《圓的對(duì)稱(chēng)性(1)》3垂徑定理

1、圓的對(duì)稱(chēng)性圓的對(duì)稱(chēng)性(1)(1)圓的對(duì)稱(chēng)性圓的對(duì)稱(chēng)性1.1.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？2.2.如果是如果是, ,它的對(duì)稱(chēng)軸是什么它的對(duì)稱(chēng)軸是什么? ?你能找到多少條對(duì)稱(chēng)軸？你能找到多少條對(duì)稱(chēng)軸？是是.圓的對(duì)稱(chēng)軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓圓的對(duì)稱(chēng)軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線心的直線,它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸.O軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧O圓的對(duì)稱(chēng)性圓的對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,其對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線的直線.圓的相關(guān)概念圓的相關(guān)概念1.1.圓上任意兩點(diǎn)間的部分圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做叫做圓弧圓弧, ,簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)弧弧. .以以A,BA,B兩點(diǎn)為

2、端點(diǎn)的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧弧. .記作記作 , ,讀作讀作“弧弧ABAB”. .ABABOA AB B2.2.連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦弦( (例如：弦例如：弦AB).AB).3.3.經(jīng)過(guò)圓心的經(jīng)過(guò)圓心的弦弦叫做叫做直徑直徑( (例如：直徑例如：直徑AC).AC).圓的相關(guān)概念圓的相關(guān)概念A(yù) AB BC CO O.圓的相關(guān)概念圓的相關(guān)概念4.4.圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓半圓. .OD DB B5.5.小于半圓的弧叫做小于半圓的弧叫做劣弧劣弧, ,如圖記作：如圖記作： ( (用兩

3、個(gè)字母表示用兩個(gè)字母表示).).ABAB6.6.大于半圓的弧叫做大于半圓的弧叫做優(yōu)弧優(yōu)弧, ,如圖記作：如圖記作： ( (用三個(gè)字母表示用三個(gè)字母表示).).ADBADBA A做一做做一做如圖，如圖，ABAB是是O O的一條弦的一條弦. .（2 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系? ? 說(shuō)一說(shuō)你的理由說(shuō)一說(shuō)你的理由. .作直徑作直徑CD,CD,使使CDAB,CDAB,垂足為垂足為M.M.（1 1）右圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎）右圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎? ? 如果是如果是, ,其對(duì)稱(chēng)軸是什么其對(duì)稱(chēng)軸是什么? ?A AB BO OC CD DM MAM=BM，AC=BC，AD=BD. O

4、O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CDCD對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)， AC=BC,AC=BC,理由如下理由如下: :連接連接OAOA、OB,OB,在在OABOAB中，中，則則OA=OB.OA=OB.OA=OBOA=OB，OM AB OM AB ，AM=BM.AM=BM.點(diǎn)點(diǎn)A A和點(diǎn)和點(diǎn)B B關(guān)于關(guān)于CDCD對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng). . 當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CDCD對(duì)折時(shí)，對(duì)折時(shí)，ACAC和和BCBC重合重合, ,ADAD和和BDBD重合重合. .AD=BD.AD=BD. 點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,OA AB BC CD DM M 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, , 并且平分弦所對(duì)的弧并且平分弦所對(duì)的弧. .CD

5、AB,CDAB,CDCD是直徑是直徑, ,AM=BM ,AM=BM ,條件條件一條直徑一條直徑垂直于弦垂直于弦 直徑平分弦直徑平分弦平分弦所對(duì)的弧平分弦所對(duì)的弧結(jié)論結(jié)論 AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.A AB BO OC CD DM M符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：垂徑定理垂徑定理垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分弦所對(duì)的弧并且平分弦所對(duì)的弧. . 老師提示老師提示: :垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論, ,三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 要相互轉(zhuǎn)化要相互轉(zhuǎn)化, ,形成整體形成整體, ,才能運(yùn)用自如才能運(yùn)用自如. . CDCD是直徑

6、是直徑, CDAB, CDAB,AM=BM,AM=BM,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：A AB BO OC CD DM M 如圖，如圖，ABAB是是O O的弦的弦（不是直徑）（不是直徑）, ,作一條作一條平分平分ABAB的直徑的直徑CDCD，交，交ABAB于于M M點(diǎn)點(diǎn). .議一議議一議（2 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？ 說(shuō)說(shuō)你的理由說(shuō)說(shuō)你的理由. .（1 1）右圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎）右圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎? ? 如果是如果是, ,其對(duì)稱(chēng)軸是什么其對(duì)稱(chēng)軸是什么? ?A AB BO OC CD DM M AD=BD.AD=BD. A

7、C=BC,AC=BC,90 ,AMDBMDM M AC=BC,理由如下理由如下: :連接OA、OB,則OA=OB.OA=OB，OM=OM，OAMOBM.AM=BM.AD=BD.在OAM和OBM中,OA AB BC CD D.90BMDAMDCDAB,又由垂徑定理,.BMDAMD .180BMDAMD又議一議議一議 如圖，如圖，ABAB是是O O的弦的弦 , ,作一條作一條平分平分ABAB的直徑的直徑CDCD，交，交ABAB于于M M點(diǎn)點(diǎn). .等量關(guān)系：等量關(guān)系：A AB BO OC CD D AD=BD.AD=BD. AC=BC,AC=BC,90 ,AMDBMD（不是直徑）（不是直徑）M MD

8、ADAOBBOCC思考：如果思考：如果ABAB也是直徑，上述也是直徑，上述結(jié)論是否成立？結(jié)論是否成立？不一定不一定. .O O平分弦（平分弦（不是直徑不是直徑）的直徑垂直于弦）的直徑垂直于弦, ,并且平分弦所對(duì)的弧并且平分弦所對(duì)的弧. .垂徑定理的推論垂徑定理的推論CDCD是直徑是直徑, AB, AB是弦（不是直徑），是弦（不是直徑），AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：A AB BC CD DM M想一想想一想在上圖中，為什么要強(qiáng)調(diào)在上圖中，為什么要強(qiáng)調(diào)AB是是O O的弦，而不是直徑呢？的弦，而不是直徑呢？ 垂徑定

9、理和垂徑定理的推論垂徑定理和垂徑定理的推論如圖如圖, ,下列五個(gè)條件中下列五個(gè)條件中: : CDCD是直徑是直徑, , AM=BM,AM=BM, CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD. A AB BO OC CD DM M5 5個(gè)條件中，任滿(mǎn)足個(gè)條件中，任滿(mǎn)足2 2個(gè)，剩下個(gè)，剩下3 3個(gè)結(jié)論都成立個(gè)結(jié)論都成立. .由由 (2)(2)、(3)(3)，得，得(1)(1)、(4)(4)、(5).(5).常用此方法來(lái)確定圓心的位置常用此方法來(lái)確定圓心的位置.BAOC由由OECDOECD，利用垂徑定理得利用垂徑定理得 CF=DF=300m,CF=DF=300m,例例1

10、1 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧( (即圖即圖中弧中弧CD,CD,點(diǎn)點(diǎn)O O是弧是弧CDCD的圓心的圓心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E為為弧弧CDCD上的一點(diǎn)上的一點(diǎn), ,且且OECD,OECD,垂足為垂足為F,EF=90m.F,EF=90m.求求這段彎路的半徑這段彎路的半徑. .OCDEF30090分析分析:連接連接OC.設(shè)半徑為設(shè)半徑為R,利用勾股定理求出半徑利用勾股定理求出半徑 .R-90 OC=OE=R,EF=90， 則則OF=R-90.解解: :連接連接OC.OC.OD DE EF F.)90(,mROFRm 則則設(shè)設(shè)彎彎路路

11、的的半半徑徑為為).(3006002121mCDCF 得得根據(jù)勾股定理根據(jù)勾股定理,即即,222OFCFOC .90300222 RR.545, R得得解解這這個(gè)個(gè)方方程程O(píng)ECD 本題是垂徑定理的本題是垂徑定理的應(yīng)用，解題過(guò)程中使應(yīng)用，解題過(guò)程中使用了列方程的方法，用了列方程的方法，用代數(shù)方法解決了幾用代數(shù)方法解決了幾何問(wèn)題何問(wèn)題. .C C這段彎路的半徑為這段彎路的半徑為545m.545m.判斷判斷1.1.垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦, ,并且平分弦所對(duì)的并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條弧. . 2.2.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平

12、分這條弦所對(duì)的另一條弧的另一條弧. . 3. 經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦. 4. 圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. 5. 弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧. 1.1.在在O O中，若中，若CDABCDAB于于M M，ABAB為直徑，為直徑，則下列結(jié)論不正確的是（則下列結(jié)論不正確的是（ ）2.2.已知已知O O的直徑的直徑AB=10AB=10，弦，弦CDABCDAB，垂，垂足為足為M M，OM=3OM=3，則，則CD=CD= . .3.3.在在O O中，中，CDABCDAB于于

13、M M，ABAB為直徑，若為直徑，若CD=10CD=10，AM=1AM=1，則，則O O的半徑是的半徑是 . . OCDABMC C A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM8 81313練一練練一練4.4.在半徑為在半徑為5050的圓的圓O O中，有長(zhǎng)中，有長(zhǎng)5050的弦的弦CDCD，則點(diǎn)則點(diǎn)O O與與CDCD的距離為的距離為 . .OCDABM解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，半徑是解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，半徑是常用的輔助線的添法常結(jié)合常用的輔助線的添法常結(jié)合勾股定理計(jì)算勾股定理計(jì)算.mm325rd r2 =d2+( )22a 2a5.13005.1300多年前多年前, ,我國(guó)隋朝建造

14、的趙州石拱橋我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋拱是圓弧形的橋拱是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (即弧所對(duì)的弦長(zhǎng)即弧所對(duì)的弦長(zhǎng)) )為為 37.4 m,37.4 m,拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.2m,7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).求趙州橋橋拱半徑的問(wèn)題求趙州橋橋拱半徑的問(wèn)題AOAB=37.4mDCCD=7.2mBD在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得ABOCAB=37.4AB=37.4，CD=7.2CD=7.2， OD=OC OD=OCCD=rCD=

15、r7.27.2半徑半徑OCOC弦弦AB,AB,r r解得：解得：r r27279 9（m m）即即: r: r2 2=18.7=18.72 2+ +（r r7.27.2）2 2答：趙州橋的主橋拱半徑約為答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.27.9m.OA2=AD2+OD2d r2 =d2+( )22ah+d=rh+d=r解解: 如圖用弧如圖用弧ABAB表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè)ABAB所在圓的圓心所在圓的圓心為為O O，半徑為，半徑為r r 過(guò)圓心過(guò)圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OCOC，D D為垂足，為垂足，OCOC與弧與弧ABAB相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C C， ABAD21,7.184.3721 7.27.2h h37.437.4D D 2a小結(jié)小結(jié)1.1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么？（1 1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形, ,其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線過(guò)圓心的直線. .（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦, 并且平分弦所對(duì)的弧并且平分弦所對(duì)的弧.（3）垂徑定理的推論：平分弦（）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑不是直徑）的）的直徑