北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分課件

1、2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分12021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分2),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分3yyzxxzyxfyyx,xfz ),()(:問(wèn)題問(wèn)題2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分4全微分的定義全微分的定義2021-10-15北京交通大學(xué)朱

2、圣芝曲線(xiàn)曲面積分5( )zzzxyoxy , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處連連續(xù)續(xù).2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分6一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，2222220( , ).00 xyxyxyf x yxy 二、可微的條件二、可微的條件2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分7說(shuō)明說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能

3、保證 全微分存在，全微分存在，證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分8),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時(shí)時(shí)，01 .其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分9xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故故函函數(shù)數(shù))

4、,(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，02 ,2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分10全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分11例例 1 1 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)xyez 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(處處的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝

5、曲線(xiàn)曲面積分12例例 2 2 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分13證證 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分14)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 而而 22)()(yxyx 22()()xyxy ),()0 , 0()0

6、, 0( oyfxfzyx 2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分15思思路路：按按有有關(guān)關(guān)定定義義討討論論；對(duì)對(duì)于于偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)需需分分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討討論論.2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分16證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(連連續(xù)續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf2021-10-15北京

7、交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分17當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線(xiàn)線(xiàn)xy 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分18所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0

8、, 0(可微可微. 0)0,0( df2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分19多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分20全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用都較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfy

9、yxxfyx 2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分21例例 4 4 計(jì)計(jì)算算02. 2)04. 1(的的近近似似值值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分22多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)

10、系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié)三、小結(jié)2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分23HomeworkPage3261(1)(3)(4)(6)2(3), 3, 4，92021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分24 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx

11、時(shí)是無(wú)窮小量；時(shí)是無(wú)窮小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx時(shí)是無(wú)窮小量時(shí)是無(wú)窮小量.思考題思考題2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分25一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數(shù)若函數(shù)xyz , ,當(dāng)當(dāng)1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx時(shí)時(shí), ,函數(shù)的全增量函數(shù)的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 數(shù)若 函 數(shù)yxxyz , , 則則xz對(duì)對(duì)的 偏 增

12、量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.練練 習(xí)習(xí) 題題2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分26二、二、 求函數(shù)求函數(shù))1ln(22yxz 當(dāng)當(dāng), 1 x 2 y時(shí)的全微分時(shí)的全微分. .三、三、 計(jì)算計(jì)算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 設(shè)有一無(wú)蓋園柱形容器設(shè)有一無(wú)蓋園柱形容器, ,容器的壁與底的厚度均為容器的壁與底的厚度均為cm1 . 0，內(nèi)高為，內(nèi)高為cm20, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為cm4, ,求容器外殼體求容器外殼體積的近似值積的近似值. .五、五、 測(cè)得一塊三角形土地的兩邊邊長(zhǎng)分別為測(cè)得一塊三角形土地的兩邊邊長(zhǎng)分別為m1

13、 . 063 和和m1 . 078 , ,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為0160 . .試求三角形面積試求三角形面積的近似值的近似值, ,并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差. .六六、利利用用全全微微分分證證明明: :乘乘積積的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差等等于于各各因因子子的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差之之和和; ;商商的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差等等于于被被除除數(shù)數(shù)及及除除數(shù)數(shù)的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差之之和和. .2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分27七、求函數(shù)七、求函數(shù) ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), ,并研究在點(diǎn)并研究在點(diǎn))0 , 0(處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及 函數(shù)函數(shù)),(yxf的可微性的可微性. .2021-10-15北京交通大學(xué)朱圣芝曲線(xiàn)曲面積分28一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.1