國(guó)立臺(tái)南大學(xué)數(shù)學(xué)教育系課件

1、 因數(shù) vs 倍數(shù) 國(guó)立臺(tái)南大學(xué)數(shù)學(xué)教育系 謝 堅(jiān)2是不是0.1的倍數(shù)？4是不是2的倍數(shù)(2倍)?2是不是4的倍數(shù)(0.5倍)？ 倍數(shù)有兩種意義:兩個(gè)數(shù)量之間的(倍數(shù))關(guān)係： 例如：0.2的10倍是2，2是4的0.5倍， 這種倍數(shù)關(guān)係是比值的概念。整數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)：例如：12、24、60都是6的倍數(shù)。 討論兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)係時(shí)，這兩個(gè)數(shù)量可以是分?jǐn)?shù)、整數(shù)或小數(shù)。 這兩個(gè)數(shù)量也可以有分?jǐn)?shù)倍、整數(shù)倍或小數(shù)倍的關(guān)係。 0.2公斤是0.5公斤的0.4倍。5倍是比值的概念：甲是乙的5倍，指的是當(dāng)基準(zhǔn)量乙為1時(shí)，比較量甲是5。 5倍是等價(jià)類：10是2的5倍，7是1.4的5倍，2是2/5的5倍，2.5是0.

2、5的5倍。 何謂因數(shù)？何謂倍數(shù)？ 人們?yōu)槭颤N要發(fā)明因數(shù)與倍數(shù)？ 學(xué)會(huì)因、倍數(shù)對(duì)我們有那些幫助？ 數(shù)學(xué)上因、倍數(shù)的定義：是的因數(shù)(是的倍數(shù)) ，都是整數(shù)。 。 存在一個(gè)整數(shù)，使得 。 為什麼要規(guī)定？(整數(shù))的因數(shù)與倍數(shù)：想要透過(guò)整數(shù)的乘法性結(jié)構(gòu)來(lái)探討整數(shù)之間的關(guān)係。針對(duì)一個(gè)整數(shù)12： 2可以乘法性的組成12，所以2就是12的因數(shù)。 12可以乘法性的組成24，所以24就是12的倍數(shù)。 0是不是偶數(shù)？0.2是不是偶數(shù)？3.0是不是偶數(shù)？ 何謂奇數(shù)？何謂偶數(shù)？ 數(shù)學(xué)上如何給奇、偶數(shù)下定義?2的倍數(shù)就是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的整數(shù)就是奇數(shù)。 是不是的倍數(shù)？ b=aq (a=2，b=0，q=0) 國(guó)小、國(guó)中、

3、高中階段如何定義 奇數(shù)與偶數(shù)？因數(shù)因數(shù)問(wèn)題是指定一個(gè)正整數(shù)，詢問(wèn)以哪些正整數(shù)為單位量，可以乘法性地合成這個(gè)指定的正整數(shù)。12個(gè)蘋果想要分裝成幾袋，讓每一袋的蘋果一樣多，可以有那些分法? 可以分成多少袋? 每一袋可以有幾個(gè)蘋果?2袋、2個(gè)蘋果，那個(gè)是因數(shù)概念?以2(個(gè)蘋果)為單位量，可以乘法性地合成12(個(gè)蘋果)，所以2是12的因數(shù)。以5 (個(gè)蘋果)為單位量，不可以乘法性地合成12 (個(gè)蘋果) ，所以5不是12的因數(shù)。2可以乘法性組成12(2的6倍是12)，因此2是12的因數(shù)，此時(shí)6也是12的因數(shù)嗎？有那些能力後學(xué)童可以理解2是12的因數(shù)，6也一定是12的因數(shù)? 倍數(shù)問(wèn)題是指定一個(gè)正整數(shù)做為單位

4、量，詢問(wèn)以此正整數(shù)為單位量可以乘法性地生成哪些正整數(shù)。以12為單位量，可以乘法性地合成24、36，所以24、36都是12的倍數(shù)。教師應(yīng)澄清倍數(shù)的二種意義。如何引入因數(shù)與倍數(shù)? 國(guó)小階段如何定義因數(shù)與倍數(shù)? 國(guó)中階段如何定義因數(shù)與倍數(shù)? 高中階段如何定義因數(shù)與倍數(shù)? 國(guó)小階段國(guó)小階段： 分別引入因數(shù)與倍數(shù)的意義，再幫助學(xué)童發(fā)現(xiàn)兩者間的關(guān)係。 高中階段高中階段： 只定義一次，將因、倍數(shù)視為相同的意義，是的因數(shù)，也可以說(shuō)是的倍數(shù)。 國(guó)中階段國(guó)中階段： 如何引入因、倍數(shù)的定義較恰當(dāng)？何謂質(zhì)數(shù)？何謂合數(shù)？人們有了因數(shù)概念後，為什麼還要引入質(zhì)數(shù)？引入質(zhì)數(shù)有那些幫助？為什麼1不是質(zhì)數(shù)? 可以由加法性結(jié)構(gòu)來(lái)討

5、論二個(gè)數(shù)的關(guān)係，也可以由乘法性結(jié)構(gòu)來(lái)討論二個(gè)數(shù)的關(guān)係。例如：6比2大4。6是2的3倍。 可以由加法性結(jié)構(gòu)來(lái)討論一個(gè)數(shù)的組成方式，也可以由乘法性結(jié)構(gòu)來(lái)討論一個(gè)數(shù)的組成方式。 由加法性結(jié)構(gòu)討論一個(gè)數(shù)的組成：12是由12個(gè)1合起來(lái)組成的。38是由30和8合起來(lái)組成的。42是由4個(gè)10和2個(gè)1合起來(lái)組成的。 國(guó)小中、 低年級(jí)的學(xué)童，比較習(xí)慣由加法性結(jié)構(gòu)來(lái)探討一個(gè)數(shù)的組成關(guān)係。 由乘法性結(jié)構(gòu)討論一個(gè)數(shù)的組成：12是由2個(gè)6合成的。 12是由4個(gè)3合成的。 12是由223組成的。 3和6等都是乘法性組成12的元素，也就是12的因數(shù)。2和3是乘法性組成12的基本元素，也就是12的質(zhì)因數(shù)。 高年級(jí)開始學(xué)習(xí)因數(shù)

6、與倍數(shù)，以及比與比值希望學(xué)童能由乘法性結(jié)構(gòu)來(lái)探討整數(shù)之間的關(guān)係。暫行綱要只討論兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)係，也就是說(shuō)，只討論那些因數(shù)可以乘法性的組成12，12可以乘法性的組成那些倍數(shù)。 當(dāng)學(xué)童能掌握由乘法性組成元素來(lái)討論一個(gè)整數(shù)的意義時(shí)，可以開始引入乘法性組成基本元素(質(zhì)數(shù))的概念。因數(shù)是組成一個(gè)整數(shù)的元素，質(zhì)數(shù)是組成一個(gè)整數(shù)的基本元素。 暫行綱要在國(guó)中階段才開始討論那些基本元素（質(zhì)數(shù)概念）可以乘法性的組成一個(gè)數(shù)，更方便的探討整數(shù)之間的關(guān)係，讓解題更有效率。國(guó)小階段只討論12與一個(gè)數(shù)的關(guān)係：1262，6是12的因數(shù)。12224，24是12的倍數(shù)。國(guó)中階段開始討論12是由那些基本元素（質(zhì)數(shù)概念）乘法性組成。

7、12223開始討論因數(shù)與倍數(shù)。請(qǐng)區(qū)分下列名詞的意義：因數(shù)分解 vs 質(zhì)因數(shù)分解樹狀圖 vs 短除法因數(shù) vs 質(zhì)因數(shù)質(zhì)因數(shù)分解法vs 短除法因數(shù)分解是尋找一個(gè)整數(shù)的乘法性組成元素，而質(zhì)因數(shù)分解是尋找一個(gè)整數(shù)的乘法性組成基本元素。123412223 26 1不是質(zhì)數(shù)1121是12的因數(shù)利用質(zhì)因數(shù)分解，就能夠透過(guò)乘法性的基本元素(質(zhì)數(shù))來(lái)判斷兩個(gè)整數(shù)是否相等，或透過(guò)兩個(gè)整數(shù)間基本元素的關(guān)係，更有效率的找出(最大)公因數(shù)或(最小)公倍數(shù)。 何謂短除法？ 那些問(wèn)題可以用短除法幫助解題？ 為什麼可以透過(guò)短除法求最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)？ 可以透過(guò)短除法求出一個(gè)整數(shù)所有的因數(shù)嗎? 國(guó)小學(xué)童是否能夠理解短除法

8、解題的意義?透過(guò)樹狀圖或短除法引入因數(shù)分解，何者比較恰當(dāng)（例如48)?透過(guò)樹狀圖或短除法引入質(zhì)因數(shù)分解，何者比較恰當(dāng)（例如48)?為什麼是任意整數(shù)的乘法性組成元素(因數(shù))，但是不是乘法性組成的基本元素(質(zhì)數(shù))?為什麼是12的因數(shù)，但是不是12的質(zhì)因數(shù)?如果將當(dāng)做乘法性的基本元素(質(zhì)數(shù))，會(huì)讓組成同一個(gè)整數(shù)的基本元素方式不唯一，對(duì)找出二個(gè)整數(shù)共同的基本元素沒(méi)有幫助，因此數(shù)學(xué)上將排除在質(zhì)數(shù)之外。 1234322 3221 322111 如何求兩個(gè)數(shù)的(最大)公因數(shù)或 (最小)公倍數(shù)？國(guó)小階段： 利用乘法性組成元素的概念(兩個(gè)數(shù)的關(guān)係)，透過(guò)嘗試錯(cuò)誤，找出所有的因數(shù)或部份範(fàn)圍內(nèi)的倍數(shù)，再透過(guò)比較活動(dòng)

9、得到答案。 國(guó)中階段： 利用乘法性組成基本元素(質(zhì)數(shù))的概念，將這些整數(shù)質(zhì)因數(shù)分解，透過(guò)找出共同組成這些整數(shù)的基本元素(最大公因數(shù)) ，或組成這些整數(shù)的最少基本元素(最小公倍數(shù))得到答案。最大公因數(shù)：以(18，24)？為例：國(guó)小階段：找出所有的公因數(shù)，再透過(guò)比較活動(dòng)找出最大的公因數(shù)：公因數(shù)是：1、2、3、6； 所以最大公因數(shù)是6。 國(guó)中階段： 透過(guò)質(zhì)因數(shù)分解，尋找組成這些整數(shù)共同的基本元素大公因數(shù)是23。 為什麼23是最大公因數(shù)?30235的因數(shù)有那些?1是30的因數(shù)。2、3、5是30的因數(shù)。23、25、35是30的因數(shù)。235是30的因數(shù)別

10、找出18和24的因數(shù)(連乘積)，就可以知道23是最大公因數(shù)。 有足夠解題經(jīng)驗(yàn)後，就會(huì)發(fā)現(xiàn)最大公因數(shù)是兩數(shù)共同質(zhì)因數(shù)的乘積。 成人常使用質(zhì)因數(shù)分解法或短除法解決求最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)的問(wèn)題，這兩種解題的方式有那些相同處，有那些不同處？ 短除法求最大公因數(shù)：2）18 24 3）9 12 3 4國(guó)小學(xué)童知道2、3都是兩數(shù)的公因數(shù)，但無(wú)法理解為什麼23會(huì)是最大公因數(shù)？國(guó)、高中的學(xué)童能理解嗎? 質(zhì)因數(shù)分解法求最大公因數(shù)：18 233242223短除法求最大公因數(shù)：2）18 24 3）9 12 3 4 學(xué)童應(yīng)該先學(xué)會(huì)質(zhì)因數(shù)分解法、還是先學(xué)會(huì)短除法? 短除法是使用質(zhì)因數(shù)分解法求最大公因數(shù)時(shí)的摘要記錄。如果

11、學(xué)童不會(huì)判斷2、3、5等數(shù)的倍數(shù)，短除法無(wú)用武之地。 何謂輾轉(zhuǎn)相除法？ 它可以解決那些問(wèn)題？ 國(guó)小階段適合引入嗎？. (a，b)(b，r)(12、20)(12、2012) 假設(shè)甲是12和20的公因數(shù)，甲一定是(2012)的公因數(shù)。(12、20)(12、2012)(12、8)(128、8)(4、8)4 12 20 1 8 12 1 4 8 8 2 0用短除法求15，20，30時(shí)， 可以先提公因數(shù)10嗎？ 用短除法求21，20，30時(shí)， 可以先提公因數(shù)10嗎？ 可以先提質(zhì)因數(shù)7嗎？ 你怎麼知道做法是正確的？15，20，30=？國(guó)小階段： 利用整數(shù)倍關(guān)係，找出部份範(fàn)圍的公倍數(shù)，再透過(guò)比較活動(dòng)，找出最

12、小公倍數(shù)。 先依序求出某一個(gè)整數(shù)的倍數(shù)，並判斷是否為其它整數(shù)的倍數(shù)。國(guó)中階段:透過(guò)質(zhì)因數(shù)分解，尋找最少可以組成這些數(shù)的乘法性基本元素。 最小公倍數(shù)是。短除法: 3）15 20 30 5）5 20 10 2）1 4 2 1 2 1 最小公倍數(shù)是。質(zhì)因數(shù)分解法與短除法的關(guān)係：短除法，只是使用質(zhì)因數(shù)分解法求最小公倍數(shù)的摘要記錄。學(xué)童應(yīng)該先學(xué)會(huì)質(zhì)因數(shù)分解法，還是先學(xué)會(huì)短除法?國(guó)小學(xué)童能理解短除法的意義嗎？ 用短除法求15，20，30時(shí)，可以先提公因數(shù)10嗎？ 因?yàn)槎坛ㄊ鞘褂觅|(zhì)因數(shù)分解法解題的記錄，因此使用短除法求最小公倍數(shù)時(shí)，概念上只能提質(zhì)因數(shù)。2 2）20 3020 30 1010）20 3020

13、 30 5 5）10 1510 15 2 32 3 2 32 3 可以將二次提質(zhì)因數(shù)的過(guò)程，摘要的使用一個(gè)算式(步驟)記下來(lái)。先提公因數(shù)10時(shí)，為什麼答案會(huì)變成300(正確答案60的5倍)？10）15 20 30 10）15 20 30 3）15 2 3 3) 3 2 3 5 2 1 1 2 1你接受右邊的記法嗎?用短除法求21，20，30時(shí)， 可以先提公因數(shù)10嗎？ 可以先提質(zhì)因數(shù)7嗎？ 你怎麼知道做法是正確的？甲=235乙=23 7丙=235丁=2 711 先提2最有效率，先提7最沒(méi)有效率。請(qǐng)區(qū)分不能不能與沒(méi)有效率沒(méi)有效率。18，24？國(guó)小階段：找出某個(gè)範(fàn)圍內(nèi)的公倍數(shù)，再透過(guò)比較活動(dòng)找出最

14、小的公倍數(shù)：18的倍數(shù)：18、36、54、72； 24的倍數(shù)：24、48、72、96； 所以最大公因數(shù)是72。國(guó)小階段：先找出某一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，再判斷是否為另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)：18的倍數(shù)：18、36、54、72；18、36、54不是24的倍數(shù)；72是24的倍數(shù)，所以72是兩數(shù)的最小公倍數(shù)。 質(zhì)因數(shù)分解法求最小公倍數(shù):18 233242223最小公倍數(shù)(23)223為什麼最小公倍數(shù)是(23)223?18 2 2 3 3324222 2 3 3(2223)2是18的倍數(shù)?(2223)3是18的倍數(shù)?(2223)3是18的倍數(shù)，所以是兩數(shù)的最小公倍數(shù)。7535 520 52230352(352)2是75和

15、20的倍數(shù)嗎?(352)5是75和20的倍數(shù)嗎?(352)25是75和20的倍數(shù)嗎?有一些蘋果，3個(gè)一數(shù)，5個(gè)一數(shù)，都可以數(shù)完，最少有多少個(gè)蘋果？有一些蘋果，平分成3堆可以分完，平分成5堆也可以分完，請(qǐng)問(wèn)最少多少個(gè)蘋果？為什麼這兩個(gè)問(wèn)題都可以透過(guò)求最小公倍數(shù)的方式得到答案？ 三個(gè)一數(shù)可以數(shù)完。 平分成三堆，剛好分完。 意義是否相同？ a，b是整數(shù)，試找出：ab，(a,b)，a,b的關(guān)係?ab=(a,b)a,b。a，b，c是整數(shù)，試找出abc， (a,b,c) ，a,b,c的關(guān)係?何謂兩數(shù)互質(zhì)?a，b兩數(shù)互質(zhì) (a,b)=1 何謂三數(shù)互質(zhì)?a，b，c三數(shù)互質(zhì) (a,b,c)=1 上述定義合理嗎?

16、 (a,b)=(b,c)=(c,a)=1 a，b，c兩兩互質(zhì)。 (a,b,c)=1 a，b，c三數(shù)沒(méi)有共同的質(zhì)因數(shù)。(a,b)(b,c)(c,a)=1時(shí)(a,b,c)1 a,b,cabc(a,b,c) a,b,cabcaad，bbd，ccd(a，b)(b，c)(c，a)1(a,b,c)da,b,cabcd(a,b,c) (a,b,c) a,b,cad,bbd,ccd(a,b)p(b,c)q(c,a)r(a,b,c)da,b,c(abcd)/(pqr)(a,b,c) (a,b,c) a,b,c pqr ThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiR

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