研究生傳熱學(xué)課第4章

1、2021-9-211第4章 Transient numerical methodNumerical method or analytical method? 22ax0,00,0wxx tt0twx123x1x2x3精確度高分析法解析解連續(xù)性微分方程求解困難2021-9-212Numerical method近似解近似解數(shù)值法數(shù)值法數(shù)值解數(shù)值解離散性離散性代數(shù)方程代數(shù)方程求解容易求解容易求各種數(shù)學(xué)問題近似解的方法和理論求各種數(shù)學(xué)問題近似解的方法和理論數(shù)值數(shù)值分析分析 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題實(shí)際問題計(jì)算計(jì)算 機(jī)機(jī)近似解近似解數(shù)值計(jì)算法是求解穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)數(shù)值計(jì)算法是求解穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的十分

2、有效的方法。導(dǎo)熱問題的十分有效的方法。數(shù)值傳熱學(xué)發(fā)展較快。數(shù)值傳熱學(xué)發(fā)展較快。2021-9-213分析問題分析問題數(shù)學(xué)描述：數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程式導(dǎo)熱微分方程式與單值性條件與單值性條件方程離散化方程離散化連續(xù)性變?yōu)殡x散點(diǎn)連續(xù)性變?yōu)殡x散點(diǎn)微分變?yōu)榇鷶?shù)微分變?yōu)榇鷶?shù) 聯(lián)立代數(shù)方程求解聯(lián)立代數(shù)方程求解 借助計(jì)算機(jī)編程借助計(jì)算機(jī)編程求出離散點(diǎn)溫度求出離散點(diǎn)溫度 求熱流場(chǎng)求熱流場(chǎng)討論分析結(jié)果討論分析結(jié)果Basic steps for Numerical method in heat conduction2021-9-2142、finite difference method：離散方法離散方法有限差分法（

3、FDM） 有限容積法（FVM）有限元法（FEM）邊界元法（BEM）譜分析方法（SM）數(shù)值積分變換法（ITM）格子- Boltzmann方法（LBM）控制容積有限元法(CVFEM) 。1 1、微分方程、邊界條件及初始條件的離散方法主要有：、微分方程、邊界條件及初始條件的離散方法主要有：2021-9-215區(qū)域離散化（區(qū)域離散化（for 2-D steady-state）網(wǎng)格線的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)i,j表示x，y方向節(jié)點(diǎn)的序列號(hào)；x, y表示相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離；即步長(zhǎng)；陰影面積為節(jié)點(diǎn)所代表的微元體，網(wǎng)格線網(wǎng)格線節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2021-9-216k k表示時(shí)間節(jié)點(diǎn)表示時(shí)間節(jié)點(diǎn)時(shí)間的離散化（時(shí)間的離散化（for 1

4、-D transentfor 1-D transent）時(shí)間的離散為：在時(shí)間上劃分為若干個(gè)時(shí)間間隔時(shí)間的離散為：在時(shí)間上劃分為若干個(gè)時(shí)間間隔 2021-9-2174.1 4.1 建立離散方程建立離散方程用有限差分近似微分，用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（導(dǎo)數(shù)）用有限差商近似微商（導(dǎo)數(shù)） x dxttxx導(dǎo)熱偏微分方程轉(zhuǎn)化為節(jié)導(dǎo)熱偏微分方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)溫度差分代數(shù)方程。點(diǎn)溫度差分代數(shù)方程。 2) 2)節(jié)點(diǎn)的選擇節(jié)點(diǎn)的選擇 表示表示2021-9-218兩種方法：兩種方法：泰勒級(jí)數(shù)展開法泰勒級(jí)數(shù)展開法與與控制容積熱平衡法控制容積熱平衡法。 1) 泰勒級(jí)數(shù)展開法泰勒級(jí)數(shù)展開法2342341,23

5、4,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx2342341,234,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx21,1,222,2( ) ( )ijiji ji jttttOxxx2. 節(jié)點(diǎn)溫度差分方程的建立節(jié)點(diǎn)溫度差分方程的建立2021-9-219同樣可得同樣可得y方向得二階偏導(dǎo)數(shù)方向得二階偏導(dǎo)數(shù)2,1,1,222,2( ) ( )i ji ji ji jttttOyyy22220ttxy1,1,1,1,22220( )( )ijiji ji ji ji jttttttxy,1,1,1,114i jijiji ji

6、 jttttt2021-9-2110一階導(dǎo)數(shù)的有限差分1,1,2,( ) 2( )ijiji jtttOxxx1,() ()ijijijtttOxxx,1,( ) ( )i jiji jtttOxxx2342341,234,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx2342341,234,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx2021-9-2111 根據(jù)節(jié)點(diǎn)所代表的元體在導(dǎo)熱過程中的能量守恒根據(jù)節(jié)點(diǎn)所代表的元體在導(dǎo)熱過程中的能量守恒來(lái)建立節(jié)點(diǎn)溫度差分方程。來(lái)建立節(jié)點(diǎn)溫度差分方程。 (1) 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度差分方程內(nèi)部節(jié)

7、點(diǎn)溫度差分方程LRTB01,1,iji jiji jttttyyxx,1,1,0i ji ji ji jttttxxyy x= y y2)元體熱平衡法2021-9-2112上式可整理為上式可整理為( i,j )1,f,iji ji jttyhy ttx,1,1,022i ji ji ji jttttxxyy x= y y,1,1,1,114i jijiji ji jttttt2021-9-21131,f,1,1,11022iji ji ji ji ji ji jhxtttttttthxBiBi1,1,1,f22420iji ji ji jtttBitBi t1,1,f2220iji ji jt

8、tBitBit,11,1,1,f22620i jijiji ji jttttBitBit2021-9-2114絕熱邊界節(jié)點(diǎn)：絕熱邊界節(jié)點(diǎn)：,1,11,240i ji jiji jtttt11 112 2111j jn na ta ta ta tb21 122 2222j jn na ta ta ta tb1 12 2nnnj jnn nna ta ta ta tb 2021-9-21154.2 節(jié)點(diǎn)溫度差分方程組的求解方法節(jié)點(diǎn)溫度差分方程組的求解方法 2021-9-211611 112 2111j jn na ta ta ta tb21 122 2222j jn na ta ta ta tb1

9、 12 2nnnj jnn nna ta ta ta tb 1112 211111j jn ntba ta ta ta2221 122221j jn ntba ta ta ta1 1(1)11nnnnj jn nnnntba ta tata 001,ntt111,ntt221,ntt1,kkntt1maxkkiitt1. 1. 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法2021-9-21172. 高斯高斯- -塞德爾迭代法塞德爾迭代法高斯高斯- -塞德爾迭代法塞德爾迭代法是在簡(jiǎn)單迭代法的基礎(chǔ)上加是在簡(jiǎn)單迭代法的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)的迭代運(yùn)算方法。它與簡(jiǎn)單迭代法的主要區(qū)別以改進(jìn)的迭代運(yùn)算方法。它與簡(jiǎn)單迭代法的主要區(qū)別是在迭

10、代運(yùn)算過程中是在迭代運(yùn)算過程中總使用最新算出的數(shù)據(jù)總使用最新算出的數(shù)據(jù)。11000112 211111jnjntba ta ta ta21110022122221jnjntba ta ta ta1111111(1)1njnnnnjn nnntba ta tata 高斯高斯- -塞德爾迭代法比塞德爾迭代法比簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法2021-9-2118 開 始 輸入 M,N,EPS,K, TTB,TLB,TRB,TBB,TI 1, it=TBB 1,Mit=TTB jt, 1=TLB jNt, 1=TRB jiT,=T I 迭代次數(shù) I T= 0 )(411,1, 1, 1,jijijijijiji

11、jiTTTTTTTT EPSTTTjiji|, NO I T=I T+1 yes 打印jiT, 打印“I T” I TK NO Yes 停機(jī) 打印“不收斂” 圖 46 例 42 程序框圖 2021-9-2119 4.3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)值解法的特點(diǎn)：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)值解法的特點(diǎn)： 2021-9-2120以第三類邊界條件下常物性、無(wú)內(nèi)熱源以第三類邊界條件下常物性、無(wú)內(nèi)熱源大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例。大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例。 2. 2. 節(jié)點(diǎn)溫度差分方程的建立節(jié)點(diǎn)溫度差分方程的建立 kit4.3.1 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值求解：一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)

12、值求解： 22ttax2021-9-2121 （1 1）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度差分方程）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度差分方程 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)i所代表的控制容積在所代表的控制容積在k時(shí)刻時(shí)刻的熱平衡：的熱平衡：dU向前差分向前差分111kkkkkkiiiiiittttttAAA x cxx1kkiitt1122kkkiiitttax11122kkkkkiiiiiatttttx2aFox1111 2kkkkiiiitFottFot2021-9-21221111 2kkkkiiiitFottFot120Fo12Fo2021-9-2123向后差分向后差分111kkkkkkiiiiiittttttAAA x cxx1kkiitt1122kkkiiitttax11111122kkkkkiiiiiatttttx2aFox1kkiitt1111122kkkiiitttax2021-9-21241111112kkkkiiiiFotFottt2021-9-2125hdU向前差分向前差分1100002kkkkkkttttxAAh