第七講參數(shù)估計_685304785

1、第七講第七講 參數(shù)估計參數(shù)估計一、什么是參數(shù)估計一、什么是參數(shù)估計 參數(shù)估計就是用樣本統(tǒng)計量對總體的未知參數(shù)進(jìn)行估計，簡稱參數(shù)估計。 以樣本的統(tǒng)計值來估計總體的參數(shù)值，有兩類做法，一類是點估計，另一類是區(qū)間估計。 1 1、點估計、點估計 是以一個最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計值來代表總體的參數(shù)值。 合適的樣本統(tǒng)計量作為參數(shù)估計量，如下：11niiXXn2211()1niiSXXn2 2、區(qū)間估計、區(qū)間估計 就是以兩個數(shù)值之間的間距來估計參數(shù)值。 區(qū)間估計要包括兩個要素：區(qū)間估計要包括兩個要素： 一是要有合理的允許誤差范圍。指樣本統(tǒng)計量與被估計總體參數(shù)離差的絕對值可允許變動的上限或下限； 二是要有一個可接受的

2、置信度。置信度又稱推斷的概率保證程度，這是估計的可靠性問題。二、點估計的估計方法二、點估計的估計方法 點估計，以一個最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計值代表總體的參數(shù)值。點估計，以一個最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計值代表總體的參數(shù)值。 評價估計量優(yōu)劣的三個標(biāo)準(zhǔn)：評價估計量優(yōu)劣的三個標(biāo)準(zhǔn)：（1 1）無偏性。即樣本統(tǒng)計量的期望值（平均值）等于被估）無偏性。即樣本統(tǒng)計量的期望值（平均值）等于被估計的總體參數(shù)。計的總體參數(shù)。雖然每一次抽樣的統(tǒng)計量取值和總體參數(shù)的真值可能雖然每一次抽樣的統(tǒng)計量取值和總體參數(shù)的真值可能有誤差，但在多次反復(fù)抽樣中，所有樣本統(tǒng)計量取值的平有誤差，但在多次反復(fù)抽樣中，所有樣本統(tǒng)計量取值的平均數(shù)應(yīng)該等于總體參數(shù)

3、本身。均數(shù)應(yīng)該等于總體參數(shù)本身。（2 2）一致性。即當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時，樣本）一致性。即當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時，樣本統(tǒng)計量充分靠近總體參數(shù)。統(tǒng)計量充分靠近總體參數(shù)。 （）有效性。即作為優(yōu)良估計量的方差比其他（）有效性。即作為優(yōu)良估計量的方差比其他估計量的方差小。估計量的方差小。 用樣本均值作為總體均用樣本均值作為總體均值的點估計，用樣本方差值的點估計，用樣本方差作為總體方差的點估計。作為總體方差的點估計。 對于是定類變量，對于是定類變量，X X取值取值為（為（1 1，0 0），可以用樣本），可以用樣本成數(shù)作為總體成數(shù)估計值。成數(shù)作為總體成數(shù)估計值。11niiXXn2211()1niiSXX

4、n11niimpXnn例例1 1、工會為了解春游期間需租用幾輛公共、工會為了解春游期間需租用幾輛公共汽車，在全廠汽車，在全廠1000010000名職工中隨機(jī)抽取名職工中隨機(jī)抽取100100人進(jìn)行調(diào)查。結(jié)果顯示，其中有人進(jìn)行調(diào)查。結(jié)果顯示，其中有2020名愿意外名愿意外出旅游。設(shè)每輛車可載乘客出旅游。設(shè)每輛車可載乘客5050名，問估計要名，問估計要預(yù)租多少輛公共汽車？預(yù)租多少輛公共汽車？ 解：解：P=20/100=0.2P=20/100=0.2可以用可以用P P 作為愿意外出春游總體成數(shù)的點估計，因作為愿意外出春游總體成數(shù)的點估計，因此全廠估計將有：此全廠估計將有：1000010000* *0.

5、2=20000.2=2000（人）（人）參加春游。又因為每輛公共汽車可容乘客參加春游。又因為每輛公共汽車可容乘客5050人，因人，因此有：此有：2000/50=402000/50=40（輛）（輛）三、區(qū)間估計的估計方法三、區(qū)間估計的估計方法1 1、置信區(qū)間、置信區(qū)間 置信區(qū)間是用來估計參數(shù)取值范圍的，是根據(jù)置信區(qū)間是用來估計參數(shù)取值范圍的，是根據(jù)給定的置信度要求，指出總體參數(shù)被估計的上限給定的置信度要求，指出總體參數(shù)被估計的上限和下限。和下限。2 2、置信度與顯著性水平、置信度與顯著性水平 對于總體被估計參數(shù)對于總體被估計參數(shù) ，找出樣本的兩個估計量，找出樣本的兩個估計量11和和22，（，（1

6、212）使被估計參數(shù)落在區(qū)間（）使被估計參數(shù)落在區(qū)間（11，22）內(nèi)的）內(nèi)的概率為概率為1-1-，其中，其中 為介于為介于0 01 1之間的已知數(shù)，即之間的已知數(shù)，即 P P（1212）=1-=1- 稱區(qū)間（稱區(qū)間（11，22）為總體參數(shù)的估計區(qū)間，）為總體參數(shù)的估計區(qū)間，11為估計下限，為估計下限，22為估計上限，為估計上限，1-1-為估計置信度（表為估計置信度（表示用置信區(qū)間估計的可靠性），示用置信區(qū)間估計的可靠性）， 為顯著性水平（表為顯著性水平（表示用置信區(qū)間估計不可靠的程度）。示用置信區(qū)間估計不可靠的程度）。3 3、置信區(qū)間與置信度的關(guān)系、置信區(qū)間與置信度的關(guān)系 置信區(qū)間指被估計參數(shù)

7、的可能范圍，置信度為對參數(shù)落在這一范圍內(nèi)給定的概率保證程度。 參數(shù)的可能范圍是估計的準(zhǔn)確性問題，而相應(yīng)的概率保證程度（置信度）是估計的可靠性問題。 在作估計時我們常常希望準(zhǔn)確性盡可能提高，在作估計時我們常常希望準(zhǔn)確性盡可能提高，而且可能性也不能小，但這兩個要求是矛盾的。在而且可能性也不能小，但這兩個要求是矛盾的。在樣本容量不變的條件下，要縮小估計區(qū)間，提高估樣本容量不變的條件下，要縮小估計區(qū)間，提高估計的準(zhǔn)確性，勢必減少置信度，降低估計的可靠性計的準(zhǔn)確性，勢必減少置信度，降低估計的可靠性。樣本變量3438424650343436384042383638404244423840424446464

8、042444648504244464850例例2、用有放回抽樣的方法，從、用有放回抽樣的方法，從5人中間抽取人中間抽取2個構(gòu)成樣本，個構(gòu)成樣本，求樣本日平均工資，并推算總體的工資水平置信區(qū)間求樣本日平均工資，并推算總體的工資水平置信區(qū)間樣本日平均工資樣本日平均工資頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率3411/253622/253833/254044/254255/254444/254633/254822/255011/25合計合計251（1 1）計算樣本日平均平均數(shù)和方差為）計算樣本日平均平均數(shù)和方差為4242和和3333。 （2 2）根據(jù)以上分布資料可以寫出樣本日平均工資落在各種）根據(jù)以上分布資料可以寫出樣本日

9、平均工資落在各種區(qū)間的概率區(qū)間的概率p p。例如： P（40 44）=（4/25）+（5/25）+（4/25）=13/25 P（38 46）=（3/25）+（4/25）+（5/25）+（4/25）+（3/25）=19/25 P（34 50）=（1/25）+（2/25）+（19/25）+（2/25）+（1/25） =1 xxx 在重復(fù)抽樣中，樣本日平均工資與總體日平在重復(fù)抽樣中，樣本日平均工資與總體日平均工資的絕對離差不超過均工資的絕對離差不超過2 2元的概率為元的概率為13/2513/25，即，即有有52%52%的概率保證總體日平均工資落在的概率保證總體日平均工資落在40404444元元之間。

10、之間。 絕對離差不超過絕對離差不超過4 4元的概率為元的概率為19/25=76%19/25=76%，抽樣誤差不超過抽樣誤差不超過8 8元的概率為元的概率為100%100%。 抽樣誤差范圍和估計置信度是密不可分的，抽樣誤差范圍和估計置信度是密不可分的，抽樣誤差愈小，估計準(zhǔn)確度愈高，但置信度愈小。抽樣誤差愈小，估計準(zhǔn)確度愈高，但置信度愈小。置信度與準(zhǔn)確性的關(guān)系當(dāng)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1時，正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布。4 4、抽樣誤差范圍的計算、抽樣誤差范圍的計算 假定我們以Z表示置信度，S表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，SE= 表示抽樣平均誤差（抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤），n是樣本的大小，為抽樣誤差范圍 =Z nSnS例3、經(jīng)抽樣

11、調(diào)查計算樣本畝產(chǎn)糧食600公斤，并求得抽樣平均誤差為3公斤，現(xiàn)在給定抽樣誤差范圍為6公斤，求總體平均畝產(chǎn)落在估計區(qū)間的概率。 已知：已知：X=600X=600公斤，公斤，SE=3SE=3公斤，公斤，=6=6公斤，公斤，則：估計區(qū)間是為（則：估計區(qū)間是為（600-6600-6，600+6600+6）= =（594594，606606） Z= /SE = 6/3=2Z= /SE = 6/3=2 查正態(tài)概率表，落在估計區(qū)間內(nèi)的概率為查正態(tài)概率表，落在估計區(qū)間內(nèi)的概率為 F F（Z Z）=F=F（2 2）=95.45%=95.45%例4、麥當(dāng)勞餐館在7星期內(nèi)抽查49位顧客的消費額（元）如下：求在概率9

12、0%的保證下，顧客平均消費額的估計區(qū)間。15243826304218302526344420352426344818284619303642243245362147262831424536242827323647532224324626第一步：第一步：根據(jù)樣本計算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差： =32， s=9.45， =9.45/7=1.35第二步：第二步：根據(jù)給定的置信度F（Z）=90%，查概率表得Z=1.64第三步：第三步：計算=Z*SE=1.64*1.35=2.2元 據(jù)此估計總體平均消費額下限=32-2.2=29.8元。估計總體平均消費額上限=32+2.2=34.2元點估計：點估計：麥當(dāng)勞餐館總

13、體顧客平均消費額為32元。區(qū)間估計：區(qū)間估計：以90%的概率保證，麥當(dāng)勞餐館顧客消費額在29.834.2之間。nxxsSEn 例5、麥當(dāng)勞抽查49位顧客的消費額如下表，抽樣誤差范圍不超過2.2元，試估計顧客平均消費額的置信區(qū)間，并計算其置信度。15243826304218302526344420352426344818284619303642243245362147262831424536242827323647532224324626第一步：抽取樣本，計算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差第一步：抽取樣本，計算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差： =32， =9.45， =9.45/7=1.35第二步：根據(jù)給定的第二步：根

14、據(jù)給定的=2.2=2.2，計算總體平均消費額的上限和下限。，計算總體平均消費額的上限和下限。 總體平均消費額下限=32-2.2=29.8元。 估計總體平均消費額上限=32+2.2=34.2元第三步：根據(jù)第三步：根據(jù) Z=/SE = 2.2/1.35 = 1.63Z=/SE = 2.2/1.35 = 1.63，查概率表得，查概率表得F F（Z Z）= 90%= 90% 計算結(jié)果表明以90%的概率保證麥當(dāng)勞顧客平均消費的置信區(qū)間為29.834.2之間。nxxsSEn四、總體成數(shù)（比例、百分比）的估計四、總體成數(shù)（比例、百分比）的估計 例例6 6，在一項新廣告活動的跟蹤調(diào)查中，被，在一項新廣告活動的

15、跟蹤調(diào)查中，被調(diào)查的調(diào)查的400400人中有人中有240240人能記起廣告的標(biāo)語。試人能記起廣告的標(biāo)語。試求能記起廣告標(biāo)語占總體比率的求能記起廣告標(biāo)語占總體比率的95%95%置信度的置信度的估計區(qū)間。估計區(qū)間。第一步第一步，根據(jù)樣本資料計算： P = n1/n2 = 240/400 = 60%SE = =0.024549. 0) 6 . 01 ( 6 . 0)1 (Ppnpp)1 ( 第二步：根據(jù)給定的置信度要求第二步：根據(jù)給定的置信度要求F F（Z Z）=0.95=0.95， 查概率表求查概率表求Z Z值，得值，得Z=1.96Z=1.96第三步：根據(jù)第三步：根據(jù)p=Zp=Z* *SESE，=

16、1.96=1.96* *2.45%=4.8%2.45%=4.8%，則，則 總總體比率的上下限為：體比率的上下限為： 下限下限 = P-p = 60%-4.8%=55.2%= P-p = 60%-4.8%=55.2% 上限上限 = P+p = 60%+4.8%=64.8%= P+p = 60%+4.8%=64.8% 區(qū)間估計：以概率區(qū)間估計：以概率95%95%的保證程度，估計會記起廣告的保證程度，估計會記起廣告 標(biāo)標(biāo)語的人數(shù)占總體比率在語的人數(shù)占總體比率在55.2%55.2%64.8%64.8%之間。之間。 例7，估計某市居民住戶擁有冰箱的普及率，隨機(jī)抽取900戶居民戶，其中有675戶居民有冰箱

17、。在抽樣極限誤差不超過2.8%的情形下，試對該市居民住戶冰箱普及率進(jìn)行估計。 第一步，計算成數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，并推算抽樣平均誤差第一步，計算成數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，并推算抽樣平均誤差SESE。P = 675 / 900 = 75%s= 0.43SE =1.4%第二步，根據(jù)給定的第二步，根據(jù)給定的p=2.8%p=2.8%，計算總體成數(shù)估計區(qū)間的下，計算總體成數(shù)估計區(qū)間的下限和上限限和上限。估計區(qū)間下限 = P p = 75% - 2.8% =72.2%估計區(qū)間上限 = P +p =75% + 2.8% = 77.8%第三步，根據(jù)第三步，根據(jù)Z =p/SE = 2.8%/1.4% = 2Z =p/SE = 2.8%/1.4% = 2。查概率。查概率表得表得F F（2 2）= 95.45%= 95.45% 點估計：點估計：估計該市居民冰箱普及率為75%。 區(qū)間估計：區(qū)間估計：以概率95.45%的保證程度，估計該市居民冰箱普及率在72.277.8%之間。五、樣本的確定2理論上講，樣本越大越有代表性。但樣本大，所需要理論上講，樣本越大越有代表性。但樣本大，所需要的研究費用也越大。因此在調(diào)查前需要結(jié)合置信度、個案的研究費用也越大。因此在調(diào)查前需要結(jié)合置信度、個案之間相互差異的大