《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第三版課后習題答案.

1、習題一：1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間：(1) 某籃球運動員投籃時, 連續(xù)5 次都命中, 觀察其投籃次數(shù); 解：連續(xù)5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2) 擲一顆勻稱的骰子兩次, 觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和; 解：；(3) 觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù); 解：醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)理論上可以從0到無窮，所以；(4) 從編號為1，2，3，4，5 的5 件產(chǎn)品中任意取出兩件, 觀察取出哪兩件產(chǎn)品; 解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會相同，編號必是一大一小，故： (5) 檢查兩件產(chǎn)品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，則；(6) 觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設(shè)最低

2、氣溫不低于T1, 最高氣溫不高于T2); 解：用表示最低氣溫, 表示最高氣溫;考慮到這是一個二維的樣本空間，故： ；(7) 在單位圓內(nèi)任取兩點, 觀察這兩點的距離; 解：；(8) 在長為的線段上任取一點, 該點將線段分成兩段, 觀察兩線段的長度. 解：；1.2 (1) A 與B 都發(fā)生, 但C 不發(fā)生; ；(2) A 發(fā)生, 且B 與C 至少有一個發(fā)生;；(3) A,B,C 中至少有一個發(fā)生; ；(4) A,B,C 中恰有一個發(fā)生;；(5) A,B,C 中至少有兩個發(fā)生; ；(6) A,B,C 中至多有一個發(fā)生;；(7) A;B;C 中至多有兩個發(fā)生;(8) A,B,C 中恰有兩個發(fā)生. ；注

3、意：此類題目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 設(shè)樣本空間, 事件=, 具體寫出下列各事件：(1) ; (2) ; (3) ; (4) （1） ； (2) =； (3) =; (4) = 1.6 按從小到大次序排列, 并說明理由. 解：由于故，而由加法公式，有：1.7 解：(1) 昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對應(yīng)事件概率為：(2) 由于事件可以分解為互斥事件，昆蟲出現(xiàn)殘翅, 但沒有退化性眼睛對應(yīng)事件 概率為：(3) 昆蟲未出現(xiàn)殘翅, 也無退化性眼睛的概率為：.1.8 解：(1) 由于，故顯然當時P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于。顯然當時P(AB) 取到最小值，最小值是0

4、.4.1.9 解：因為 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一個發(fā)生的概率為：1.10 解（1） 通過作圖，可以知道，（2） 1.11 解：用表示事件“杯中球的最大個數(shù)為個” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有種，每種放法等可能。對事件：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432種，故 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)。對事件：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)，故。1.12 解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本事件總數(shù)為36。.出現(xiàn)點數(shù)和為“3”對應(yīng)兩個基本事件（1，2），（2，1）。故前后兩次

5、出現(xiàn)的點數(shù)之和為3的概率為。同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為4，5 的概率各是。(1) 1.13 解：從10個數(shù)中任取三個數(shù)，共有種取法，亦即基本事件總數(shù)為120。(1) 若要三個數(shù)中最小的一個是5，先要保證取得5，再從大于5的四個數(shù)里取兩個，取法有種，故所求概率為。(2) 若要三個數(shù)中最大的一個是5，先要保證取得5，再從小于5的五個數(shù)里取兩個，取法有種，故所求概率為。1.14 解：分別用表示事件：(1) 取到兩只黃球; (2) 取到兩只白球; (3) 取到一只白球, 一只黃球.則。1.15 解：由于，故1.16(1) （2）解：（1） （2）注意：因為，所以。1.17 解：用表示事件“第

6、次取到的是正品”（），則表示事件“第次取到的是次品”（）。(1) 事件“在第一、第二次取到正品的條件下, 第三次取到次品”的概率為：。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率為：（3） 事件“第三次取到次品”的概率為：此題要注意區(qū)分事件（1）、(2）的區(qū)別，一個是求條件概率，一個是一般的概率。再例如，設(shè)有兩個產(chǎn)品，一個為正品，一個為次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），則事件“在第一次取到正品的條件下, 第二次取到次品”的概率為：；而事件“第二次才取到次品”的概率為：。區(qū)別是顯然的。1.18。解：用表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)”。用表示事件“從第二箱中取到的是次品”。則，根據(jù)全概

7、率公式，有：1.19解：設(shè)表示事件“所用小麥種子為等種子”，表示事件“種子所結(jié)的穗有50 顆以上麥粒”。則，根據(jù)全概率公式，有：1.20 解：用表示色盲，表示男性，則表示女性，由已知條件，顯然有：因此：根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：1.21 解：用表示對試驗呈陽性反應(yīng)，表示癌癥患者，則表示非癌癥患者，顯然有：因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：1.22 (1) 求該批產(chǎn)品的合格率;(2) 從該10 箱中任取一箱, 再從這箱中任取一件, 若此件產(chǎn)品為合格品, 問此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少?解：設(shè)，則（1） 根據(jù)全概率公式，該批產(chǎn)品的合格率為0.94.（2） 根據(jù)貝葉斯公式，同理可以求得

8、，因此，從該10 箱中任取一箱, 再從這箱中任取一件, 若此件產(chǎn)品為合格品, 此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為：。1.23解：記=目標被擊中，則1.24 解：記=四次獨立試驗，事件A 至少發(fā)生一次，=四次獨立試驗，事件A 一次也不發(fā)生。而，因此。所以三次獨立試驗中, 事件A 發(fā)生一次的概率為：。二、第一章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補充：（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當A=時，P()=1- P(B)（12）條件概率定

9、義 設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。（16）貝葉斯公式，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。第二章 隨機變量2.1 X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根據(jù)，得，即。 故 2.3解：用X表示甲在兩次投籃中所投中的次數(shù)，XB(2,0.7)用Y表示乙在兩次投籃中所投中的次數(shù), YB(2,0.4)(1) 兩人投中的次數(shù)相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=(2)甲比乙投中的次數(shù)多PXY= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=

10、0 +PX=2,Y=1=2.4解:（1）P1X3= PX=1+ PX=2+ PX=3=(2) P0.5X2.5=PX=1+ PX=2=2.5解：（1）PX=2,4,6,=（2）PX3=1PX3=1PX=1- PX=2=2.6解：設(shè)表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值為0，1，2=2.6解：(1)設(shè)X表示4次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則XB(4,0.4)(2)設(shè)Y表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則YB(5,0.4)2.7 （1）XP()=P(0.53)= P(1.5) =（2）XP()=P(0.54)= P(2)2.8解：設(shè)應(yīng)配備m名設(shè)備維修人員。又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則。依題意，設(shè)備發(fā)生

11、故障能及時維修的概率應(yīng)不小于0.99，即，也即因為n=180較大，p=0.01較小，所以X近似服從參數(shù)為的泊松分布。查泊松分布表，得，當m+1=7時上式成立，得m=6。故應(yīng)至少配備6名設(shè)備維修人員。2.9解：一個元件使用1500小時失效的概率為 設(shè)5個元件使用1500小時失效的元件數(shù)為Y，則。所求的概率為2.10（1）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有80萬千瓦時，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：（2）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有90萬千瓦時，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：2.11解:要使方程有實根則使解得K的取值范圍為,又隨機變量KU(-2,4)則有實根的概率為2.12解：XP()= P()(1)

12、（2）（3）2.13解：設(shè)每人每次打電話的時間為X，XE(0.5)，則一個人打電話超過10分鐘的概率為又設(shè)282人中打電話超過10分鐘的人數(shù)為Y，則。因為n=282較大，p較小，所以Y近似服從參數(shù)為的泊松分布。所求的概率為2.14解：(1)(2)2.15解：設(shè)車門的最低高度應(yīng)為a厘米，XN(170,62)厘米2.19解：X的可能取值為1,2,3。因為； ；所以X的分布律為X123P0.60.30.1X的分布函數(shù)為 2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21（1）當時，當時，當時，X-112P0.30.50.2（2）Y120.80.22.22（1）設(shè)FY(y)，分別

13、為隨機變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得 （2）設(shè)FY(y)，分別為隨機變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則當時，當時，有對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得 （3）設(shè)FY(y)，分別為隨機變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則當時，當時，對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得 2.23 （1）對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到 （2），,對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到 （3）， 對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到 第三章 隨機向量3.1 P1X2,3Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)= 3.2YX1220=3=03.4（1）a=（2）（3） 3.5解：（1）（2）3.6解：3.7參見課本后面P227的答案3.8 3.9

14、解：X的邊緣概率密度函數(shù)為：當時，當時，Y的邊緣概率密度函數(shù)為： 當時， 當時，3.10 （1）參見課本后面P227的答案（2） 3.11參見課本后面P228的答案3.12參見課本后面P228的答案3.13（1） 對于時，所以 對于時，所以 3.14X Y025X的邊緣分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的邊緣分布0.20.430.371由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故所以X與Y不獨立3.15X Y123X的邊緣分布12ab+a+bY的邊緣分布a+b+1由獨立的條件則可以列出方程解得 3.16 解（1）在3.8中 當，

15、 時，當或時，當或時，所以，X與Y之間相互獨立。 （2）在3.9中， 當，時， ，所以X與Y之間不相互獨立。3.17解：故X 與Y相互獨立3.18參見課本后面P228的答案第四章 數(shù)字特征4.1 解：甲機床生產(chǎn)的零件次品數(shù)多于乙機床生產(chǎn)的零件次品數(shù)，又兩臺機床的總的產(chǎn)量相同乙機床生產(chǎn)的零件的質(zhì)量較好。4.2 解：X的所有可能取值為：3，4，54.3參見課本230頁參考答案4.4解：4.6參考課本230頁參考答案4.7解：設(shè)途中遇到紅燈次數(shù)為X，則 4.8解 500+1000 1500 4.9參見課本后面230頁參考答案4.10參見課本后面231頁參考答案4.11 解:設(shè)均值為,方差為,則XN(

16、,)根據(jù)題意有: ,解得t=2即=12所以成績在60到84的概率為 4.124.13解：4.14解：設(shè)球的直徑為X,則： 4.15參看課本后面231頁答案4.16解: 4.17解X與Y相互獨立，4.18，4.19，4.20參看課本后面231，232頁答案4.21設(shè)X表示10顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和，表示第顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則，且是獨立同分布的，又所以4.22參看課本后面232頁答案4.234.244.25 4.26因為XN(0,4),YU(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)= 故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=

17、4.27參看課本后面232頁答案4.28后面4題不作詳解第五章 極限理5.3解：用表示每包大米的重量，則, 5.4解：因為 服從區(qū)間0,10上的均勻分布， 5.5解：方法1：用表示每個部件的情況，則，,方法2：用X表示100個部件中正常工作的部件數(shù)，則5.6略 第六章樣本與統(tǒng)計6.16.3.1證明:由=+b可得，對等式兩邊求和再除以n有 由于 所以由 可得=6.3.2因為 所以有6.2 證明：6.3（1）（2）由于所以有兩邊同時除以（n-1）可得 即 6.4 同例6.3.3可知得 查表可知=1.96 又 根據(jù)題意可知n=436.5解（1）記這25個電阻的電阻值分別為,它們來自均值為=200歐姆

18、，標準差為=10歐姆的正態(tài)分布的樣本則根據(jù)題意有：(2)根據(jù)題意有6.6 解：（1）記一個月（30天）中每天的停機時間分別為，它們是來自均值為=4小時，標準差為=0.8小時的總體的樣本。根據(jù)題意有：（注：當時，的值趨近于1，相反當時，其值趨近于0）（2）根據(jù)題意有：6.7證明：因為T ，則，隨機變量的密度函數(shù)為 顯然，則為偶函數(shù)，則6.8 解：記，則XN(,),n=25故6.9 解：記這100人的年均收入為，它們是來自均值為萬元，標準差為萬元的總體的樣本，n=100則根據(jù)題意有：（1）（2）（3）6.10 解：根據(jù)題意可知此樣本是來自均值為，標準差為的總體，樣本容量為n=5 （1）依題意有（2

19、）要求樣本的最小值小于10概率，即5個數(shù)中至少有一個小于10的概率，首先計算每個樣本小于10的概率：設(shè)X是5個樣本中小于10的樣本個數(shù)則X服從二項分布B(5,0.1587)故有即樣本的最小值小于10的概率是0.5785.（3）同（2）要求樣本的最大值大于15的概率，即5個數(shù)中至少有一個大于15的概率，首先計算每個樣本大于15的概率：設(shè)X是5個樣本中大于15的樣本個數(shù)則X服從二項分布B(5,0.0668)故有即樣本的最大值大于15的概率是0.2923第七章參數(shù)估計7.1解因為:是抽自二項分布B（m,p）的樣本，故都獨立同分布所以有用樣本均值代替總體均值，則p的矩估計為7.2解： 用樣本均值代替總體均值，則的矩估計為由概率密度函數(shù)可知聯(lián)合密度分布函數(shù)為： 對它們兩邊求對數(shù)可得 對求導(dǎo)并令其為0得 即