D104對(duì)面積曲面積分課件

1、D104對(duì)面積曲面積分第四節(jié)第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分 第十章第十章 D104對(duì)面積曲面積分oxyz一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: : 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類(lèi)似求平面薄板質(zhì)量的思想類(lèi)似求平面薄板質(zhì)量的思想, ,采用采用kkkkS),(可得可得nk 10limM),(kkk “ “大化小大化小, ,常代變常代變, ,近似和近似和, ,求極求極限限” ” 的方法的方法, ,量量M

2、.其中其中, 表示表示n小塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的最大值最大值( (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者最大者). ). 求質(zhì)求質(zhì) D104對(duì)面積曲面積分SzyxMd),(定義定義:設(shè)設(shè) 為光滑曲面為光滑曲面,“乘積乘積和式極限和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,的的曲面積分曲面積分Szyxfd),(其中其中f(x,y,z)叫做叫做被積被積據(jù)此定義據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為曲面面積為SSdf(x,y,z)是定義在是定義在 上的一上的一 個(gè)有界個(gè)有界函數(shù)函數(shù),記作記作或或第一類(lèi)曲面積分第一類(lèi)曲面積分.

3、若對(duì)若對(duì) 做做任意分割任意分割和局部區(qū)域和局部區(qū)域任意取點(diǎn)任意取點(diǎn), 則稱(chēng)此極限為函數(shù)則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面在曲面 上上對(duì)面積對(duì)面積函數(shù)函數(shù), 叫做叫做積分曲面積分曲面.D104對(duì)面積曲面積分則對(duì)面積的曲面積分存在則對(duì)面積的曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性對(duì)積分域的可加性.,21則有則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線(xiàn)性性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù), 對(duì)對(duì)面積面積的曲面積分與對(duì)的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分性

4、質(zhì)類(lèi)似的曲線(xiàn)積分性質(zhì)類(lèi)似. 積分的存在性積分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的, 例如分成例如分成兩片光滑曲面兩片光滑曲面D104對(duì)面積曲面積分定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在在 上連續(xù)上連續(xù),存在存在, 且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則則曲面積分曲面積分證明證明: 由定義知由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limoxyzyxD),(kkkyxk)(D104對(duì)面積曲面積分

5、kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而而( ( 光滑光滑) )D104對(duì)面積曲面積分說(shuō)明說(shuō)明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類(lèi)似的公式可有類(lèi)似的公式.1)如果曲面方程為如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下只要

6、求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式的表達(dá)式, 也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分的二重積分. (見(jiàn)本節(jié)后面的例見(jiàn)本節(jié)后面的例4, 例例5) D104對(duì)面積曲面積分yxD例例1. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的頂部截出的頂部.解解:yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyhaD104對(duì)面積曲面積分思考思考:若若 是球面

7、是球面2222azyx被平行平面被平行平面z =h截截出的上下兩部分出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則則hoxhzyD104對(duì)面積曲面積分例例2.2. 計(jì)算計(jì)算,dSzyx其中其中 是由平面是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. . ozyx111解解: : 設(shè)設(shè)上的部分上的部分, ,則則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式原式= = 分別表示分別表示 在平面在平面 D104對(duì)面積曲面積分o例例3. 設(shè)設(shè)2

8、222:azyx),(zyxf計(jì)算計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面與上半球面交線(xiàn)為交線(xiàn)為為上半球面夾于錐面間的部分為上半球面夾于錐面間的部分, 它在它在xoy面面上的投影域?yàn)樯系耐队坝驗(yàn)閤zy1yxD則則 1d)(22SyxID104對(duì)面積曲面積分1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd1xozyyxD思考思考: 若例若例3中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為 ),(zyxf,2

9、2yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何計(jì)算結(jié)果如何? D104對(duì)面積曲面積分例例4. 求半徑為求半徑為R的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心的重心.解解: 設(shè)設(shè) 的方程為的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對(duì)稱(chēng)性可知重心的坐標(biāo)利用對(duì)稱(chēng)性可知重心的坐標(biāo),0yx而而 z 2223RRR用球坐標(biāo)用球坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例例3是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算?D104對(duì)面積曲面積分例例5.5.計(jì)算計(jì)算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: :取球面坐標(biāo)系取球面坐標(biāo)系, ,則則,cos:

10、Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20dD104對(duì)面積曲面積分例例6. 計(jì)算計(jì)算,d)(22SyxI其中其中 是球面是球面22yx 利用對(duì)稱(chēng)性可知利用對(duì)稱(chēng)性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為半徑為3x利用重心公式利用重心公式SxdSd).(22zyxzD104對(duì)面積曲面積分例例7.7. 計(jì)算計(jì)算,d222zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面分析分析: : 若將曲面分為前后若將曲面分為

11、前后( (或左右或左右) )zRSd2d則則HzRzRI022d2RHarctan2之間的圓柱面之間的圓柱面.222RyxHzz ,0zzdoHxyz解解: : 取曲面面積元素取曲面面積元素兩片兩片, , 則計(jì)算較繁則計(jì)算較繁. . D104對(duì)面積曲面積分例例8. 求橢圓柱面求橢圓柱面19522yx位于位于xoy面上方及平面面上方及平面 z = y下方那部分柱面下方那部分柱面 的側(cè)面積的側(cè)面積S. 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosdcos453025ln4159oyxzLsdzszSddttttdcos9sin5sin3220syLdD104對(duì)面積曲

12、面積分例例9. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度距地面高度 h=36000km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑地球半徑R=6400km)解解: R建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面覆蓋曲面 的的半頂角為半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系利用球坐標(biāo)系, 則則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22yzxohRD104對(duì)面積曲面積分故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與

13、地球表面積的比為故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積以上的面積, 故使用三顆相隔故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面全表面. 說(shuō)明說(shuō)明: 此題也可用二重積分求此題也可用二重積分求A(見(jiàn)下冊(cè)見(jiàn)下冊(cè)P109例例2). yzxohRRD104對(duì)面積曲面積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1.定義定義: :Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2.2.計(jì)算計(jì)算: :設(shè)設(shè),),( , ),(:yxDyxyx

14、zz則則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd( (曲面的其他兩種情況類(lèi)似曲面的其他兩種情況類(lèi)似) ) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)性、重注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)性、重心公式心公式 簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. . D104對(duì)面積曲面積分思考與練習(xí)思考與練習(xí)P158 題題1；3；4(1); 7 解答提示解答提示:P158 題題1.SzyxzyIxd),()(22P158 題題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)設(shè)則則0P184 題題2D104對(duì)面積曲面積分P158 P158 題題4(1).4(1). 在

15、在xoy面面上的投影域?yàn)樯系耐队坝驗(yàn)?:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是這是 的面積的面積! !oyxz22xyD)(2:22yxzD104對(duì)面積曲面積分P159 P159 題題7. 7. 如圖所示如圖所示, ,有有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320136152tttd)1(302221rt令o1yxDx2zyD104對(duì)面積曲面積分P184 題題2. 設(shè)設(shè)),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分一卦限中的部分, 則有則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC(2000考研考研)D104對(duì)面積曲面積分1. 已知曲面殼已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面求此曲面殼在平面z1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度質(zhì)量質(zhì)量M. 解解: 在在xoy面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDyx故故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213D104對(duì)面積曲面積分2. 2. 設(shè)設(shè)