【知識(shí)】《空間向量》基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

1、精品word可編輯資料- - - - - - - - - - - - -空間向量及其運(yùn)算2. 空間向量的運(yùn)算定 義 ： 與 平 面 向 量 運(yùn) 算 一 樣 ， 空 間 向 量 的 加 法 、 減 法 與 數(shù) 乘 向 量 運(yùn) 算 如 下第 1 頁(yè)，共 4 頁(yè)- - - - - - - - - -oboaabab ; baoaobab ;運(yùn)算律：加法交換律：abbaopardc加法結(jié)合律： abcabcab數(shù)乘安排律：ababa3. 平行六面體dc平行四邊形 abcd平移向量 a 到 ab c d的軌跡所形成的幾何體， 叫做平行六面體， 并記作 abcd-a b c d它的六個(gè)面都是ab平行四邊形

2、，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱4. 平面對(duì)量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量 向量 b 與非零向量 a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使 b a .要留意其中對(duì)向量a的非零要求5. 共線向量假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，就這些向量叫做共線向量或平行向量 a 平行于 b 記作a / b 當(dāng)我們說(shuō)向量 a 、 b 共線（或 a /b ）時(shí)，表示 a 、 b 的有向線段所在的直線可能是同始終線， 也可能是平行直線6. 共線向量定理： 空間任意兩個(gè)向量 a 、b（ b 0 ）， a /b 的充

3、要條件是存在實(shí)數(shù)，使 a b .推論：假如 l 為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)a 且平行于已知非零向量a 的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)o，點(diǎn) p 在直線 l 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t 滿意等式opoat a 其中向量 a 叫做直線 l 的方向向量 .空間直線的向量參數(shù)表示式：opoat a 或 opoat oboa1t oat ob ，中點(diǎn)公式 op1 oa2ob pbbp7. 向量與平面平行：已知平面和向量 a ，作 oaa，假如m直線 oa 平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量a 平行于平面，aa a記作：a /通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面對(duì)量說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的8. 共面對(duì)量定理：假如兩個(gè)向量

4、a, b 不共線， p 與向量a,b 共o面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使 pxayb推論：空間一點(diǎn) p 位于平面 mab 內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)或?qū)臻g任一點(diǎn) o ，有 opomxmaymb x, y ，使 mpxmaymb或 opxoayobzom , xyz1 上面式叫做平面 mab 的向量表達(dá)式9. 空間向量基本定理：假如三個(gè)向量a,b, c 不共面，那么對(duì)空間任一向量p ，存在一個(gè)唯獨(dú)的有序?qū)崝?shù)組x, y, z ，使 pxaybzc如三向量a,b,c不共面，我們把 a, b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b, c 叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底推

5、論：設(shè)o, a, b,c 是不共面的四點(diǎn)，就對(duì)空間任一點(diǎn)p ，都存在唯獨(dú)的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z ，使精品word可編輯資料- - - - - - - - - - - - -y第 2 頁(yè)，共 4 頁(yè)- - - - - - - - - -opxoayobzoc10空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b ，在空間任取一點(diǎn)o ，作oaa, obb ，就aob 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作a,b；且規(guī)定 0a, b，明顯有a, bb ,a；如a, b，就稱 a 與 b 相互垂直，記作： ab .211. 向量的模：設(shè) oaa ，就有向線段 oa的長(zhǎng)度叫做向量a 的長(zhǎng)度或模，記作：| a

6、 | .12. 向量的數(shù)量積：已知向量a,b ，就 | a | | b| cosa, b叫做a, b 的數(shù)量積，記作a b ，即a b|a | |b | cosa,b已知向量 aba 和軸 l ， e 是 l 上與 l 同方向的單位向量，作點(diǎn)a 在 l 上的射影 a ，作點(diǎn) b 在 l上 的 射 影 b ， 就 a b 叫 做 向 量 ab 在 軸 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 .可 以 證 明 a b 的 長(zhǎng) 度| a b| | ab | cosa, e| a e | 13. 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（ 1） a e（ 3） | a |2| a |cosa aa,e（ 2）aba b

7、0 14. 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（ 1） a ba ba b （ 2） a bb a （交換律）z（ 3） abca ba c （安排律）空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算ax,y,z1空間直角坐標(biāo)系：k（1）如空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量相互垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位i ojy正交基底，用 i ,j , k 表示；x（ 2）在空間選定一點(diǎn) o 和一個(gè)單位正交基底 i,j , k ，以點(diǎn) o 為原點(diǎn)，分別以i , j , k 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸： x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系oxyz ，點(diǎn) o 叫原點(diǎn)， 向量 i, j , k 都叫坐標(biāo)向量 通過(guò)

8、每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為 xoy 平面，yoz 平面， zox 平面；2. 空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系oxyz 中，對(duì)空間任一點(diǎn)a ，存在唯獨(dú)的有序?qū)峼數(shù)組 x, y, z，使 oaxiyjzk ，有序?qū)崝?shù)組 x, y, z叫作向量 a 在dc空間直角坐標(biāo)系 oxyz 中的坐標(biāo)，記作坐標(biāo)， z 叫豎坐標(biāo)常見(jiàn)坐標(biāo)系正方體a x,y, z ， x 叫橫坐標(biāo)， y 叫縱abdcyabxz如下列圖， 正方體點(diǎn)， da 、 dc 、 ddabcda b c d 的棱長(zhǎng)為 a ，一般挑選點(diǎn) d 為原a 所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 dxyz ，就

9、各點(diǎn)坐標(biāo)為亦可選 a 點(diǎn)為原點(diǎn) .bdoy在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系與之類似.正四周體cx如下列圖，正四周體abcd 的棱長(zhǎng)為 a ，一般挑選a 在 bcd 上的射影為原點(diǎn)， oc 、od （或 ob ）、oa 所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸z建立空間直角坐標(biāo)系oxyz ，就各點(diǎn)坐標(biāo)為正四棱錐p如下列圖，正四棱錐pabcd 的棱長(zhǎng)為 a ，一般挑選點(diǎn)p 在平面dcxaob精品word可編輯資料- - - - - - - - - - - - -abcd 的射影為原點(diǎn)， oa （或 oc ）、 ob （或 od ）、 op 所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系

10、 oxyz ，就各點(diǎn)坐標(biāo)為正三棱柱第 5 頁(yè)，共 4 頁(yè)- - - - - - - - - -如下列圖， 正三棱柱abca b c 的底面邊長(zhǎng)為a，高為 h ，一般挑選 ac 中點(diǎn)為原點(diǎn)， oc（或 oa ）、ob 、oe （ e 為 o 在 a c 上的射影） 所在直線分別為 x 軸、 ya軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系oxyz ，就各點(diǎn)坐標(biāo)為z3. 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：e（ 1）如 aa , a, a ， bb , b,b ，就cab123123aba1aba1b1, a2 b1,a2b2, a3 b2, a3b3 ，b3 ， a a1,a2 ,a3oyr ，cb xa ba1b1a

11、2b2a3b3 ，a / ba1b1, a2b2, a3b3 r ，aba1b1a2b2a3b30 （ 2）如a x1, y1, z1 ，b x2, y2 , z2 ，就 abx2x1, y2y1, z2z1 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4模長(zhǎng)公式：如 a a1,a2 , a3 ， bb1, b2, b3 ，222222就 | a |a aa1a2a3， |b |b bb1b2b35. 夾角公式：cos a ba ba1b1a2b2a3b3222| a | | b |aaabbb2226. 兩點(diǎn)間的距離公式：如a x1, y1, z1 ，12

12、3123bx2, y2 , z2 ，2就 | ab |ab xx 2 yy 2 zz 2111212121，或 d a, b x2x 2 y2y 2z2z 2一、直線的方向向量空間向量應(yīng)用把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量. 在空間直角坐標(biāo)系中，由a x1,y1, z1 與b x2, y2 , z2 確定直線 ab 的方向向量是 abx2x1, y2y1, z2z1 .平面法向量假如 a，那么向量 a 叫做平面的法向量 .二、證明平行問(wèn)題1. 證明線線平行：證明兩直線平行可用a / ba1b1 ,a2b2 ,a3b3r 或2. 證明線面平行a / ba1a2a3.b1b

13、2b3直線 l 的方向向量為 a ，平面的法向量為 n ，且 l，如 an 即 a n3. 證明面面平行0 就 a /.平面的法向量為三、證明垂直問(wèn)題1. 證明線線垂直n1 ，平面的法向量為n2 ，如n1 / n2即 n1n2 就/.證明兩直線垂直可用2. 證明線面垂直aba ba1b1a2b2a3b30直線 l 的方向向量為 a ，平面的法向量為 n，且 l，如3. 證明面面垂直a/n即 an 就 a.平面的法向量為n1 ，平面的法向量為n2 ，如 n1n2 即 n1n20 就.四、夾角1. 求線線夾角設(shè) aa1, a2 , a3 ， b a b| a | | b | cosb1,b2, b

14、3 ，0 ,90 為一面直線所成角，就：a,b；cosa, ba b| a | |b |a1b1a2a 2a2b2 a2b2a3b3b2； cos| cosb 2a, b| .2. 求線面夾角123123如圖，已知 pa 為平面的一條斜線， n 為平面的一個(gè)法向量，過(guò) p 作平面的垂線 po ，連結(jié) oa 就pao 為斜線 pa 和平面所成的角，記為易得sin| sinop, ap2 | cosop, ap| cos3. 求面面夾角n, ap| cosn, pa| n pa |p.n| n |pa |設(shè) n 、 n 分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，oa1當(dāng)法向量2n1 、n2 同時(shí)指向二面角

15、內(nèi)或二面角外時(shí)，二面角的大小為n1, n2；當(dāng)法向量五、距離n1 、 n2一個(gè)指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時(shí)，二面角的大小為n1,n2.1. 求點(diǎn)點(diǎn)距離設(shè) ax1 , y1, z1 ， bx2, y2, z2 ，d a,b x2x 2 y2y 2 z2z 2111| ab |abab xx 2 yy 2 zz 22. 求點(diǎn)面距離212121如圖， a 為平面任一點(diǎn)，已知 pa 為平面的一條斜線， n 為平面的一個(gè)法向量，過(guò)p 作平面的垂線 po ，連結(jié) oa 就pao 為斜線 pa 和平面所成的角，記為易得| po | | pa| sin| pa | |cos3. 求線線距離pa, n| pa| pa n | pa | | n | pa n |.| n|求異面直線間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接運(yùn)算. 如圖，設(shè)兩條異面直線 a 、b 的公垂線的方向向量為n,這時(shí)分別在 a 、 b 上任取 a 、 b 兩點(diǎn)，就向量在n 上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a 、b 的距離 . 即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向