現(xiàn)代光學(xué)第2章 線性系統(tǒng)概論ppt課件

1、第2章 線性系統(tǒng)概論1 1第2章 線性系統(tǒng)概論2.1線性系統(tǒng)的根本概念2.2線性系統(tǒng)分析方法2.3復(fù)合系統(tǒng)的傳送函數(shù)第2章 線性系統(tǒng)概論2 22.1線性系統(tǒng)的根本概念1. 系統(tǒng)及其分類所謂系統(tǒng)，是指一組相互關(guān)聯(lián)的事物構(gòu)成的總體，如光學(xué)系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)、管理系統(tǒng)和指揮系統(tǒng)等。這樣定義的系統(tǒng)可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)。這里僅討論物理系統(tǒng)。一個(gè)物理系統(tǒng)是這樣一種安裝： 當(dāng)對(duì)其作用一個(gè)鼓勵(lì)時(shí)，它就產(chǎn)生一個(gè)呼應(yīng)。其表示圖如圖2.1-1所示。第2章 線性系統(tǒng)概論3 3圖 2.1-1物理系統(tǒng)表示框圖 第2章 線性系統(tǒng)概論4 42. 線性系統(tǒng)的定義及其算符表示假設(shè)一個(gè)鼓勵(lì)f1(x)作用于某系統(tǒng)產(chǎn)生的呼應(yīng)為g1(

2、x)，而鼓勵(lì)f2(x)產(chǎn)生的呼應(yīng)為g2(x)， 用符號(hào)表示為f1(x)g1(x),f2(x)g2(x) (2.1-1)假設(shè)系統(tǒng)滿足可加性f1(x)+f2(x)g1(x)+g2(x) (2.1-2)第2章 線性系統(tǒng)概論5 5和齊次性(均勻性) c1f1(x)c1g1(x) (2.1-3)式中： c1為恣意常數(shù)。這樣的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。綜合式(2.1-2)和式(2.1-3),線性系統(tǒng)的定義可表示為 c1f1(x)+c2f2(x)c1g1(x)+c2g2(x) (2.1-4)第2章 線性系統(tǒng)概論6 6描畫系統(tǒng)輸入、輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程是把一個(gè)鼓勵(lì)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的一個(gè)呼應(yīng)，這種轉(zhuǎn)換也可以用一個(gè)算子表示為

3、g(x)=Lf(x) (2.1-5)對(duì)于線性系統(tǒng)，那么有 c1g1(x)+c2g2(x)=Lc1f1(x)+c2f2(x) (2.1-6)第2章 線性系統(tǒng)概論7 73. 線性不變系統(tǒng)假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)輸入函數(shù)的位置挪動(dòng)時(shí)，輸出函數(shù)的外形不變，其輸出函數(shù)位置僅產(chǎn)生一樣的挪動(dòng)，那么稱該系統(tǒng)為位移不變系統(tǒng)，即假設(shè)Lf(x)=g(x)那么Lf(xx0)=g(xx0) (2.1-7)式中: x0為實(shí)常數(shù)。第2章 線性系統(tǒng)概論8 8一個(gè)系統(tǒng)既是線性的，又是位移不變的，那么稱為線性位移不變系統(tǒng)，簡稱為線性不變系統(tǒng)。該系統(tǒng)用算符表示為 (2.1-8)式中: x1和x2為實(shí)常數(shù)。第2章 線性系統(tǒng)概論9 92.2線性

4、系統(tǒng)分析方法2.2.1線性系統(tǒng)對(duì)基元函數(shù)的呼應(yīng)1. 脈沖呼應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的輸入是一個(gè)用函數(shù)表示的脈沖時(shí)，其對(duì)應(yīng)的輸出稱為系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)。假設(shè)線性系統(tǒng)對(duì)位于x=x0處的輸入脈沖(xx0)的響運(yùn)用h(x；x0)表示，即 (2.2-1)那么，在原點(diǎn)處的脈沖輸入(x)，其輸出為 (2.2-2)第2章 線性系統(tǒng)概論10 10普通來說，h(x；x0)和h(x；0)具有不同的函數(shù)方式。但對(duì)于線性不變系統(tǒng)，由于位移不變性，它對(duì)x=x0處的輸入脈沖(xx0)的呼應(yīng)可以寫成 (2.2-3)第2章 線性系統(tǒng)概論11 11可見，線性不變系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)僅由察看點(diǎn)x與輸入作用點(diǎn)x0間的間隔決議，而與單獨(dú)x、x0的位置無關(guān)。因此

5、，線性不變系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)可以簡化為 (2.2-4a)和 (2.2-4b)第2章 線性系統(tǒng)概論12 122. 復(fù)指數(shù)函數(shù)的呼應(yīng)當(dāng)線性不變系統(tǒng)的輸入為復(fù)指數(shù)函數(shù)時(shí)，其輸出為 (2.2-5)式中： 0為一恣意實(shí)參數(shù)。假設(shè)輸入為位移方式(其中x0為實(shí)常數(shù))，那么由線性性質(zhì)可得 (2.2-6)第2章 線性系統(tǒng)概論13 13由位移不變性得 (2.2-7)因此有 (2.2-8)函數(shù)g(xx0; 0)是g(x; 0)的位移方式，它們普通是復(fù)函數(shù)。第2章 線性系統(tǒng)概論14 14把g(x; 0)表示成復(fù)數(shù)方式式中： H(x; 0)和(x; 0)分別為g(x; 0)的振幅和相位函數(shù)。并由此得到第2章 線性系統(tǒng)概論1

6、5 15運(yùn)用式(2.2-8)可得 (2.2-9)即 (2.2-10)第2章 線性系統(tǒng)概論16 16因此，輸出g(x; 0)應(yīng)具有的方式為 (2.2-11)即對(duì)線性不變系統(tǒng)有 (2.2-12)第2章 線性系統(tǒng)概論17 17普通來說，假設(shè)一個(gè)線性不變系統(tǒng)的特征函數(shù)為(x; 0)，當(dāng)系統(tǒng)的輸入也是(x; 0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出為 (2.2-13)第2章 線性系統(tǒng)概論18 18式中： H(0)為一復(fù)比例系數(shù)，它表示系統(tǒng)特征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的輸出與該特征函數(shù)之比， 與空間位置變量x無關(guān)，僅取決于參量0的大小。它可用復(fù)數(shù)方式表示為式中: A(0)為復(fù)振幅，表示輸出函數(shù)的衰減或增益； (0)為相位，表示輸出函數(shù)沿x軸

7、位移量的大小。這款式(2.2-13)可改寫為 (2.2-14) 第2章 線性系統(tǒng)概論19 193. 余弦函數(shù)的呼應(yīng)當(dāng)線性不變系統(tǒng)的傳送函數(shù)H()是厄米函數(shù)，即H()=H*()時(shí)，系統(tǒng)對(duì)余弦函數(shù)的呼應(yīng)仍為余弦函數(shù)。設(shè)輸入為cos20 x，那么輸出為第2章 線性系統(tǒng)概論2020(2.2-15) 第2章 線性系統(tǒng)概論21 212.2.2線性系統(tǒng)的空間域和頻率域分析方法1. 空間域分析法空間域分析法的要點(diǎn)是用一個(gè)空間變量的函數(shù)，即脈沖呼應(yīng)函數(shù)h(x)來表征系統(tǒng)的特性。對(duì)任一復(fù)雜的輸入函數(shù)f(x)，用脈沖分割法將其分解為基元函數(shù)的線性組合，這些基元可用函數(shù)表示。各基元呼應(yīng)的同樣的線性組合就是f(x)的呼

8、應(yīng)g(x)。對(duì)于一個(gè)實(shí)踐的線性系統(tǒng)，脈沖呼應(yīng)函數(shù)h(x)應(yīng)滿足 (2.2-16)這一條件要求系統(tǒng)當(dāng)輸入函數(shù)有界時(shí)，輸出函數(shù)必需有界。第2章 線性系統(tǒng)概論2222設(shè)一個(gè)復(fù)雜的輸入函數(shù)f(x)可以近似表示為如圖2.2-1所示的n個(gè)窄脈沖之和。我們調(diào)查第i個(gè)窄脈沖，該脈沖坐標(biāo)為xi，寬度為xi，高度為f(xi)，該脈沖的面積為 f(xi)xi。 當(dāng)xi0時(shí)，fi(x)就是強(qiáng)度等于脈沖面積的函數(shù)，而該函數(shù)位于x=xi處，即 (2.2-17)第2章 線性系統(tǒng)概論2323圖 2.2-1函數(shù)的脈沖分割 第2章 線性系統(tǒng)概論2424這樣，輸入函數(shù)就可以分解為函數(shù)的線性組合 (2.2-18)當(dāng)式(2.2-17)

9、所示的輸入作用于系統(tǒng)時(shí)，由線性系統(tǒng)的齊次性可知其輸出gi(x)為脈沖呼應(yīng)的f(xi)xi倍，即 (2.2-19)假設(shè)系統(tǒng)為線性不變系統(tǒng)，那么 (2.2-20)第2章 線性系統(tǒng)概論2525由疊加原理，f(x)對(duì)應(yīng)的輸出g(x)分別為 (2.2-21)第2章 線性系統(tǒng)概論2626令窄脈沖寬度xi0，脈沖數(shù)n，運(yùn)用h(x)滿足的條件，上面式(2.2-21)的極限變?yōu)橐韵路e分: (2.2-22)第2章 線性系統(tǒng)概論2727以上討論闡明： 對(duì)于線性系統(tǒng)，任何復(fù)雜鼓勵(lì)的呼應(yīng)都是輸入函數(shù)與脈沖呼應(yīng)函數(shù)乘積的積分； 對(duì)于線性不變系統(tǒng)，任何復(fù)雜鼓勵(lì)的呼應(yīng)都是輸入函數(shù)與脈沖呼應(yīng)函數(shù)的卷積，即g(x)=f(x)*h

10、(x) (2.2-23)第2章 線性系統(tǒng)概論28282. 頻率域分析法1) 輸入為簡單的簡諧函數(shù)一個(gè)單一頻率的無限波列可表示為 (2.2-24)式中: F()為復(fù)振幅。系統(tǒng)對(duì)該輸入所產(chǎn)生的輸出為同頻率的簡諧波，即 (2.2-25)第2章 線性系統(tǒng)概論2929式中: G()為輸出簡諧波的復(fù)振幅，且 (2.2-26)或 (2.2-27)第2章 線性系統(tǒng)概論30302) 輸入為周期函數(shù)設(shè)輸入的周期函數(shù)f(x)滿足狄里赫利條件，那么可展開為傅里葉級(jí)數(shù) (2.2-28)式中: 為函數(shù)f(x)的基頻。對(duì)輸入的n次諧波分量fn(x)=cnei2nx，對(duì)應(yīng)的輸出為 (2.2-29)第2章 線性系統(tǒng)概論31 3

11、1那么總輸出為一切輸出分量的疊加，即 (2.2-30)顯然，對(duì)不同的諧波頻率n，H(n)有不同的值，它反映了線性不變系統(tǒng)對(duì)不同頻率諧波的呼應(yīng)特性，所以，也把傳送函數(shù)稱為頻率呼應(yīng)。第2章 線性系統(tǒng)概論32323) 輸入為非周期函數(shù)假設(shè)輸入的非周期函數(shù)f(x)的傅里葉變換F()存在，那么f(x)可表示為 (2.2-31)即分解為頻率延續(xù)變化的諧波分量之和，相應(yīng)于頻率為的諧波振幅為F() d。對(duì)應(yīng)輸入f(x)的輸出為 (2.2-32)第2章 線性系統(tǒng)概論3333式中: G()是輸出函數(shù)g(x)的頻譜(傅里葉變換)，且 (2.2-33)或 (2.2-34)第2章 線性系統(tǒng)概論34343. 線性不變系統(tǒng)

12、傳送函數(shù)與脈沖呼應(yīng)的關(guān)系對(duì)于線性不變系統(tǒng)，由空間域分析的結(jié)果有： 當(dāng)輸入為函數(shù)時(shí)，輸出就是脈沖呼應(yīng)h(x)； 其輸入函數(shù)的頻譜為 (2.2-35) 由頻率域分析可知，輸出函數(shù)的頻譜為 (2.2-36)第2章 線性系統(tǒng)概論3535對(duì)式(2.2-36)進(jìn)展傅里葉逆變換，得到輸出函數(shù) (2.2-37)可見，對(duì)于線性不變系統(tǒng)，脈沖呼應(yīng)h(x)與傳送函數(shù)H()構(gòu)成了一個(gè)傅里葉變換對(duì)。第2章 線性系統(tǒng)概論36362.3復(fù)合系統(tǒng)的傳送函數(shù)1. 串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)設(shè)有兩個(gè)線性不變系統(tǒng)1和2，其脈沖呼應(yīng)分別為h1(x)和h2(x)，傳送函數(shù)分別為H1() 和H2()，構(gòu)成圖2.3-1所示的串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)。第2章 線性系統(tǒng)概論3

13、737圖 2.3-1串聯(lián)復(fù)合系統(tǒng)表示圖第2章 線性系統(tǒng)概論3838串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的特點(diǎn)是第一個(gè)系統(tǒng)的輸出就是第二個(gè)系統(tǒng)的輸入，第二個(gè)系統(tǒng)的輸出那么是復(fù)合系統(tǒng)的輸出。因此，由空間域分析方法可知，第一個(gè)系統(tǒng)的輸出為第二個(gè)系統(tǒng)的輸出為 (2.3-1) 第2章 線性系統(tǒng)概論3939對(duì)式(2.3-1)進(jìn)展傅里葉變換，運(yùn)用卷積定理得到串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)輸出的頻譜為 (2.3-2)因此，串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的傳送函數(shù)等于兩個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)傳送函數(shù)的乘積。相應(yīng)的調(diào)制傳送函數(shù)和相位傳送函數(shù)分別為第2章 線性系統(tǒng)概論4040以上結(jié)論推行到n個(gè)線性不變系統(tǒng)組成的串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)，其傳送函數(shù)、調(diào)制傳送函數(shù)和相位傳送函數(shù)分別為 (2.3-3)第2章 線性系統(tǒng)概論41 412. 并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)圖2.3-2所示為兩個(gè)獨(dú)立的線性不變系統(tǒng)的并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)，兩獨(dú)立系統(tǒng)的傳送函數(shù)分別為第2章 線性系統(tǒng)概論4242圖 2.3-2并聯(lián)復(fù)合系統(tǒng)表示圖第2章 線性系統(tǒng)概論4343由于G()=G1()G2()，因此并聯(lián)復(fù)合系統(tǒng)的傳送函數(shù)為 (2.3-4)第2章 線性系統(tǒng)概論4444即并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的傳送函數(shù)等于各獨(dú)立系統(tǒng)傳送函數(shù)的代數(shù)和。假設(shè)把并聯(lián)地方出現(xiàn)的負(fù)號(hào)