橢圓的幾何性質(精品課件)

1、知識回顧知識回顧1F2Fxyo.M(x,y)(-c,0)(c,0)F1 (0，-c)F2 (0，c)xy0M(x，y).橢圓的標準方程：橢圓的標準方程：)0(12222 babyax焦點在焦點在x軸軸)0(12222 babxay焦點在焦點在y軸軸222cba其中其中你能畫出下面的方程表示的曲線嗎？你能畫出下面的方程表示的曲線嗎？1162522yx我們以前是怎樣畫正弦函數(shù)我們以前是怎樣畫正弦函數(shù) 的圖象的的圖象的)(sinRxxy在橢圓標準方程在橢圓標準方程 (1) 中中 :)b(abyax0122222222byax2222)(byax=1.若以若以-x 代代 x代入代入(1)左邊左邊 ,得

2、得=1結論結論: :橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于y y軸成軸對稱圖形軸成軸對稱圖形2.若以若以-y 代代 y代入代入(1)左邊左邊 ,得得2222)()(byax=12222byax結論結論: :橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于x x軸軸成軸對稱圖形成軸對稱圖形xy0(x,y)(x,-y)(-x,y)一、橢圓的對稱性一、橢圓的對稱性(x,y)xy0結論結論: :橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于y y軸成軸對稱圖形軸成軸對稱圖形橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于x x軸成軸對稱圖形軸成軸對稱圖形一、橢圓的對稱性一、橢圓的對稱性2222)()(byax=2222byax=1橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于原點原點成

3、中心對稱圖形成中心對稱圖形, ,橢圓的橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心對稱中心叫做橢圓的中心 (-x,-y)3.若以若以-x 代代 x且以且以-y 代代 y代入代入 左邊左邊 ,得得12222byax結論結論: :橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于y y軸成軸對稱圖形軸成軸對稱圖形橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于x x軸成軸對稱圖形軸成軸對稱圖形一、橢圓的對稱性一、橢圓的對稱性橢圓的圖形關于橢圓的圖形關于原點原點成中心對稱圖形成中心對稱圖形, ,橢圓的橢圓的對稱中心叫做橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心中心 得到橢圓與得到橢圓與y軸的兩個交點軸的兩個交點:即橢圓與即橢圓與x x軸，軸，y y軸有四個交點軸有四個交

4、點, ,這四個交點叫做這四個交點叫做橢圓的頂點橢圓的頂點。二二 橢圓的頂點橢圓的頂點 由此，得到橢圓的七個特殊點：由此，得到橢圓的七個特殊點：)0 ,()0 ,(), 0(), 0()0 ,()0 ,()0 , 0(212121cFcFbBbBaAaAO、得橢圓與得橢圓與 x 軸的兩個交點，軸的兩個交點，) 0 , a(A1 )0 , a(A2)b, 0(B1 )b, 0(B2) 0 , c(F1 )0 , c (F2xy0 在橢圓的標準方程在橢圓的標準方程 里里, )0( 12222babyax(1) 如果令如果令y=0,就可以求出橢圓與就可以求出橢圓與x軸的交點軸的交點),0(),0(21

5、bBbB、)0,()0,(21aAaA、by同理同理,令令x=0 得得(2)0y時時即令即令ax二二 橢圓的頂點橢圓的頂點1 、 有關概念有關概念) 0 , a(A1 )0 , a(A2)b, 0(B1 )b, 0(B2) 0 , c(F1 )0 , c (F2xy021AA21BB線段線段 、 分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸長軸和和短軸短軸。a和和b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長半軸長長半軸長和和短半軸長短半軸長2a2b它們的長分別等于它們的長分別等于 和和 ，2 、 a,b,c的幾何意義的幾何意義如圖可知：如圖可知：=1A2A1B2B1F2FX0Y=a 在前面我們講到了橢圓的標準方程，當

6、時我們是在前面我們講到了橢圓的標準方程，當時我們是222cab|11FB|21FB|22FB| F|B12令令 ，究竟其中有怎樣的意義呢？，究竟其中有怎樣的意義呢？2 、 a,b,c的幾何意義的幾何意義如圖可知：如圖可知：|11FB在直角三角形在直角三角形 中中，22FOBaFBbOBcOF| ,| ,|2222從而從而222abc所以所以222bac|21FB|22FB= a 在前面我們講到了橢圓的標準方程，當時我們是在前面我們講到了橢圓的標準方程，當時我們是222cab| F|B12這就是我們前面令這就是我們前面令 的幾何意義的幾何意義。222cab 令令 ，究竟其中有怎樣的意義呢？，究竟

7、其中有怎樣的意義呢？1A2A1B2B1F2FX0yabc三三 、范圍、范圍在橢圓標準方程在橢圓標準方程 中中)0(12222babyax122by同理22ax即22by byax| ,| 故而橢圓位于直線故而橢圓位于直線 所圍成的矩形區(qū)域里所圍成的矩形區(qū)域里byax和X0y112222byax122ax因為因為所以所以即即axabyb) 0 ,(2xA) 0 ,(1xA ), 0 (2bB), 0 (1bB四、橢圓的圓扁度及離心率四、橢圓的圓扁度及離心率橢圓的焦距與長軸長的比橢圓的焦距與長軸長的比 ，叫做橢圓的離心率。，叫做橢圓的離心率。ace 程程度度。變變化化反反映映了了橢橢圓圓的的圓圓扁

8、扁( (2 2) )橢橢圓圓的的離離心心率率的的觀察圖象，找出橢圓圓扁度的變化：觀察圖象，找出橢圓圓扁度的變化：（1）離心率范圍：）離心率范圍：0e1當當e接近接近1時，時，c越接近越接近a，b越小，橢圓越扁越小，橢圓越扁當當e接近接近0時，時，c越小，越小，b越大，橢圓越圓越大，橢圓越圓當橢圓的焦點在當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的性質怎么樣呢？軸上時，橢圓的性質怎么樣呢？結論：討論的方法和以上一樣。結論：討論的方法和以上一樣。例例1 求橢圓求橢圓 的長軸和短軸的長，焦點坐標，的長軸和短軸的長，焦點坐標，頂點坐標，離心率，并用描點法畫出它的圖形。頂點坐標，離心率，并用描點法畫出它的圖形。116

9、2522yx解：解： 因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a=10和和2b=8，橢圓的四個頂點是橢圓的四個頂點是:)4 , 0()4, 0()05()0 , 5(2121BBAA、，、31625c由題意由題意a=,b=4,兩個焦點分別是兩個焦點分別是 ,)0 , 3(1F)0 , 3(2F53ace將方程將方程 變形為變形為 ，1162522yx22554xy: ),(50yxx坐標的范圍內算出幾個點的在 x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0. .22554xy根據根據xoy. .xoy將方程將方程 變形為變形為 ，1162522

10、yx22554xy: ),(50yxx坐標的范圍內算出幾個點的在 x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 022554xy根據根據. .xoy將方程將方程 變形為變形為 ，1162522yx22554xy: ),(50yxx坐標的范圍內算出幾個點的在 x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 022554xy根據根據. .xoy將方程將方程 變形為變形為 ，1162522yx22554xy: ),(50yxx坐標的范圍內算出幾個點的在 x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 022554xy根據根據149)1(2

11、2yx819)2(22 yx說出下列橢圓的長軸和短軸的長、頂點坐標、說出下列橢圓的長軸和短軸的長、頂點坐標、焦點坐標、離心率焦點坐標、離心率例例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程求適合下列條件的橢圓的標準方程例例3、 A為為y軸上一點，軸上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦是橢圓的兩個焦點，點，AF1F2為正三角形，且為正三角形，且AF1的中點的中點B恰恰好在橢圓上，求此橢圓的離心率好在橢圓上，求此橢圓的離心率練習、已知斜率為練習、已知斜率為1的直線的直線l經過橢圓經過橢圓x24y24的右焦點交橢圓于的右焦點交橢圓于A，B兩點，求弦長兩點，求弦長|AB|. 離心率離心率 頂點頂點 對稱性對稱性 范

12、圍范圍 圖形圖形橢圓標橢圓標準方程準方程橢圓的幾何性質：橢圓的幾何性質：橢圓的幾何性質：橢圓的幾何性質： 離心率離心率 頂點頂點關于關于x軸，軸，y軸成軸對稱圖形，關于原點成中軸成軸對稱圖形，關于原點成中心對稱圖形心對稱圖形 對稱性對稱性位于直線位于直線所圍成的矩形區(qū)域所圍成的矩形區(qū)域位于直線位于直線 所圍成的矩形區(qū)域所圍成的矩形區(qū)域 范圍范圍 圖形圖形橢圓標橢圓標準方程準方程)0( 12222babyax)0( 12222babxaybyax、bxay、), 0 (), 0 () 0 ,() 0 ,(2121bBbBaAaA、), 0 (), 0 () 0 ,() 0 ,(2121aBaBbAbA、ace 1、求下面橢圓的離心率、求下面橢圓的離心率(1) 13610022yx(2)16422 yx解解:(1) 由由a=10,b=6 得得c=8，所以橢圓的離心率為，所以橢圓的離心率為e=4/5(2) 由由a=4,b=2 得得 c= 所以橢圓的離心率為所以橢圓的離心率為e=32232、求適合下列條