函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性知識(shí)歸納和典型題型

1、單調(diào)性與最大（小）值要點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性 1增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；（2）任意兩個(gè)自變量且；（3）都有；2單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).要點(diǎn)詮釋：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間與定

2、義域的關(guān)系-單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的真子集；單調(diào)性是通過(guò)函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來(lái)描述函數(shù)性質(zhì)的；不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間；有的函數(shù)不具有單調(diào)性.(2)已知解析式，如何判斷一個(gè)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？基本方法：觀察圖形或依據(jù)定義.3函數(shù)的最大（小）值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：(1)對(duì)于任意的，都有（或）；(2) 存在，使得，那么，我們稱是函數(shù)的最大值（或最小值）.要點(diǎn)詮釋：最值首先是一個(gè)函數(shù)值，即存在一個(gè)自變量，使等于最值；對(duì)于定義域內(nèi)的任意元素，都有（或），“任意”兩字不可??；使函數(shù)取得最值的自變量的值有時(shí)可能不止一個(gè)；函數(shù)在其定義域（某個(gè)區(qū)

3、間）內(nèi)的最大值的幾何意義是圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).4.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值.設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；(3)定號(hào).判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；(4)得出結(jié)論.5.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)定義法；(2)圖象法；(3)對(duì)于復(fù)合函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間或者上是單調(diào)函數(shù)；若與單調(diào)性相同（同時(shí)為增或同時(shí)為減），則為增函數(shù)；若與單調(diào)性相反，則為減函數(shù)要點(diǎn)二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性 1.正比例函數(shù)當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)

4、；當(dāng)k0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若a0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)要點(diǎn)三、一些常見(jiàn)結(jié)論(1)若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；(2)若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減)函數(shù)；(3)若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)； 若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).【典型例題】類(lèi)型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明例1.已知：函數(shù)（1）討論的單調(diào)性.（2）試作出的圖象.舉一反三：【變式1】已知函數(shù) （）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；（）若，求函數(shù)在上的值域類(lèi)型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(1)y=

5、x2-3|x|+2； (2)舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=|x+1|； (2)(3) ；（4）y=|x2-2x-3|.類(lèi)型三、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)例3. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)增函數(shù)（1）比較與的大??；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍例4. 求下列函數(shù)的值域：(1)； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)；(3)；(4).舉一反三：【變式1】已知當(dāng)?shù)亩x域?yàn)橄铝袇^(qū)間時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.（1）0，3；（2）-1，1；（3）3，+）.例5（2015 西安周至縣一模）已知函數(shù)，x5，5，（1）當(dāng)a=1時(shí)，

6、求f（x）的最大值和最小值；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間5，5上是單調(diào)函數(shù)舉一反三：【變式1】（2015秋 江蘇鹽城期末）已知函數(shù)在4，+）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【鞏固練習(xí)】1定義域上的函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有，則必有( )A函數(shù)先增后減B函數(shù)先減后增C函數(shù)是上的增函數(shù)D函數(shù)是上的減函數(shù)2在區(qū)間上為增函數(shù)的是( )AB C D3函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間可以是（ ）A.-2，0 B.0，2 C.1，3 D. 0，+）4若函數(shù)在上是遞減的，則a的取值范圍是（ ）Aa3Ba3Ca5Da35（2016 江西一模）設(shè)函數(shù)，若f（a）a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）A（1

7、，+） B（，1） C（3，+） D（0，1）6設(shè)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則之間的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 7函數(shù)的遞增區(qū)間是（ ）AB5，2C2，1D8函數(shù)的值域是_.9（2016 陜西安康三模）若函數(shù)在（2，3）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_10已知一次函數(shù)在上是在增函數(shù)，且其圖象與軸的正半軸相交，則的取值范圍是 .11已知函數(shù)是上的減函數(shù)，且的最小值為正數(shù)，則的解析式可以為 .（只要寫(xiě)出一個(gè)符合題意的解析式即可，不必考慮所有可能情形）12（2016春 山西懷仁縣月考）試用定義討論并證明函數(shù)在（，2）上的單調(diào)性13已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足下列條件：(1)；(2)

8、在定義域上單調(diào)遞減；(3)求的取值范圍.14已知函數(shù). 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值； 求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)函數(shù)的奇偶性要點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（2）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有f(0)=0；（3）若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0.2

9、.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步；（2）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.若=-，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且=-，則既是奇

10、函數(shù)，又是偶函數(shù)要點(diǎn)二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證=0及是否成立即可.（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱.（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函

11、數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.要點(diǎn)三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是增函數(shù)（減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相反的單調(diào)性，即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是減函數(shù)（增函數(shù)）.【典型例題】類(lèi)型一、判斷函數(shù)的

12、奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)為偶函數(shù).【變式3】設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函數(shù) B-|g(x)|是奇函數(shù)C| +g(x)是偶函數(shù) D|- g(x)是奇函數(shù)類(lèi)型二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)例2.已知f(x)=x5+

13、ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【變式1】已知為奇函數(shù)，則為（ ）例3.（2016春 山東臨沂期中）已知f（x）的定義域?yàn)閤Rx0，且f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，若f（1）=f（3），f（2）=2（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x0時(shí)的表達(dá)式【變式1】（1）已知偶函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時(shí)，求的解析式.（2）已知奇函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時(shí)，求的解析式.例4.設(shè)定義在-2，2上的偶函數(shù)f(x)在0，2上是單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，求的取值范【變式1】定義在1+a，2上的偶函數(shù)在區(qū)間1，2上是（ ）A增函數(shù)B減函數(shù)C先增后減函數(shù)D先減后增函數(shù)類(lèi)型三、函數(shù)奇偶性的綜合問(wèn)題例5設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，xR，試討論