吉林省白城市2020—2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理（含解析）

1、吉林省白城市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）一、單選題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1.已知 (3+2i)z=2+i3 ，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.為比較相關(guān)變量的線性相關(guān)程度，5位同學(xué)各自研究一組數(shù)據(jù)，并計(jì)算出變量間的相關(guān)系數(shù)r如下表所示：同學(xué)甲同學(xué)乙同學(xué)丙同學(xué)丁同學(xué)戊相關(guān)系數(shù)r0.45-0.690.74-0.980.82則由表可知（）A.乙研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，戊研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高B.甲研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，丁研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高C.乙研究

2、的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，丁研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高D.甲研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，丙研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高3.函數(shù) f(x)=xlnx 的圖象在 x=e 處的切線方程為（ ） A.2xye=0B.x2y+e=0C.2x+y3e=0D.x+2y3e=04.三個(gè)班分別從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是（ ） A.729B.18C.216D.815.(2+1x)(1x)10 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A.12B.8C.-8D.-126.已知定義在 R 上的函數(shù) f(x) 恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則 f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（ ） A.B.C.D.7.現(xiàn)有下面四個(gè)命題：

3、 若 z=23i ，則 |z+i|=22 ；若 XN(1,4) ， P(1X3)=m ，則 P(X1)=0.5m ；如果今天是2021年6月22日（星期二），那么兩百天后是星期六；若數(shù)列 an 滿足 a1=3 ， an+1+n2=2an+2n+1 ，則由數(shù)學(xué)歸納法可證明 an=n2+2n 其中所有真命題的序號(hào)是（ ）A.B.C.D.8.設(shè)0a1，則隨機(jī)變量X的分布列是：X0a1P131313則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)（）A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大9.設(shè) (1x3)(1+x)7=a0+a1x+a10x10 ，則 i=13ai+j=510aj=

4、 （ ） A.-36B.6C.-29D.-2710.已知 z 的共軛復(fù)數(shù) z=1+3i ，且 |z1iz0|=|zi| ，則 |z0| 的最大值為（ ） A.5+17B.175C.217D.2511.某電影院的一個(gè)放映室前3排的位置如圖所示，甲和乙各自買了一張同一個(gè)場次的電影票，已知他們買的票的座位都在前3排，則他們觀影時(shí)座位不相鄰（相鄰包括左右相鄰和前后相鄰）的概率約為（ ） A.0.87B.0.89C.0.91D.0.9212.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的（詳解九章算法）一書里出現(xiàn)了如圖所示的圖，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就在“楊輝三角”中，已知第 n 行的所有數(shù)字之和為

5、2n1 ，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，則此數(shù)列的前37項(xiàng)和為（ ） A.1040B.1014C.1004D.1024二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.(43i)(54i) 的虛部為_ 14.某種旅行箱的密碼鎖由三個(gè)數(shù)字組成（每個(gè)位置上的數(shù)字可從09這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)）小張購買一個(gè)旅行箱后，打算設(shè)置密碼，自上而下第一個(gè)位置的數(shù)字設(shè)置為質(zhì)數(shù)，第二個(gè)位置的數(shù)字設(shè)置為奇數(shù)，第三個(gè)位置的數(shù)字設(shè)置為偶數(shù)，則他可選擇的不同密碼的個(gè)數(shù)為_ 15.某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正

6、常工作元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為 14 ， 13 ， 12 ，則這個(gè)部件能正常工作的概率為_ 16.(3xy)n 展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則 n= _，展開式中 x3y3 的系數(shù)是_ 三、解答題(本大題共70分)17.在直角坐標(biāo)系中，曲線 C 的方程為 x2+y2=9 ，曲線 C 上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小到原來的 13 ，得到曲線 C 以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，射線 l 的極坐標(biāo)方程為 =6(0) ， l 與曲線 C ， C 分別交于 A ， B 兩點(diǎn) （1）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程； （2）求 |AB| 的值 18.某企業(yè)

7、研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者進(jìn)行先期接種試驗(yàn)，其中50歲以下50人，50歲及以上50人第一次接種后10天，該企業(yè)又對(duì)志愿者是否產(chǎn)生抗體進(jìn)行檢測，共發(fā)現(xiàn)75名志愿者產(chǎn)生了抗體，其中50歲以下的有45人產(chǎn)生了抗體50歲以下50歲以上合計(jì)有抗體沒有抗體合計(jì)填寫上面的22列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為該款疫苗是否產(chǎn)生抗體與接種者年齡有關(guān)參考公式：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.150.100.0500.0100.001k02.0722.7063.8416.63510.82819.已知函數(shù) f(x)=2x3+3x

8、212x （1）求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間； （2）求 f(x) 在 0,3 上的最值 20.現(xiàn)有6位老師（含甲、乙）隨意排成一排拍照留念 （1）求甲、乙不相鄰的概率； （2）設(shè)甲、乙之間所隔人數(shù)為 X ，例如，當(dāng)甲、乙相鄰時(shí)， X=0 ，求 X 的數(shù)學(xué)期望 21.某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：cm）： 87 87 88 92 95 97 98 99 103 104設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 （1）求 與 （2）假設(shè)這批零件的內(nèi)徑 Z （單位： cm ）服從正態(tài)分布 N(,2) 從這批零件中隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)這5個(gè)零件中內(nèi)徑大于 107cm 的

9、個(gè)數(shù)為 X ，求 D(2X+1) ；若該車間又新購一臺(tái)新設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測量其內(nèi)徑分別為76，85，93，99，108（單位： cm ），以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試問這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，說明你的理由參考數(shù)據(jù)：若 XN(,2) ，則 P(2X+2)=0.954 ， P(3920 答案解析部分吉林省白城市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期理數(shù)期末考試試卷一、單選題1.已知 (3+2i)z=2+i3 ，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】 D 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【解析】

10、【解答】因?yàn)?z=2+i33+2i=2i3+2i=(2i)(32i)13=413713i ， 所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn) (413,713) 位于第四象限。故答案為：D 【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)z的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)確定復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限。2.為比較相關(guān)變量的線性相關(guān)程度，5位同學(xué)各自研究一組數(shù)據(jù)，并計(jì)算出變量間的相關(guān)系數(shù)r如下表所示：同學(xué)甲同學(xué)乙同學(xué)丙同學(xué)丁同學(xué)戊相關(guān)系數(shù)r0.45-0.690.74-0.980.82則由表可知（）A.乙研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，戊研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高B.甲研究的那組數(shù)

11、據(jù)線性相關(guān)程度最低，丁研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高C.乙研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，丁研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高D.甲研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，丙研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高【答案】 B 【考點(diǎn)】相關(guān)系數(shù) 【解析】【解答】由題意知： |0.45|0.69|0.74|0.82|0.98| ，又因?yàn)?|r| 越接近于1，數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越高， |r| 越接近于0，數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越低所以甲研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，丁研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高。 故答案為：B. 【分析】利用已知條件得出|0.45|0.69|0.74|0.82|0.98| ， 又因?yàn)?|r| 越接近于

12、1，數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越高， |r| 越接近于0，數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越低，則利用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)程度高低的方法，所以甲研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最低，丁研究的那組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度最高，從而選出正確的答案。3.函數(shù) f(x)=xlnx 的圖象在 x=e 處的切線方程為（ ） A.2xye=0B.x2y+e=0C.2x+y3e=0D.x+2y3e=0【答案】 A 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【解析】【解答】 f(x)=xlnx ，則 f(x)=lnx+1 ，故 f(e)=2 ， 因?yàn)?f(e)=e ，因此，函數(shù) f(x)=xlnx 的圖象在 x=e 處的切線方程為 ye=2(xe)

13、 ，即 2xye=0 。故答案為：A. 【分析】利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的斜率，再利用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)結(jié)合代入法求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)斜式求出函數(shù) f(x)=xlnx 的圖象在 x=e 處的切線方程 ，再轉(zhuǎn)化為切線的一般式方程。4.三個(gè)班分別從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是（ ） A.729B.18C.216D.81【答案】 C 【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理 【解析】【解答】第一步，從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選一個(gè)給第一個(gè)班，有6種選法； 第二步，從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選一個(gè)給第二個(gè)班，有6種選法；第三步，從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選一個(gè)給第三個(gè)班，有6種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同

14、的選法種數(shù)是 63=216。故答案為：C. 【分析】利用已知條件結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，從而求出三個(gè)班分別從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)。5.(2+1x)(1x)10 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A.12B.8C.-8D.-12【答案】 C 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【解析】【解答】 (1x)10 的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=C10r(x)r,r=0,1,10 ， 所以 (2+1x)(1x)10 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 2C100110(x)0+1xC10119(x)1=210=8 。故答案為：C 【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)。6.已

15、知定義在 R 上的函數(shù) f(x) 恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則 f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件 【解析】【解答】根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義可知，函數(shù)的極值點(diǎn)要滿足兩個(gè)條件，一個(gè)是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0， 另一個(gè)是該點(diǎn)左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，A與C對(duì)應(yīng)的函數(shù) f(x) 只有2個(gè)極值點(diǎn)，B對(duì)應(yīng)的函數(shù) f(x) 有4個(gè)極值點(diǎn)，D對(duì)應(yīng)的函數(shù) f(x) 有3個(gè)極值點(diǎn)。故答案為：D. 【分析】根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義可知，函數(shù)的極值點(diǎn)要滿足兩個(gè)條件，一個(gè)是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0， 另一個(gè)是該點(diǎn)左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，再結(jié)合已知條件定義在 R 上的函數(shù) f(x)

16、 恰有3個(gè)極值點(diǎn)，再利用函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象，從而選出正確的選項(xiàng)。7.現(xiàn)有下面四個(gè)命題： 若 z=23i ，則 |z+i|=22 ；若 XN(1,4) ， P(1X3)=m ，則 P(X1)=0.5m ；如果今天是2021年6月22日（星期二），那么兩百天后是星期六；若數(shù)列 an 滿足 a1=3 ， an+1+n2=2an+2n+1 ，則由數(shù)學(xué)歸納法可證明 an=n2+2n 其中所有真命題的序號(hào)是（ ）A.B.C.D.【答案】 B 【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的周期性，復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)求模，正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，概率的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法 【解析】【解答】若 z

17、=23i ，則 z=2+3i ，則 |z+i|=25 ，故是假命題 若 XN(1,4) ， P(1X3)=m ，則 P(X3)=0.5m ，故是真命題因?yàn)?200=287+4 ，所以是真命題因?yàn)?a1=3 ， an+1+n2=2an+2n+1 ，所以當(dāng) n=1 時(shí)，滿足 an=n2+2n 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)， ak=k2+2k ，則 ak+1=2akk2+2k+1=(k+1)2+2k+1 ，即當(dāng) n=k+1 時(shí)， an=n2+2n 也成立，故是真命題。故答案為：B 【分析】利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件，從而求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則結(jié)合復(fù)數(shù)求模公式，從而求出|z+i|=25；

18、利用隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，從而結(jié)合已知條件求出P(X1)=0.5m；利用數(shù)列的周期性，從而得出200=287+4 ， 進(jìn)而推出如果今天是2021年6月22日（星期二），那么兩百天后是星期六；利用已知條件結(jié)合遞推公式合數(shù)學(xué)歸納法證明方法，從而證出 an=n2+2n ，進(jìn)而找出真命題的序號(hào)。8.設(shè)0a10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為該款疫苗是否產(chǎn)生抗體與接種者年齡有關(guān)【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 【解析】【分析】利用已知條件填寫22列聯(lián)表，再利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，從而判斷出有99.9%的把握認(rèn)為該款疫苗是否產(chǎn)生抗體與接種者年齡有關(guān)。19.已知函數(shù)

19、 f(x)=2x3+3x212x （1）求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間； （2）求 f(x) 在 0,3 上的最值 【答案】 （1）由題意，函數(shù) f(x)=2x3+3x212x 的定義域?yàn)?R ， 且 f(x)=6x2+6x12=6(x+2)(x1) ，令 f(x)0 ，即 (x+2)(x1)0 ，解得 x1 ；令 f(x)0 ，即 (x+2)(x1)0 ，解得 2x1 ，所以 f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (,2) ， (1,+) ，單調(diào)遞減區(qū)間為 (2,1) .（2）由（1），令 f(x)=0 ，即 (x+2)(x1)=0 ，解得 x=2 或 x=1 因?yàn)?x0,3 ，所以 x=2 舍去，即 x=

20、1 ，又因?yàn)?f(0)=0 ， f(1)=7 ， f(3)=45 ，所以 f(x) 在 0,3 上的最大值為 f(3)=45 ，最小值為 f(1)=7 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 （2）利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)再給定區(qū)間的最值。20.現(xiàn)有6位老師（含甲、乙）隨意排成一排拍照留念 （1）求甲、乙不相鄰的概率； （2）設(shè)甲、乙之間所隔人數(shù)為 X ，例如，當(dāng)甲、乙相鄰時(shí)， X=0 ，求 X 的數(shù)學(xué)期望 【答案】 （1）先將除去甲乙兩人之外的4

21、位老師，進(jìn)行全排列，共有 A44=24 種排法， 在將甲乙兩位老師，利用插空法插入5個(gè)空隙中的兩個(gè)位置，共有 A52=20 種方法，所以甲乙不相鄰的排法共有 2420=480 中排法，則甲、乙不相鄰的概率為 P=480A66=480720=23 （2）由題意，隨機(jī)變量 X 的可能取值為0，1，2，3，4， 可得 P(X=0)=123=13 ， P(X=1)=C41A44A22A66=415 ， P(X=2)=C42A33A22A22A66=15 ，P(X=3)=C43A22A22A33A66=215 ， P(X=4)=A44A22A66=115 ，所以數(shù)學(xué)期望為 EX=013+1415+215

22、+3215+4115=43 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題 【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式和插空法，再利用古典概型求概率公式，從而求出甲、乙不相鄰的概率。 （2） 由題意可知隨機(jī)變量 X 的可能取值為0，1，2，3，4， 再利用組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，再結(jié)合古典概型求概率公式，從而求出隨機(jī)變量X的分布列，再利用隨機(jī)變量X的分布列結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式，從而求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。21.某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：cm）： 87 87 88 92 95 97 98 99 103 1

23、04設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 （1）求 與 （2）假設(shè)這批零件的內(nèi)徑 Z （單位： cm ）服從正態(tài)分布 N(,2) 從這批零件中隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)這5個(gè)零件中內(nèi)徑大于 107cm 的個(gè)數(shù)為 X ，求 D(2X+1) ；若該車間又新購一臺(tái)新設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測量其內(nèi)徑分別為76，85，93，99，108（單位： cm ），以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試問這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，說明你的理由參考數(shù)據(jù)：若 XN(,2) ，則 P(2X+2)=0.954 ， P(3107)=P(Z+2)=0.50.9542=0.023 ，則 XB(5,0.023) ，所以 D(X)=50

24、.023(10.023)=0.112355 ，故 D(2X+1)=4D(X)=0.44942 因?yàn)?P(3107)的值 ，再利用隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，從而利用二項(xiàng)分布求方差公式得出隨機(jī)變量X的方差，再利用D(X)與 D(2X+1)的關(guān)系式，從而求出D(2X+1)的值。 因?yàn)?P(3920 【答案】 （1）解： f(x)=lnx+1ax ， 由 f(x)=0 ，得 a=x(1+lnx) ，設(shè)函數(shù) g(x)=x(1+lnx) ，則 g(x)=2+lnx ,當(dāng) 0xe2 時(shí)， g(x)e2 時(shí)， g(x)0 故 g(x)min=g(e2)=e2 ，當(dāng) ae2 時(shí)， f(x)0 ， f(x) 不存在極值，所以 ae2 ，故 a 的取值范圍是 (e2,+) （2）f(x) 在 (0,+) 上為增函數(shù)， 且 f(54)=ln54+185=ln5435lne35=12350 ，所以 m(54,2) ， f(m)=0 ，且 f(x) 在 (0,m) 上單調(diào)遞減，在 (m,+) 上單調(diào)遞增又 f(m)=0 ，所以 lnm=2m1 ，則 f(x)min=f(m)=