直線與雙曲線位置關(guān)系

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系和拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識點1:直線與雙曲線的位置關(guān)系1. 直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷x2 y2設(shè)直線 y=kx+b，雙曲線 一;2= 1 （a0 , b0）聯(lián)立消去 y 得 Ax2+Bx+C=0 （a丸）， a2 b2=B2 4AC。若A=0即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若厶0,直線與雙曲線相交，有兩個交點；若4=0 ,直線與雙曲線相切，有一個交點；若40,k2 2 丸，=(2k)2 8(k2 2)0 ,1UK，(L)呃“”Ii2xa -10S為”-2二一工一2)a 4暫里得* 一仮+勒=0小.1.所求宜線不存在k22 0.解得k的取值范圍是一2

2、k2 (其中 O為原點)，求k的取值范圍.x2 y2解(1)設(shè)雙曲線C2的方程為2 = 1 ,a2 b2貝U a2 = 4 1 = 3 , C = 4，由 a2+ b2 = C，得 b2= 1,x2故C2的方程為一y2= 1.3(2)將 y = kx + - 2代入y2 = 1，得(1 3k2)x2 6 2kx 9 = 0.3由直線I與雙曲線C2交于不同的兩點，得1 3宀0.A= ( 6 2k)2+ 36(1 3k2)=36(1 k2)0.1k2 工一且 k22，得 X1X2+ y1y22 ,3k2+ 73k2 12，即3k2 + 93 k2 11,解得 3 0)y2=- 2px(p0)圖形彭

3、1 1范圍x0 , y Rx0 , b0)的離心率為2若拋物a2 b2線C2： x2 = 2py (p0)的焦點到雙曲線 C1的漸近線的距離為 2 ,則拋物線C2的方程為()A. x2 = 8、3y3B. x216 ：3C. x2 = 8yD . x2 = 16y(2012 四川高考)已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O,并且經(jīng)過點M(2 , yo).若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM | =()C. 4x2y2自主解答雙曲線C1：爲(wèi)一二=1(a0, b0)的離心率為a2b2ca2+ b22 , b =3a,雙曲線的漸近線方程為 .3xy = 0,.拋物線C2: x2 = 2py

4、(p 0)的焦點0, ?至U雙:- p，:3 X0 2曲線的漸近線的距離為 P = 8. 所求的拋物線方程為x2= 16y.p(2)依題意，設(shè)拋物線方程是y2= 2px(p0)，則有2 + 2 = 3，得p = 2，故拋物線方程是 y2 = 4x,點 M 的坐標(biāo)是(2，土2,2) , |OM | = “ ：22 + 8 = 2 ；3.答案(1)D(2)B練習(xí)2 :若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與y軸的交點，A為拋物線上一點且|AM |17,| AF | 3，求此拋物線的方程解析設(shè)點A是點A在準(zhǔn)線上的射影，則| AA| 3，由勾股定理知| MA| 2.2，點a的橫坐標(biāo)為(2

5、2,3 p)，代入方程X2 2py得p 2或4，拋物線的方程X2 4y或X2 8y題型3 :直線與拋物線的位置關(guān)系1 .設(shè)拋物線方程為 y2= 2px(p 0)，直線Ax + By+ C = 0 ,將直線方程與拋物線方程 聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的方程my2 + ny + q = 0.(1) 若m丸，當(dāng)A 0時，直線與拋物線有兩個公共點；當(dāng)0時，直線與拋物線只有一個公共點；當(dāng)Av 0時，直線與拋物線沒有公共點.(2) 若m = 0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與拋物線的對稱軸平行.2 .與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論.(以右圖為依據(jù))2(1)y1y2=- p2,p2X1X2 =4 |AB| =

6、X1+ X2 + p =2psin2 Saqb =P22sin 0(0為AB的傾斜角).(1)求拋物線E的方程;(2)設(shè)動直線I與拋物線E相切于點P,與直線自主解答依題意，|OB| =8 ;3 , ZBOy = 30 1 1 2(4)陽+函為定值p.(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.以AF或BF為直徑的圓與y軸相切. /CFD= 90 例3 :(2012 福建高考)如圖，等邊三角形且其三個頂點均在拋物線E： x2= 2py(p0) 上.證明以PQ為直徑的圓恒過 y軸上某定點.設(shè) B(x, y)，貝U x = |OB|sin 30 =4p , y =|OB|cos 30 =12.因為點B(4 -

7、 ,：3 , 12)在 x2 = 2py 上，所以(43)2= 2p X12，解得 p = 2.故拋物線E的方程為x2 = 4y.(2)證明:1 1 由(1)知 y = ；x2, y，=x.設(shè) P(xo,1y yo=；xo(x xo)，即11y = _ X0X _ x22411y = X0X _x0, 由24x2 4x= 2X0 ，y=-1,y=- i.x2 4所以Q為盂，-1設(shè) M(0, yi)，令=0對滿足1y=x2(X0工0)的 X0, y0恒成立.41yo)，則xoO, yo=x0，且I的方程為4由于mP = (X0, y0 y1),x6 4K， 1 y1，由l的方程;B是以點F為x2

8、 4=0，得 y0 y0y1 + y1 + y1 = 0 ,2即(y1+ yi - 2) + (1 - yi)yo= 0.(*)1由于(*)式對滿足y 0 = _x0(x0工0)的y0恒成立,41 y1 = 0,所以解得y 1 = 1.y2 + y1 2 = 0,故以PQ為直徑的圓恒過 y軸上的定點 M (0,1).練習(xí)3 : (2012 泉州模擬)如圖，點O為坐標(biāo)原點，直線I經(jīng)過拋物線1C： y2= 4x的焦點F.(1)若點O到直線I的距離為，求直線(2)設(shè)點A是直線I與拋物線C在第一象限的交點點圓心，|FA|為半徑的圓與x軸的交點，試判斷 AB與拋物線C的位置關(guān)系,并給出證明.解：(1)拋

9、物線的焦點F(1,0),當(dāng)直線I的斜率不存在時，即 x= 1不符合題意.當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為：y = k(x 1)，即kx y k = 0.所以，1解得k=$A 1 + k2 23故直線I的方程為：y =(x 1)，即x 3 y 1 = 0.3直線AB與拋物線相切，證明如下:設(shè) A(X0, y0)，則 y0 = 4x0.因為 |BF| = |AF| = x+ 1，所以 B( X0,0).y。所以直線AB的方程為：y = (x + x0)，2xoy整理得：x = X0yo把方程代入 y2 = 4x 得：yoy2 8xoy+ 4xoyo= 0 ,A= 64 x0 16 xoy2

10、= 64 x6 64 x2 = 0,所以直線AB與拋物線相切.基礎(chǔ)練習(xí)：x2 y21. （2012 濟(jì)南模擬）拋物線的焦點為橢圓+一= 1的下焦點，頂點在橢圓中心，則拋49物線方程為（）A. x2 = 4 5yB. y2 = 45xC. x2 = 4 13yD . y2= 4 13 x解析：選A 由橢圓方程知，a2 = 9, b2 = 4，焦點在y軸上，下焦點坐標(biāo)為（0， c）, 其中c= -，a2 b2= 5.二拋物線焦點坐標(biāo)為（0， 5），二拋物線方程為x2= 4 5y.2. （2012 東北三校聯(lián)考）若拋物線y2 = 2px（p 0）上一點P到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別為10和6，貝

11、U p的值為（)A. 2B. 18C. 2 或 18D . 4 或 16pX0+_= 10 ,2解析：選C設(shè)P（X0, y0），則01 = 6, y2= 2 px0,P36 = 2p 10 ，即 P2 20 p + 36 = 0 ,解得 p = 2 或 18.3 .(2013大同模擬已知拋物線y2= 2px(p 0)的準(zhǔn)線與曲線X2 + y2 6x 7 = 0相切，則p的值為()A 2B 11Ci1D. 一4P-+ 3 = 4.又 p 0，因解析：選A 注意到拋物線y2 = 2px的準(zhǔn)線方程是x =-2，曲線X2 + y2 6x 7 = 0 ,即(x 3)2+ y2= 16是圓心為(3,0)，

12、半徑為4的圓于是依題意有P此有2 + 3 = 4，解得p = 2.4 (2012 鄭州模擬)已知過拋物線y2 = 6x焦點的弦長為12 ,則此弦所在直線的傾斜角n 5 nA.6 或 Tn 3 nB或44n 2 nC.3 或 TnD.2解析：選由焦點弦長公式2p6|AB|=亦得不=12，所以sin5 (2012唐山模擬)拋物線y2 = 2px的焦點為F,點A、B、C在此拋物線上，點 A坐標(biāo)為(1,2) 若點F恰為ABC的重心，則直線 BC的方程為(A x+ y = 0C. 2x + y 1 = 0B x y= 0D 2x y 1 = 0解析：選C點A在拋物線上， 4 = 2p , p = 2，拋

13、物線方程為y2 = 4x，焦點F(1,0)設(shè)點 B(X1, y1),點 C(X2, y2),則有 y1= 4X1，y2 = 4X2，由一得(y1 y2)(y1 + y2)= 4(X1 X2)yi y24得 kBC=xi X2 yi + y2yi + y2 + 2又T= O,.yi + y2 = 2 ,.kBc= 2.3X1 + X2 + 1又= 1 x2 = 2，BC 中點為(1 , 1),則BC所在直線方程為 y +1 = 2(x 1)，即2x + y 1 = 0.6. (2013 湖北模擬)已知直線y= k(x m)與拋物線y2= 2px(p 0)交于A、B兩點，且OA丄OB , OD丄A

14、B于D若動點D的坐標(biāo)滿足方程 x2 + y2 4x= 0 ,貝U m =()A. 1B. 2km則 b = _ _則 b1 + k2,C. 3D . 4解析：選D 設(shè)點D(a,b),則由OD丄AB于D，得b = k a m ,即 a2 + b2 4a = 0,將 a= bk 代入a= bk ；又動點D的坐標(biāo)滿足方程 x2 + y2 4x= 0,上式，得 b2k2+ b2 + 4bk = 0, 即卩 bk2+ b + 4k = 0,k3m1 + k2km丁 + 4k = 0，又k丸，則(1 + k2)(4 m) = 0,因此 m = 4.7. (2012 安徽模擬)已知橢圓C1：2 2x2 y2：+= 1(0 v b v 2)的離心率為j拋物線C2 :2x2 = 2py(p 0)的焦點是橢圓的頂點.(1)求拋物線C2的方程;過點M ( 1,0)的直線I與拋物線C2交于E, F兩點，過E, F作拋物線C2的切線l1, 12,當(dāng)11丄12時，求直線I的方程.: c4 b2 - 3解: (1)橢圓C1的長半軸長a = 2，半焦距C= 4 -汽由e = ； = = 丁得b2橢圓Ci的上頂點為(0,1)，即拋物線 C2的焦點為(0,1),故拋物線C2的方程為x2 = 4y.由已知可得直線l的斜率必存