七年級(jí)規(guī)律探索題答案

1、前言：七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試，主要考察書本前2章，想要考試取得好的成績(jī)，首先應(yīng)一般能力：基本知識(shí)、根本技能；計(jì)算能力；其次要想獲得高分必須具備高分能力：觀察、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證的能力；數(shù)形結(jié)合思想的建立； 分類討論思想的建立；方程思想的建立；對(duì)于重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生，尤為重要。 高分能力是今后學(xué)習(xí)領(lǐng)先的有力保障，需要大量練習(xí)、總結(jié)、體會(huì)，七年級(jí)涉及的僅僅是一局部。一、規(guī)律探索類題型 規(guī)律探索型問(wèn)題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問(wèn)題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形等條件，要求學(xué)生通過(guò)：讀題 觀察 分析 猜測(cè) 驗(yàn)證，來(lái)探索對(duì)象的規(guī)律。它表達(dá)了“特殊到一般、“數(shù)形結(jié)合等

2、數(shù)學(xué)思想方法，考察學(xué)生的分析、解決問(wèn)題 能力。題型可涉及填空、選擇或解答?！绢}型分類 】【 1 、數(shù)字問(wèn)題】最好具備數(shù)列的有關(guān)知識(shí)小學(xué)奧數(shù)有涉及 ，實(shí)際考察的是：經(jīng)歷探索事物間的數(shù)量關(guān)系， 用字母表示數(shù)和代數(shù)式表示的過(guò)程 ，建立初步的符號(hào)感，開(kāi)展抽象思 維，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)到代數(shù)式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。如：1 、正整數(shù)規(guī)律1、2、3、4、5、可以表示為n 其中n為正整數(shù)2 、奇數(shù)規(guī)律1 、 3、 5、 7、 9、可以表示為 2n 1其中 n 為正整數(shù)3 、偶數(shù)規(guī)律2、4、6、8、10、可以表示為 2n 其中n為正整數(shù)4 、正、負(fù)交替規(guī)律變化一組數(shù)，不看他們的絕對(duì)值，只看其性質(zhì)，為正負(fù)交

3、替 1 、 -、 + 、 -、 + 、 - 、 + 、 -、 + 可以表示為 1n2、 + 、 -、 + 、 -、 + 、 - 、 + 、 - 可以表示為 1n 15 、平方數(shù)規(guī)律21、4、9、16、可以表示為n 其中n為正整數(shù)，能看得出：上面的規(guī)律數(shù) +1、+2、-1、-26、等差數(shù)列常識(shí)按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如：1 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6 ,2 1, 2, 4 , 8,16 , 32 ;A、一個(gè)數(shù)列中從左至右的第 n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第 n項(xiàng)。如，數(shù)列1的第3項(xiàng)是3，數(shù)列2的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第 n項(xiàng)記作an。B、 數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)

4、列2 4，也可以是無(wú)限多個(gè)，如數(shù)列1 3帶省略號(hào)。概念：干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)記作：a1，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)記作：an。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差記作：d 。其中：an a n 1d， n旦蟲1，數(shù)列的和Sn _並記得住就記，記不住就推理d2方法說(shuō)明：掌握3個(gè)原那么：數(shù)據(jù)外表上看來(lái)排列無(wú)序，且形式不一致，那么要進(jìn)行數(shù)據(jù)變形，使之形式一致；一組數(shù)中的每個(gè)數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分解，有時(shí)可快速得岀規(guī)律；對(duì)數(shù)據(jù)做一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算看岀規(guī)律，如：加一加、減一減，乘一乘、除一除3 57911根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫岀第10個(gè)數(shù)是觀察一列數(shù)：1，三-

5、49 1625 36古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，那么第100個(gè)與第98個(gè)的差為1 231 觀察一列數(shù)：，2 5 102 按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為4517，26根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫岀第10個(gè)數(shù)是?37練習(xí):1，丄，丄 丄，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中2 310 1526 35第七個(gè)數(shù)是3 某種細(xì)胞開(kāi)始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4并死去1個(gè),2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后n小時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，按此規(guī)律，5小時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是【2、圖形規(guī)律】根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律。解決圖形規(guī)律問(wèn)題的方法有兩種： 一種

6、是數(shù)形結(jié)合，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，用數(shù)字規(guī)律的解決問(wèn)題；一種是通過(guò)圖形的直觀性，觀察圖形 的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成局部的相對(duì)位置入手，從中找出變化規(guī)律。觀察圖給岀的四個(gè)點(diǎn)陣，s表示每個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，按照?qǐng)D形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化規(guī)律，猜測(cè)第n個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù) s為 A、3n 2 B、3n 1 C、4n 1 D、4n 3第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第岀S- 1S-5 ST例4假設(shè)按以下圖方式擺放餐桌和椅子，請(qǐng)?zhí)剿饕?guī)律并填表：、f、 匚二 aa 心匚 n a a a餐桌張數(shù)123410n可坐人數(shù)dgaD D D D D D D D D D D D練習(xí)：1觀察以下圖形，那么第 n個(gè)

7、圖形中三角形的個(gè)數(shù)是第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)a、2n 2b、4n 4c、4n 4d、4n2 如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)根底圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)根底圖形組成，第8個(gè)圖案由 個(gè)根底圖形組成，第 n n是正整數(shù)個(gè)圖案中由個(gè)根底圖形組成。(1)(2)(3)3以下圖案是晉商大院窗格的一局部，其中O代表窗紙上所貼的剪紙，那么第 n個(gè)圖中所貼剪紙 O的個(gè)數(shù)為(1)(2)(3)【3、循環(huán)排列規(guī)律】循環(huán)排列規(guī)律是運(yùn)動(dòng)著的規(guī)律，我們只要根據(jù)題目的局部分析岀圖案或數(shù)據(jù)每隔幾個(gè)就會(huì)循環(huán)岀現(xiàn)，看看最后所求的與循環(huán)的第幾個(gè)一致即可，關(guān)鍵是找岀“循環(huán)節(jié) 。其次，就是利用“余數(shù)例5如下圖，數(shù)軸被折成90，圓的周

8、長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0 , 1，2，3先讓圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù) 3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，數(shù)軸固定，圓緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸的正方向滾動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)2021將與圓周上的數(shù)字例6手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A、B、C、D 請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向即 A - B - C - D - C - B- A t B t C的方式從 A開(kāi)始數(shù)連續(xù)的 正整數(shù)1，2，3，4，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是 ;當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是 ;當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)n為正整數(shù)，恰好數(shù)到的數(shù)是 用含n的代數(shù)式表示.練習(xí)：1 如下圖，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的 4等分點(diǎn)處標(biāo)上

9、數(shù)字0,1,2,3 。先讓圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较蚶@在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)2006將與圓周上的數(shù)字 重合。-5-4-3-2-10A、第502個(gè)正方形的左下角B、第502個(gè)正方形的右下角C、第503個(gè)正方形的左上角D、第503個(gè)正方形的右下角(3 )觀察以下圖形排列規(guī)律(其中是三角形，是正方形，O是圓)，假設(shè)第一個(gè)圖形是正方形，那么第 2021個(gè)圖形是 (填圖形名稱)【4、算式規(guī)律】應(yīng)對(duì)的一般原那么：找出等式中的各個(gè)局部；找出等式中的各個(gè)局部中不變的局部；找出等式中的各個(gè)局部中變化的局部、并尋找他們的變化規(guī)律。例71+2+3+-+100=?經(jīng)過(guò)研

10、究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是 1 2 3 .n n(n衛(wèi)，其中n是2正整數(shù)?，F(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：1 2 2 3n(n 1)?觀察下面三個(gè)特殊的等式：121132 301 2231 233 412 3341 334 523 4將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1X2+2X 3+3X 4 =1 3 43520讀完這段材料，請(qǐng)你思考后答復(fù)：12 2 3100101例8 觀察以下三行數(shù):1，2，4，8，16，32,；2，4，8，16,32，64，-;0，6，6，18,30，66，-；(1 )第行數(shù)按什么規(guī)律排列？(2 )第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系?(3 )取每行數(shù)的第n個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和能否等

11、于-1278，如果能，指出是每行的第幾個(gè)數(shù)，并求出這三個(gè)數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí):(1 )觀察以下算式：1 5 4 32 , 2 6 4 42, 3 7 4 52, 4 8 4 62，請(qǐng)你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空： 502,第n個(gè)式子呢？ (2 )觀察以下各式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3 X 5 = 15，而 15 = 415 X 7 = 35，而 35 = 61211 X13 = 143，而 143 = 121將你猜測(cè)到的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示岀來(lái)： (3 )以下圖是由同型號(hào)黑白兩種顏色的三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。 仔細(xì)觀察圖形可知：圖有塊黑色的瓷磚，可表示為圖有塊黑色的

12、瓷磚，可表示為圖有塊黑色的瓷磚，可表示為1)12 ；2 (1 2) 22 ；2 32(1實(shí)踐探索:(1 )請(qǐng)?jiān)趫D的虛線框內(nèi)畫出第 4個(gè)圖形(只須畫出草圖)(2 )第10個(gè)圖形有 _塊黑色的瓷磚(直接填寫結(jié)果)(3 )第n個(gè)圖形有多少塊黑色的瓷磚？(用含 n的代數(shù)式表示)【5、數(shù)表規(guī)律】兼具數(shù)字規(guī)律和圖形規(guī)律的特點(diǎn)，難度加大 4 11111例9 將1 J1111丄按一定規(guī)律排列如下：2 34 56第1行1第2行1123111第3行456“ / 1111第4行78910出/1111 1第5行1112131415請(qǐng)你寫岀第20行從左至右第10個(gè)數(shù)是例101 在2021年10月的月歷中見(jiàn)圖1 ,任意圈

13、出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為a，那么用含a的整式表示這三個(gè)數(shù)從小到大排列分別是 。日 一二三四五六123456712348910 |1112131415:6 !17891011151617 !:181920211213 :-14:15 i1 116 1718222324 i:25262728:19120 !:2122 !23 iI24:252930313233343526272829 :11 1i 30 i1:3113637383940414243444546474849圖119961997199819992000200120022003200420052006200720212 現(xiàn)

14、將連續(xù)自然數(shù)1至2021按圖中的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形的數(shù)陣，用一個(gè)正方形框出9個(gè)數(shù)見(jiàn)圖2 圖中框出的這 9個(gè)數(shù)的和是 ; 在圖中，能否使一個(gè)正方形框出的9個(gè)數(shù)之和等于2007 ?假設(shè)不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；假設(shè)有可能，請(qǐng)求出該正方形框出的9個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)。寫岀詳細(xì)的解題過(guò)程練習(xí):(1 )一列數(shù)：1 ,2, 3 ,4, 5,6, 7, 將這列數(shù)排成如下所示的形式：按照上述規(guī)律排第1行1第2行-23第3行-45-6第4行7-89-10第5行11-1213-14下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)等于15(2 )將正偶數(shù)排成5列，如下表:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行161412

15、10第3行182022242826根據(jù)上面排列規(guī)律，那么 2000應(yīng)在()A、第25行，第1列B、第125行，第2列 C、第250行，第1列D、第250行，第2列(3 )觀察一列數(shù)表:第四列 第三列 第二列 第一列根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律,猜測(cè)第6行與第6列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為多少？第n行與第n列交叉點(diǎn)上的1234-第一行2345-第二行3456-第三行4567-第四行數(shù)應(yīng)為多少？(用n表示)【5、其它規(guī)律】等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q 0)。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：n 1an ai

16、q分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)主要有以下幾種形式：(1)分母為兩個(gè)相鄰自然數(shù)時(shí)：-=-耗(肖+ 1)理 旳十1(2 )分母為不相鄰自然數(shù)時(shí)(差為a):1=(- _ ) X 1沖(沖+仃)n. 起十肚皮(3 ) 分母為三個(gè)相鄰自然數(shù)時(shí)： = _ X ( ! )曲用 +罰 +2)2+ 1)期 + 2)i的正例ii我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1 i 1方形紙版上，依次貼上面積為，丄，丄，2 481形結(jié)合的思想，依數(shù)形變化的規(guī)律，計(jì)算-212n的矩形彩色紙片(n為大于1的整數(shù))請(qǐng)你用“數(shù)12n例12計(jì)算:12000 2001 2002練習(xí)：1 有一列數(shù)：第一個(gè)數(shù)為 X 1

17、，第二個(gè)數(shù)為X2 3，第三個(gè)數(shù)開(kāi)始依次記為 X3,X4,Xn ；從第二個(gè) X x3數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)是它相鄰兩個(gè)數(shù)和的一半。如: X2=二32 求第三、第四、第五個(gè)數(shù)，并寫岀計(jì)算過(guò)程； 根據(jù)1 的結(jié)果，推測(cè)X8= ； 探索這一列數(shù)的規(guī)律，猜測(cè)第 k個(gè)數(shù)Xk=_。k是大于2的整數(shù)2 將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如下圖可得到一條折痕圖中虛線.繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到7條折痕，那么對(duì)折四次可以得到 條折痕。如果對(duì)折n次，可以得到 條折痕。(3 )【1、數(shù)字問(wèn)題】例1觀察一列數(shù)：1,解：正負(fù)控制：(1)n1那么該數(shù)列的規(guī)律為：3 579114,9，16,25 36根

18、據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫岀第10個(gè)數(shù)是形式一致：3,5,7 ,分子規(guī)律：2n 1分母規(guī)律:1 4 9 16(2n 1)( 1)n12n令n=10，第10個(gè)數(shù)為:19例2古希臘數(shù)學(xué)家把1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，那么第100個(gè)與第98解：第1個(gè)數(shù)：1第2個(gè)數(shù):1+2=3第3個(gè)數(shù):1+2+3=6第4個(gè)數(shù):1+2+3+4=10依次類推。個(gè)的差為第 98 個(gè)數(shù)：1+2+3+.+98第 100 個(gè)數(shù)：1+2+3+ +100那么第100個(gè)與第98個(gè)的差為：100+99=199練習(xí):(1)觀察一列數(shù):1017266根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫岀第10個(gè)數(shù)是?37解：正負(fù)控制：(1)

19、分子規(guī)律:分母規(guī)律2125 22 1 ,10 321，以此類推那么該數(shù)列的規(guī)律為:n 1n ( 1)n21，令n=10(2 )按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為1 12，3,，第10個(gè)數(shù)為：-11011 1,，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中26 351丄10，15,第七個(gè)數(shù)是解：正負(fù)控制：(1)n分子規(guī)律:分母:2,3,10,15分母規(guī)律：21221,3 21,102 231,15 41 ,以此類推：n2( 1)n那么該數(shù)列的規(guī)律為:，令n=7，第7個(gè)數(shù)為:n (1)150(3 )某種細(xì)胞開(kāi)始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，按此規(guī)律，5小

20、時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是 , n小時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是 解：讀題該數(shù)列為：3，5，9 ,17.(一般一個(gè)數(shù)列知道前 3個(gè)可推岀規(guī)律，再知道第 4個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證)不難發(fā)現(xiàn)：3 21 1,5 22 1,9 23 1，故該數(shù)列規(guī)律：2n 1令n=5，第5個(gè)數(shù)為：25132 133【2、圖形規(guī)律】例3 觀察圖給出的四個(gè)點(diǎn)陣,s表示每個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，按照?qǐng)D形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化規(guī)律，猜測(cè)第n個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù) s為( )A、3n 2 B、3n 1 C、4n 1 D、4n 3解：第1個(gè)圖：仁1+4X 0第 2 個(gè)圖：1+4=1+4 X 1第 3 個(gè)圖：1+4+4=1+4 X 2以此類推第n個(gè)圖：1+4 X ( n 1)

21、=4n 3例4假設(shè)按以下圖方式擺放餐桌和椅子，請(qǐng)?zhí)剿饕?guī)律并填表:口 口口口口 口口第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)S- 1S-5 ST S 二 13 口 口口口口 II 口 口口 (3餐桌張數(shù)123410n可坐人數(shù)6+4X 06+4X 仁106+4X 2=1418424n 2練習(xí):(1)觀察以下圖形，那么第 n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是(a、2n 2b、4n 4解：第1個(gè)圖：4個(gè) 第2個(gè)圖：8個(gè)c、4n 4第3個(gè)圖：d、4n12個(gè) 規(guī)律：4n(2 )如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)根底圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)根底圖形組成，第8個(gè)圖案由 個(gè)根底圖形組成，第 n (n是正整數(shù))個(gè)圖案中由個(gè)根底圖形組

22、成。(1)(2)解：第1個(gè)圖：4=4+3X 0第2個(gè)圖：4+3=4+3X1第3個(gè)圖：4+3+3=4+3X2以此類推，第 n個(gè)圖：4+3X (n - 1) =3n+1 ，令n=8，第8個(gè)圖：3X 8+仁25(3 )以下圖案是晉商大院窗格的一局部，其中O代表窗紙上所貼的剪紙，那么第n個(gè)圖中所貼剪紙 O的個(gè)數(shù)為FT0ooPo-Poooo(1)(2)解：第1個(gè)圖：5=5+3X 0第 2 個(gè)圖：5+3=5+3X1第 3 個(gè)圖：5+3+3=5+3X2以此類推，第n個(gè)圖：5+3X (n - 1) =3n+2【3、循環(huán)排列規(guī)律】如下圖，數(shù)軸被折成90圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0 ,1，2

23、，3先讓圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù) 3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，數(shù)軸固定，圓緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸的正方向滾動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)2021將與圓周上的數(shù)字重合解：2與3重合，1與4重合，0與5重合，3月6重合，接著2與7重合，1與8重合，0與9重合，3與10重合，以此類推 發(fā)現(xiàn)：數(shù)軸上的數(shù)只能與 2、1、0、3這4個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)重合，這4個(gè)數(shù)(2,1,0,3,2,1,0,3-)反復(fù)的在數(shù)軸上循環(huán)出現(xiàn)，而 3 到 2021 間有：2021 - 3+仁2007個(gè)數(shù)，2007 - 4=501 余數(shù) 3也就是說(shuō)2、1、0、3這4個(gè)數(shù)循環(huán)了 501次，還要多走3個(gè)。當(dāng)余數(shù)為0，說(shuō)明正好循環(huán)，對(duì)應(yīng)數(shù)與3重合。余數(shù)為1

24、那么與2重合，余數(shù)為2那么與1重合，余數(shù)為3那么與0重合。此題與數(shù)字0重合例6 手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A、B、C、D 請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向即 A - B - C - D - C - B- A t B t C的方式從 A開(kāi)始數(shù)連續(xù)的 正整數(shù)1 , 2, 3, 4，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是 ;當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是 ;當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)n為正整數(shù)，恰好數(shù)到的數(shù)是 用含n的代數(shù)式表示.解：由題知：A B C D C B對(duì)應(yīng)數(shù)：123456也就是說(shuō)字母循環(huán)節(jié)數(shù)為 “6每數(shù)6個(gè)數(shù)后，字母將循環(huán)岀現(xiàn)12 -6=2 余數(shù)0 說(shuō)明正好循環(huán)完畢，對(duì)應(yīng)字母B,即：當(dāng)數(shù)到12

25、時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是 B字母C第1次出現(xiàn)對(duì)應(yīng)數(shù)為：3，第2次出現(xiàn)對(duì)應(yīng)數(shù)為：5，一個(gè)循環(huán)內(nèi)出現(xiàn)了 2次字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，說(shuō)明：循環(huán)節(jié)循環(huán)了100次+3，即，數(shù)到的數(shù)是：100X 6+3=603循環(huán)節(jié)循環(huán)n次，字母C將出現(xiàn)2n次，字母C第2n+1次出現(xiàn)，說(shuō)明繼續(xù)走了 3對(duì)應(yīng)數(shù)字是：6n+3練習(xí)：1 如下圖，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0,1,2,3 。先讓圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)一1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较蚶@在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)-2006 將與圓周上的數(shù)字 重合。解：按照0,2,3,1的順序循環(huán)，4個(gè)數(shù)一個(gè) 循環(huán)節(jié)數(shù)1 到2006 之間有：1 - 2

26、006 +仁20062006 - 4=501 余數(shù)2，余數(shù)1與0對(duì)應(yīng)，余數(shù)2與2對(duì)應(yīng)，余數(shù)3與3對(duì)應(yīng)，余數(shù)0與1對(duì)應(yīng)故2006與圓周上的數(shù)字2重合。C、第503個(gè)正方形的左上角個(gè)正方形的右下角D、第解：2021- 3=502 余數(shù) 3 那么 2021必須在第503個(gè)正方形中的左上角岀現(xiàn)，答案C503(3 )觀察以下圖形排列規(guī)律(其中是三角形，是正方形，O是圓)， ?口假設(shè)第一個(gè)圖形是正方形，那么第 2021個(gè)圖形是 (填圖形名稱)解：看昏了吧，0( n_ n )0哈！ 是三角形記作 1，是正方形記作2 ,o是圓記作3換個(gè)方式看： 看出什么？“ 2312231 這7個(gè)數(shù)為一個(gè)“循環(huán)節(jié)2021 -

27、 7=286 余數(shù)6，余數(shù)6對(duì)應(yīng)循環(huán)節(jié)中的第 6個(gè)數(shù)：3，3對(duì)應(yīng)的是O,也就是圓嚀，其中鶴【4、算式規(guī)律】例71+2+3+-+100=?經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是 1 2 3正整數(shù)?，F(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：1 2 2 3n(n 1) ?觀察下面三個(gè)特殊的等式:121132301 2231 233412 3341 334523 4將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1X12+2X 3+3X 4 =3 4520讀完這段材料，請(qǐng)你思考后答復(fù):1223100 101 1 解：1 2-123012312 32 3 4 1 2 3313 4- 3 4 5 2 3 431以此類推99 100(99

28、100 101 98 99 100)100 101*100 101 102 99 100 101)這些式子加起來(lái)，左邊=122 3L100 10右邊=1 100 10110：2=343400(原理：裂項(xiàng)相消)3如果此題改為：求1 2323 434 5 .9899 100的值?提示：123丄(123 4 01 23)4例8 觀察以下三行數(shù):(武珞路期中考試壓軸題，來(lái)自某年某月某日的中考題，超綱了)1，2，4，8，16，32,；2，4，8，16,32，64，-;0，6，6，18,30，66，-;(1 )第行數(shù)按什么規(guī)律排列？解:有個(gè)常識(shí) a0 1(a 0)，am an am n (a 0)，an

29、丄(a 0)a七年級(jí)學(xué)生還沒(méi)學(xué)，先記著吧，名校喜歡這么搞超前不看符號(hào)：1，2，4，8，的規(guī)律就是 2n 1第1項(xiàng)n=1時(shí)，2 1符號(hào)控制：(1)n，因此該數(shù)列規(guī)律：(1)n 2n1(2 )第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系？解：第行數(shù)是第行數(shù)的 2倍，第行數(shù)規(guī)律是:n n 1n n 1 1n n(1) 2 2=(1) 2 ( 1) 2第行數(shù)比第行數(shù)，每個(gè)數(shù)大2，所以第行數(shù)是第行數(shù)的2倍加2第行數(shù)規(guī)律是：(1)n 2n 2(3 )取每行數(shù)的第n個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和能否等于- 1278，如果能，指出是每行的第幾個(gè)數(shù)，并求出這 三個(gè)數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：每行的第n個(gè)數(shù)符號(hào)都是一樣的(同為正或負(fù))，要

30、使得這3個(gè)數(shù)的和為負(fù)數(shù)，那么 3個(gè)數(shù)都必須為負(fù)數(shù)，即n應(yīng)該是奇數(shù)，所以：(1)n1，取每行數(shù)的第n個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和可表示為：(2n 1) ( 2n) ( 2n2)，由題知2n 12n 2n 21278 (移項(xiàng))整理：2n 12n 2n1280，2n2112 2n 1280， 2n 2 2n 128025-2n 1280，即 2n512，解得n=9，即每行的第9個(gè)數(shù)之和為1278那么3個(gè)數(shù)為：256，512，510練習(xí)：2(1 )觀察以下算式：15432，2 642 2 24，3 745，4 8 46,請(qǐng)你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空：48524 502,第n個(gè)式子呢？ 解：第n個(gè)式子：

31、n(n 4)4 (n 2)22 觀察以下各式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?23 X 5 = 15，而 15 = 415 X 7 = 35，而 35 = 62111 X13 = 143，而 143 = 1221將你猜測(cè)到的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示岀來(lái)：解:2(n 1)( n 1) n 1武珞路期中考，也是中考題3 以下圖是由同型號(hào)黑白兩種顏色的三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。仔細(xì)觀察圖形可知:L圖有塊黑色的瓷磚，可表示為圖有塊黑色的瓷磚，可表示為圖有塊黑色的瓷磚，可表示為(1 1) 12 ；2 (1 2) 22 ；2 3(2實(shí)踐探索:1 請(qǐng)?jiān)趫D的虛線框內(nèi)畫出第 4個(gè)圖形只須畫出草圖自己畫吧2 第10個(gè)

32、圖形有塊黑色的瓷磚直接填寫結(jié)果3 第n個(gè)圖形有多少塊黑色的瓷磚？用含n的代數(shù)式表示解：第n個(gè)圖形中有1+2+3+4+.+n個(gè)黑色的瓷磚其實(shí)就是“高斯求和這是等差數(shù)列1+2+3+4+(1 n)n.+n=2當(dāng)n=10時(shí)，第10個(gè)圖形有：55塊黑色的瓷磚【5、數(shù)表規(guī)律】兼具數(shù)字規(guī)律和圖形規(guī)律的特點(diǎn)，難度加大 4 11 111例9 將1 J1111丄按一定規(guī)律排列如下：2 34 56第1行1第2行1123111第3行456“ / 1111第4行78910出/1111 1第5行1112131415請(qǐng)你寫岀第20行從左至右第10個(gè)數(shù)是。11111解：首先找出1, 丄 這個(gè)數(shù)列的規(guī)律：(1)n1丄2 34

33、56n第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，以此類推，那第20行從左至右第10個(gè)數(shù)，是數(shù)列11 12,3丄，1,丄丄中的第多少個(gè)數(shù)?4 56(1 19) 19,11111,應(yīng)該是：(1+2+3+ .+19)+10=10200，那么數(shù)列 1, 丄22 34 561中的第200個(gè)數(shù)： ，就是我們要找的200例10(1 )在2021年10月的月歷中(見(jiàn)圖1 )，任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為a，那么用含a的整式表示這三個(gè)數(shù)(從小到大排列)分別是日 一二三四五六1234567123489:10 i111213:145!6 i78910111516仃181920|211213 i:14

34、15 i: :1 i16 i17182223i24252627281920 i2122 |23 i242529303132333435262728 129 !1 1i 30 !I 31圖11996199719981999200020012002200320042005200620072021解：a 7,a, a 7圖 2(2 )現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2021按圖中的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形的數(shù)陣，用一個(gè)正方形框出9個(gè)數(shù)(見(jiàn)圖2 圖中框出的這9個(gè)數(shù)的和是 ；在圖中，能否使一個(gè)正方形框出的9個(gè)數(shù)之和等于2007 ?假設(shè)不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；假設(shè)有可能，請(qǐng)求出該正方形框出的9個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和最小數(shù)：a - 8=

35、 223- 8=215最大數(shù)：a+8=223+8=231最大數(shù)。(寫岀詳細(xì)的解題過(guò)程)!:111213解：對(duì)于框中的9個(gè)數(shù)之和，你當(dāng)然可以直接加加算岀來(lái)，ii 181920但不建議這么干，要為后面的問(wèn)題找到一個(gè)通用的方法。:1-i 252627:設(shè)正中間的數(shù)為a,如圖，這9個(gè)數(shù)之和可表示為：(a 8) (a 7) (a 6) (a 1) a (a 1) (a 6) (a 7) (a 8)a 8a 7a 6=9aa 1a1a + 1i當(dāng)a=19 ,圖中框出的這 9個(gè)數(shù)的和是：19 X9=171a + 6a + 7a + 8-當(dāng)9a=2007 時(shí)，a=223，此時(shí)該正方形框出的 9個(gè)數(shù)中練習(xí):(1

36、 )一列數(shù)：1，2，3 , 4, 5, 6, 7, 將這列數(shù)排成如下所示的形式：按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)等于第2行23第3行456第4行78910第5行11121314第1行 115解：首先找岀1 , 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 ,這個(gè)數(shù)列的規(guī)律:(1)n1第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，以此類推,那第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)，是數(shù)列1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 中的第多少個(gè)數(shù)?(1 9) 9應(yīng)該是：(1+2+3+ .+9 ) +5=5 50 ,那么數(shù)列 1 ,2,3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,2中的第50個(gè)數(shù)：50,

37、就是我們要找的2 將正偶數(shù)排成5列，如下表:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行1820222432302826根據(jù)上面排列規(guī)律，那么 2000應(yīng)在A、第25行，第1列 B、第125行，第2列 C、第250行，第1列 D、第250行，第2列解：每行有4個(gè)數(shù)，奇數(shù)行第1列空缺，數(shù)由小到大排列；偶數(shù)行第5列空缺，數(shù)由大到小排列2、4、6、82000是一個(gè)等差數(shù)列，公差為 2，按照前面所講項(xiàng)數(shù)=末項(xiàng)首項(xiàng) 公差+ 1，所以2到2000之間有：1000 項(xiàng)那么2000位于：1000 - 4=250 余數(shù)0 即2000位于第250行末尾處，偶數(shù)行末尾列是第1列3 觀察一列數(shù)表:第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行2345第3行3456第4行4567根據(jù)數(shù)表