, f() =- +1=0,解得 a=3,32f (x) =2x - 3x+1, f ( x) =6x (x - 1), x - 1, 1,f ( x ) 0 的解集為(-1, 0),f (x)在(-1 , 0) 上遞增,在(0, 1) 上遞減,f(- 1) =- 4,f(0) =1,f(1) =0, f( x) min=f(- 1) =- 4, f(x) max=f (0) =1,故函數的值域是 - 4, 1 ,故選: B【

7、點睛】本題考查利用導數判斷函數的單調性,進行分類討論求最值,再求出值域,同時也考查邏輯思維能力和綜合應用能力,是中檔題10. 巳知集合P= , Q=,將PUQ的所有元素從小到大依次排列構成一個數列,記為數列 的前 n 項和,則使得 1000成立的的最大值為A. 9 B. 32 C. 35 D. 61【答案】 C【解析】【分析】數列an的前n項依次為:1, 2 , 3 , 22 , 5 , 7 , 23,利用分組成等差數列和等比數列的 前 n 項和公式求解 .【詳解】數列an的前n項依次為:1, 2, 3, 22, 5, 7, 23,利用列舉法可得:當n=35時,PUQ中的所有元素從小到大依次排

8、列,構成一個數列 an,所以數列an的前 35 項分別 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25,, 69, 2, 4, 8, 16, 32, 64Sn=29+ +=29+=9671000所以 n 的最大值 35.故選: C【點睛】本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、分組求和方法 考查了推 理能力與計算能力,屬于中檔題.11. 已知是定義在 R上的奇函數,且滿足,=1 ,數列滿足=-1,(),其中是數列的前n項和 則 =A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1【答案】 A【解析】【分析】推導出 Sn=2an+n 從而 an=

9、Sn- Sn-1=2an+n- 2an-1-( n- 1 ) 得 a n- 1是首項為- 2 公差為 2 的等比數列,求出a5= 31 ,a6=- 63 ,由f (2 x)=f(x),f (1)=1 ,得f (x)關于直線T=4,x=1對稱,由函數f (x)是定義在R上的奇函數,得到函數f (x)是一個周期函數,且由此能求出 f ( a5) +f ( a6 )【詳解】數列an滿足ai=- 1, (n N+),其中S是數列an的前n項和,/S n=2an+n,an=Sn Sn- i=2an+ n 2an -1 _ ( n 1),整理,得 =2,a i - 1= - 2, an- 1是首項為-2,

10、公差為2的等比數列,/an- 1= - 2x2 1 ,/a n=1 - 2x2 1.a 5=1 2X2 = 31, = 63 ,f( 2- x) =f(x), f(- 1) =1,/ f ( x )關于直線 x=1 對稱,又函數f (x)是定義在R上的奇函數函數f (x)是一個周期函數,且 T=4,/ f ( a5) +f( a6) =f (- 31 ) +f(- 63)=f( 32- 31) +f(64- 63) =f(1) +f(1) =- f(- 1)- f(- 1) =- 1- 1=- 2. 故選: A.【點睛】本題考查函數值的求法,考查等比數列、函數的奇偶性和周期性等基礎知識,考 查

11、運算求解能力,考查化歸與轉化思想,是中檔題.12. 已知定義在(0,+ a)上的可導函數,滿足,則下列結論正確的是A. B. C. 【答案】 A【解析】【分析】根據條件構造新函數 g (x) =xf (x),求函數的導數,結合函數的單調性與選項即可得到結論【詳解】xf ( x) = (x- 1) f (x), f ( x) +xf ( x) =xf (x)設 g( x ) =xf ( x ),則 g( x) =f ( x) +xf ( x),即 g( x) =g (x),則 g( x) =ex,則 g(x)=xf (x) =ex,則 f (x) =, (XM0),函數的導數f ( x)=,由f

12、 ( x) 0得x 1,此時函數單調遞增,由f( x)v 0得Ov x V 1,此時函數單調遞減,即當x=1時,函數f (x)取得極小值,所以 故選: A【點睛】本題主要考查函數與導數的關系,根據條件構造新函數,再利用導數研究新函數的 單調性是解決本題的關鍵,綜合性較強,難度較大二填空題(本大題共 4小題,每小題 5分,共 20分,把答案填在題中橫線上)13. 已知集合 A= - 1, 0, 1 , B=,若 AH B=0,貝U B=;【答案】 0,3【解析】【分析】根據AH B=0可得出O B,進而求出 m=O,解方程x2 - 3x=0即可求出集合 B.【詳解】 AH B=0 ; O B;.

13、m=0 B=0, 3.故答案為: 0 , 3 .【點睛】考查描述法、列舉法的定義,元素與集合的關系,交集的定義及運算14. 已知函數在 =0 處的切線經過點 (1, - 1) ,則實數 =;【答案】 -3【解析】【分析】求出原函數的導函數,得到f( 0),再求出f (0),求出切線方程,然后求解a即可;【詳解 I: y= ( ax+1) ex, f ( x) = (ax+a+1) ex, f( 0) =a+1,又 f ( 0) =1,切線方程為:y - 1= ( a+1) (x - 0)函數y= (ax+1) ex在x=0處的切線經過點(1, - 1),可得:-1 -仁a+1,解得a=-3.故

14、答案為:-3.【點睛】本題考查利用導數研究過曲線上的某點處的切線方程,考查數學轉化思想方法, 是中檔題15. 在數列 中, =1 , = (),記為數列 的前 n 和項,若 =,則=;【答案】 49【解析】【分析】由條件可得=,運用數列恒等式:an=ai?,化簡可得 an=,可得=2 (),由裂項相消求和可 得所求和S,解方程可得n的值.【詳解】數列an中,ai=1, an=an-1 (n2),可得 =,即有an=ai?=1? ? ? = ,可得 =2(),則 Sn=2(1- +- +-)=2( 1-),由 Sn=,即有 2 ( i )=,解得 n=49.故答案為: 49. 【點睛】本題考查數

15、列的通項公式和求和,注意運用數列恒等式和裂項相消求和,考查運算能力,屬于中檔題.16. 已知函數 =,若對于任意實數,不等式恒成立,則實數的取值范圍是 ;【答案】 (0,i)【解析】【分析】由題意設g ( x) =ex e-x- 2x , x R,貝U g (x)是定義域R上的奇函數,且為增函數;問題 等價于g (x2+a) g (- 2ax)恒成立,得出x2+a- 2ax,利用判別式0恒成立, g ( x)是定義域R上的增函數;不等式f (x2+a) +f (2ax) 2恒成立,2化為 g( x2+a) +g( 2ax) +2 2 恒成立,22即 g (x +a) g (2ax) =g (

16、2ax)恒成立,.x +a 2ax 恒成立,即 x2+2ax+a 0 恒成立; =4a 2 4av0,解得0 v a v 1,.實數a的取值范圍是(0, 1).故答案為: (0, 1) 【點睛】本題考查了利用新構造函數,用導數判定新函數的單調性和利用奇偶性來解決問題, 也考查了不等式恒成立應用問題,是中檔題三、解答題(本大題共4小題,共40分.解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17. 已知集合 A= , B=| ;求An b;(2) 若 =,求函數的值域 .【答案】 (1)1,2) (2)【解析】【分析】(1) 分別求出集合A,B,由此能求出An B. (2)由An B=x|1xv 2

17、 , f(x)= ()乂+在1 ,2) 上是減函數,能求出函數f (x )的值域.【詳解】(1):集合 A=x|1 v 2=x|1 xv 4, B=y|y=log 2x, x A=y|0 0,且al(1) 判斷的奇偶性,并證明你的結論 ; 若關于的不等式w |在-1,1上恒成立,求實數a的取值范圍【答案】 (1) 偶函數 (2)【解析】【分析】(1)函數f (x)是定義域 R上的偶函數,用定義法證明即可;(2)由f (x)是R上的偶函 數,問題等價于f ( x)Wx在0 , 1上恒成立;討論x=0和xM0時,求出實數a的取值范圍.【詳解】(1)函數f (x) =x (-)是定義域 R上的偶函數

18、,證明如下:任取 x R,貝U f (- x) = - x (-) =x (-), f ( x) - f (- x) =x (-)- x (-) =x (- 1) =0, f (- x) =f (x), f (x)是偶函數;(2)由(1)知f (x)是R上的偶函數,不等式 f (x) 1,求實數a的取值范圍是,1)U( 1, +8).【點睛】本題考查了用定義法判斷函數的奇偶性問題和利用偶函數的性質求參數的范圍問題, 再轉化為不等式恒成立問題,進行分類討論,是中檔題.20. 已知函數 =,;(1) 討論的單調性 ; 若不等式在(0,1)上恒成立,求實數a的取值范圍.【答案】( 1 )見解析( 2

19、)【解析】【分析】(1)求出導函數后,按 aw0, 0v av, a=, a分類討論,根據導數和函數的單調性的關系 即可求單調區(qū)間(2)由(1 )的單調性分類求 f (x)的最小值,用最小值使不等式成立代替 恒成立.【詳解】(1): f ( x) =ax2+ (1 - 2a) x - 2lnx , x 0,-f( x)=, 當 a0 時,令 f ( x) v 0,得 0 v xv 2 ;令 f ( x) 0,得 x2 ; 當 av 0 時,令 f ( x) =0,得 x=-或 x=2 ;(I)當- 2,即-時,令 f ( x)v 0,得 0v x v 2 或 x -;令 f ( x) 0,得

20、2 v xv-;(n)當-=2時,即a=-時,貝U f ( x) v 0恒成立;(川)當-v 2 時,即 av-時,令 f( x) v 0,得 0 v x v-或 x 2; 令 f( x) 0, 得-v xv 2;綜上所述:當a0時,f (x)在(0, 2)上遞減,在(2, +1 上遞增;當-時,f (乂)在(0, 2)和(-,+R)上遞減,在(2,-)上遞增;當a=-時,f (x )在(0, +1上遞減;當av-時,f (乂)在(0,-)和(2, +R)上遞減,在(-,2)上遞增.(2)由(1)得當a-時,f (乂)在(0, 1 )上遞減, f ( 1) =1 - a,.-;當av-時,(I

21、)當-w 1,即aw - 1時,f (x)在(0,-)上遞減,在(-,1 )上遞增, f (-)=2- +2ln (- a)2- , aw- 1 符合題意;(H)當- 1,即-1 v av-時,f (x )在(0, 1 )上遞增,- f ( 1) =1 - a ,.- 1 v a v-符合題意;綜上,實數a的取值范圍為(-g,-.【點睛】本題主要考查函數單調性的判斷,先求出函數的導數,用二次函數開口和根的大小討論導數和函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵,注意要對a進行分類討論,最后求最值,屬于中檔題.第 II 卷( 選做題共 30 分)一、選擇題 (本大題共 2 小題,每小題 5 分, 滿分

22、 10 分,在每小題給出的四個選項中 , 只有一項 是符合題目要求的,請將其字母代碼填入下表相應位置 )21. 在平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(1,1),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系 , 則點 P 的極坐標為A. (1 , ) B. (, ) C. (cosl , sin1) D. (cos1, sin1)【答案】 B【解析】【分析】推導出p =, tan 0 =1,從而 0 =,由此能求出點 P的極坐標.【詳解】在平面直角坐標系 xOy中,點P的坐標為(1, 1),p =,tan 0 =1, .0 =.點 P 的極坐標為(, ).故選: B【點睛】本題考查點的極坐

23、標的求法,直角坐標與極坐標的互化等基礎知識, 考查數形結 合思想,是基礎題22. 在平面直角坐標系 xOy中,若直線y=x與曲線(是參數,,有公共點,則下列說法正確的 是A. 0 t C. = D. =【答案】 B【解析】【分析】將曲線的參數方程代入直線y=x的方程,并化簡得,結合條件t 0,,于是得到0 ,于是得出答案【詳解】將代入 y=x 得 2+tcos 0 =tsin 0, 即卩 t (sin 0- cos 0)=2,所以,因為t 0,且t,所以0.故選: B【點睛】本題考查參數方程與普通方程之間的轉化,考查對公式的應用與轉化能力,屬于中等題二、填空題 (本大題共 2 小題, 每小題

24、5 分, 滿分 10 分)23. 在平面直角坐標系 xOy中,曲線:(是參數),曲線:(是參數),若曲線與相交于 A,B兩個不同點,則 |AB|= ;【答案】【解析】【分析】首先把方程轉換為直角坐標方程,進一步利用方程組,根據一元二次方程根和系數的關系求出A、B的坐標,在求出|AB|的長.【詳解】曲線 C1:(t 是參數),轉換為直角坐標方程為:x- y- 1=0,曲線 C2:(0 是參數),轉換為直角坐標方程為: ,建立方程組:得至:23x2- 4x=0 ,解得:x=0 或所以:A( 0,- 1 ), B(),所以:|AB|= .故答案為:【點睛】本題考查參數方程直角坐標方程和極坐標方程之間

25、的轉換,一元二次方程根和系數 關系的應用,主要考查學生的運算能力和轉化能力,屬于基礎題型24. 在極坐標系中,點P的坐標為(1,),點Q是曲線=2上的動點,則|PQ|的最大值為 ;【答案】 2【解析】【分析】直接利用方程之間的轉換,利用兩點間的距離公式求出結果【詳解】點P的坐標為(1,轉換為直角坐標為 P( 0, 1 ),曲線 p 2 (1+s in 20) =2,轉換為直角坐標方程為: ,貝點P (0,1 )至( 0,- 1)的距離最大.最大距離為 2故答案為: 2.【點睛】本題考查直角坐標方程和極坐標方程之間的轉換,兩點間的距離公式的應用.三、解答題 (本大題共 1 小題, 滿分 10分,

26、解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟 )25. 在平面直角坐標系 xOy中,曲線:=0( a0),曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點O 為極點 ,x 軸正半軸為極軸建立極坐標系;(1) 求曲線,的極坐標方程 ;已知極坐標方程為=的直線與曲線,分別相交于P, Q兩點(均異于原點 O),若|PQ|= - 1,求實數 a 的值;【答案】 (1) (2)2【解析】【分析】( 1)直接利用轉換關系, 把參數方程直角坐標方程和極坐標方程之間進行轉換.(2)利用(1) 的結論,進一步利用極徑求出參數的值22【詳解】(1)在平面直角坐標系 xOy中,曲線G: x - 2ax+y =0 ( a0),轉換為

27、極坐標方程為:P2=2ap cos 0,即:p =2acos0.曲線C2的參數方程為(a 為參數),轉換為直角坐標方程為:x2+(y- 1) 2=1,轉換為極坐標方程為:P =2cos 0.(2)已知極坐標方程為0 =的直線與曲線 G, C分別相交于P, Q兩點,由,得到: P(), Q(),由于: |PQ|=2 - 1 ,所以:,解得: a=2. 【點睛】本題考查參數方程直角坐標方程和極坐標方程之間的轉換,極徑的應用,主要考查學生的運算能力和轉化能力.選修45不等式選講一、選擇題 (本大題共 2 小題,每小題 5 分, 滿分 10 分,在每小題給出的四個選項中 , 只有一項 是符合題目要求的,請將其字母代碼填入下表相應位置 )26. 不等式的解集為A. (0,1 ) B. (-a,0)U( 1 , +s)C. (- 1,0 ) D. (-a, - 1 )U( 1 , +a)【答

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