齊次線性方程組齊次線性方程組的概念ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 齊次線性方程組齊次線性方程組齊次線性方程組的概念齊次線性方程組的概念齊次線性方程組的根底解系齊次線性方程組的根底解系齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間一、齊次線性方程組)1(000221122221211212111 nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方程組nxxx21X假設(shè)令假設(shè)令,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211那么那么 1可寫(xiě)成矩陣方式可寫(xiě)成矩陣方式:(2)0X A那么那么 (1) 也可寫(xiě)成向量方式也可寫(xiě)成向量方式:njaaaamjjjj, 2 , 121 若令若令系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的列列向向量量

2、組組）的的為為齊齊次次線線性性方方程程組組（即即向向量量組組1,21naaa那么齊次線性方程組在什么條件下有非零解？那么齊次線性方程組在什么條件下有非零解？當(dāng)方程組有非零解時(shí)，如何求出其一切的解？當(dāng)方程組有非零解時(shí)，如何求出其一切的解？是齊次線性方程組的解，稱(chēng)為零解是齊次線性方程組的解，稱(chēng)為零解.T)0, 0 , 0(X顯然顯然(3)0aaan2211nxxx 由由(3)式可知式可知:假設(shè)方程組假設(shè)方程組(2)只需零解只需零解,即等式即等式AX 0有非零解有非零解RA n齊次線性方程組齊次線性方程組AX 0只需零解只需零解RA= n齊次線性方程組齊次線性方程組a ,a ,a12n 線性無(wú)關(guān)線性

3、無(wú)關(guān),那么那么R(A)=n。a ,a ,a12n假設(shè)方程組假設(shè)方程組(2)有非零解有非零解,那么向量組那么向量組線性相關(guān)線性相關(guān),那么那么R(A)n定理定理證明證明 只需系數(shù)全為零時(shí)成立只需系數(shù)全為零時(shí)成立從而從而反之亦然。反之亦然。0a.aan2211nxxx0002121AA)(A齊次線性方程組的解有兩個(gè)重要的性質(zhì)如下：齊次線性方程組的解有兩個(gè)重要的性質(zhì)如下： 12,0AX1 假假設(shè)設(shè)都是齊次線性方程組都是齊次線性方程組AX 012的解，那么的解，那么也是也是的解，這是由于的解，這是由于二、齊次線性方程組的解空間的解的解0AX齊次線性方程組齊次線性方程組2 假設(shè)假設(shè)那么對(duì)恣意實(shí)數(shù)那么對(duì)恣意

4、實(shí)數(shù)kk,也是也是0AX的解。緣由是的解。緣由是 )00)(kkAkA假設(shè)用假設(shè)用S表示方程組表示方程組(1)的全體解向量所組成的集的全體解向量所組成的集合合那么上述兩個(gè)性質(zhì)即為：那么上述兩個(gè)性質(zhì)即為：SkRkSSSS 112121,. 2,. 1 則則若若則則若若這闡明集合這闡明集合 S 對(duì)向量的線性運(yùn)算封鎖，所以對(duì)向量的線性運(yùn)算封鎖，所以S 構(gòu)構(gòu)成成 的一個(gè)子空間，稱(chēng)其為齊次線性方程組的一個(gè)子空間，稱(chēng)其為齊次線性方程組(1)的解空間。的解空間。nRr ,21設(shè)設(shè)是齊次線性方程組是齊次線性方程組0AX的一組解向量，假設(shè)它滿(mǎn)足以下條件：的一組解向量，假設(shè)它滿(mǎn)足以下條件：1 12,r 線性無(wú)關(guān)；

5、線性無(wú)關(guān)；三、齊次線性方程組的根底解系定義定義0AX 12,r 12,r0AX2方程組方程組的任一解向量都可由的任一解向量都可由線性表出線性表出 那么稱(chēng)向量組那么稱(chēng)向量組是齊次線性方程組是齊次線性方程組的一個(gè)根底解系。的一個(gè)根底解系。 12,r0 AX假設(shè)假設(shè)是齊次線性方程組是齊次線性方程組,21rkkk的一個(gè)根底解系的一個(gè)根底解系 那么，對(duì)恣意常數(shù)那么，對(duì)恣意常數(shù)kkkrr11220 AX也是也是的解，的解，0 AX稱(chēng)這種方式的解為稱(chēng)這種方式的解為的通解，的通解，解齊次線性方程組的關(guān)鍵即求其根底解系，解齊次線性方程組的關(guān)鍵即求其根底解系，進(jìn)而求出通解。進(jìn)而求出通解。 留意留意那么齊次線性方程

6、組那么齊次線性方程組AX 0的根底解系含有的根底解系含有n-r個(gè)向量。個(gè)向量。00001001,1,11,1nrrrnrbbbbB得行最簡(jiǎn)形矩陣得行最簡(jiǎn)形矩陣 對(duì)方程組對(duì)方程組0 AX的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A進(jìn)展初等行變換，進(jìn)展初等行變換，證明證明 nrARnmA )(矩矩陣陣，是是設(shè)設(shè)定理定理(*)112112211111 nrnrrrrnnrrnnrrxbxbxxbxbxxbxbx以以B為系數(shù)矩陣的方程組為系數(shù)矩陣的方程組xxxrrn12,稱(chēng)為方程組稱(chēng)為方程組*的自在變量，的自在變量， 0 AX由于由于A與與B的行向量組等價(jià)，故的行向量組等價(jià)，故 與與*同解同解 恣意給定恣意給定nrrxxx

7、,21 一組數(shù)值，代入到一組數(shù)值，代入到*中都可以求出中都可以求出*的一個(gè)解，從而得的一個(gè)解，從而得0 AX的一個(gè)解。的一個(gè)解。(*)100,010,00121 nrrxxx nrrxxx21如今，如今， 令令分別取以下分別取以下n-r 組數(shù)值組數(shù)值0 AX代入代入*可求出可求出的的n-r 個(gè)解，設(shè)為個(gè)解，設(shè)為*)*(*100,010,001, 121221111 rnrrnrnrrdddddd ba rnnrrlll 2211由于向量組由于向量組*線性無(wú)關(guān)，按定理，加長(zhǎng)的線性無(wú)關(guān)，按定理，加長(zhǎng)的向量組向量組*也是線性無(wú)關(guān)的，這樣就得線性方也是線性無(wú)關(guān)的，這樣就得線性方程組程組(1) 的的 n

8、-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。0 AX),(21nlll b下面，我們?cè)僮C明下面，我們?cè)僮C明的任一解的任一解rn ,21都可由都可由線性表出且線性表出且令令0 AXa那么那么 仍仍是是的解，并且的解，并且NoImagernnrrlllb2211nrrrrnrrnnrrrrlllllddlddlddl211121221111100010001,ba rnnrrlll 22110001rdd rnnrrlll 2211b它應(yīng)滿(mǎn)足它應(yīng)滿(mǎn)足*的每一個(gè)方程，的每一個(gè)方程， 代入代入*解得解得=0 也就是也就是 即即 021 rddda0 AX是齊次線性方程組是齊次線性方程組 rn ,21由定義，由

9、定義，的根底解系，即證明了當(dāng)?shù)母捉庀担醋C明了當(dāng) RA= r n 時(shí)齊次時(shí)齊次0 AX線性方程組線性方程組中有中有n- r個(gè)自在變量，個(gè)自在變量，使根底解系由使根底解系由n- r個(gè)解向量組成。個(gè)解向量組成。闡明闡明方程組的根底解系不是獨(dú)一的方程組的根底解系不是獨(dú)一的方程組的根底解系又稱(chēng)為解空間的基方程組的根底解系又稱(chēng)為解空間的基.kkkxrnrn 2211假設(shè)假設(shè) 是是 的根底解系，的根底解系， 那么其通解為那么其通解為 rn, 210 Ax.,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中rnkkk 1312) 1() 1(321131111111rrrrA解解 對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)展初等行變換，化成階梯對(duì)系數(shù)

10、矩陣進(jìn)展初等行變換，化成階梯形矩陣形矩陣?yán)?求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組 21004200111123221rrr00002100111100002100101112rr由由 知方程組有非零解且與下面方程組知方程組有非零解且與下面方程組同解同解42 )(AR032030432143214321xxxxxxxxxxxx02043421xxxxx42,xx選選 為自在變量，得為自在變量，得 )1(243421xxxxx 令令 0, 142 xx解得解得 1110 0 ( , , , )T令令 1,042 xx解得解得T)1 , 2 , 0 , 1(2 ( , , , )110 0TT)

11、1 , 2 , 0 , 1 ( 12010011214321ccXxxxx21,cc從而得到一個(gè)根底解系從而得到一個(gè)根底解系方程組的通解為方程組的通解為為恣意常數(shù)為恣意常數(shù)其中其中留意：留意：將將1式寫(xiě)成：式寫(xiě)成：NoImage444322421xx2xxxxxxx 12010011214321ccXxxxx那么直接可以寫(xiě)出方程組的通解為：那么直接可以寫(xiě)出方程組的通解為：21,cc為恣意常數(shù)為恣意常數(shù)其中其中例例 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組解解 對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)展初等行變換，化成階梯形矩陣對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)展初等行變換，化成階梯形矩陣232023201111) 3() 1(1013121111

12、111312rrrrA00002320111123rr 023204324321xxxxxxx得同解方程組得同解方程組0302042143214321xxxxxxxxxxx43, xx 10014343xxxx選選為自在變量，分別取為自在變量，分別取解得解得 1021232121xxxx2223211101001 故得方程組的一個(gè)根底解系為：故得方程組的一個(gè)根底解系為：2211ccX 方程組的通解為方程組的通解為即即 1010012232114321ccXxxxx為恣意常數(shù)為恣意常數(shù)21, cc其中其中同上例：將系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)矩陣同上例：將系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)矩陣000012/31002/ 101000012/3101111000023201111443343231xxxxxx23xx21x得同解方程組：得同解方程組：那么可得方程的通解：那么可得方程的通解： 1010012232114321ccXxxxx線性方程組的解法線性方程組的解法1 1運(yùn)用克萊姆法那么運(yùn)用克萊姆法那么2 2利用初等變換利用初等變換特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的實(shí)際價(jià)值，可計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的實(shí)際價(jià)值，可用來(lái)證明很多命題用來(lái)證明很多