551質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)題庫教師版 2

1、5-5質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)教學目標本講中的知識點在小學課本內(nèi)已經(jīng)有所涉及，并且多以判斷題考察。質(zhì)數(shù)合數(shù)的出現(xiàn)是對自然數(shù)的另一種分類方式，但是相對于奇數(shù)偶數(shù)的劃分要復雜許多。質(zhì)數(shù)本身的無規(guī)律性也是一個研究質(zhì)數(shù)結(jié)構(gòu)的難點。在奧數(shù)數(shù)論知識體系中我們要幫助孩子樹立對質(zhì)數(shù)和合數(shù)的基本認識，在這個基礎(chǔ)之上能夠會與之前的一些知識點結(jié)合運用。分解質(zhì)因數(shù)法是一個數(shù)論重點方法，本講另一個授課重點在于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈活運用。知識點撥1 質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素數(shù)).一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù).要特別記?。?和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).

2、常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9.考點： 值得注意的是很多題都會以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點. 除了2和5，其余質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.2 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù).互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)

3、.例如：.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)，其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標準式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標準式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征.3 唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：其中為質(zhì)數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個數(shù).分析：210=2357，可知這三個數(shù)是5、6和7.4. 部分特殊數(shù)的分解；.5. 判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除

4、p，那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于k的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).例題精講模塊一、質(zhì)數(shù)合數(shù)的基本概念的應(yīng)用【例 1】 下面是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華朋會友，幼長相親同切磋；杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌請你將詩中56個字第1行左邊第一字起逐行逐字編為156號，再將號碼

5、中的質(zhì)數(shù)由小到大找出來，將它們對應(yīng)的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話【解析】 按要求編號排序，并畫出質(zhì)數(shù)號碼：美 少 年 華 朋 會 友，幼 長 相 親 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯 賽 聯(lián) 誼 歡 聲 響，念 一 笑 慰 來 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 慶 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 華 夏 中 興 力，同 唱 移 山 壯 麗 歌 43 44 45 4

6、6 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 將質(zhì)數(shù)對應(yīng)的漢字依次寫出就是：少年朋友親切聯(lián)歡；一九九七相聚中山【鞏固】 (2008年南京市青少年“科學小博士”思維訓練)炎黃驕子 菲爾茲獎被譽為“數(shù)學界的諾貝爾獎”，只獎勵40歲以下的數(shù)學家華人數(shù)學家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎我們知道正整數(shù)中有無窮多個質(zhì)數(shù)(素數(shù))，陶哲軒等證明了這樣一個關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的奇妙定理：對任何正整數(shù)k，存在無窮多組含有k個等間隔質(zhì)數(shù)(素數(shù))的數(shù)組例如，時，3，5，7是間隔為2的3個質(zhì)數(shù)；5，11，17是間隔為6的3個質(zhì)數(shù)：而 ， ， 是間隔為12的3個質(zhì)數(shù)(由小到大排列，只寫一組3

7、個質(zhì)數(shù)即可)【解析】 最小的質(zhì)數(shù)從2開始，現(xiàn)要求每兩個質(zhì)數(shù)間隔12，所以2不能在所要求的數(shù)組中而且由于個位是5的質(zhì)數(shù)只有一個5，所以個位是3的質(zhì)數(shù)不能作為第一個質(zhì)數(shù)和第二個質(zhì)數(shù)，可參照下表：【鞏固】 (2003年“祖沖之杯”邀請賽)大約1500年前，我國偉大的數(shù)學家祖沖之，計算出的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把的值精確到7位小數(shù)的人現(xiàn)代人利用計算機已經(jīng)將的值計算到了小數(shù)點后515億位以上這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律但是細心的同學發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926

8、，31415927中，哪些是質(zhì)數(shù)？【解析】 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，質(zhì)數(shù)是314159【鞏固】 (2004年全國小學奧林匹克)自然數(shù)是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有多少個？【解析】 這樣的自然數(shù)有4個：23，37，53，73【例 2】 兩個質(zhì)數(shù)之和為，求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積是多少.【解析】 因為和為奇數(shù)，所以這兩個數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個是，另一個是，乘積為.我們要善于抓住此類題的突破口?！眷柟獭?如果a，b均為質(zhì)數(shù)，且，則_.【解析】 根據(jù)題意a,b中必然

9、有一個偶質(zhì)數(shù)2，當時，當時不符合題意，所以.【鞏固】 a，b，c為3個小于20的質(zhì)數(shù)，求這三個質(zhì)數(shù). 【解析】 因為三個質(zhì)數(shù)之和為偶數(shù)，所以這三個質(zhì)數(shù)必為兩奇一偶，其中偶數(shù)只能是，另兩個奇質(zhì)數(shù)之和為，又因為這三個數(shù)都要小于，所以只能為和，所以這三個質(zhì)數(shù)分別是，.【鞏固】 已知3個不同質(zhì)數(shù)的和是最小的合數(shù)的完全平方，求這3個質(zhì)數(shù)的乘積是多少？【解析】 最小的合數(shù)是4，其平方為16我們知道奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以這3個質(zhì)數(shù)中必然有2，那么其余2個的和是14，只能一個是3一個是11，因此這3個質(zhì)數(shù)的乘積是【鞏固】 小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼是四位數(shù)同時，她感到這個號碼很容易記

10、住，因為它的形式為，其中，而且和都是質(zhì)數(shù)(和是兩個數(shù)字)具有這種形式的數(shù)共有多少個？【鞏固】 若兩位數(shù)、均為質(zhì)數(shù)，則、均為奇數(shù)且不為5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8個數(shù)【例 3】 (“祖沖之杯”小學數(shù)學邀請賽)九九重陽節(jié)，一批老人決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去參觀兵馬俑如果打算每輛車坐22個人，就會有1個人沒有座位；如果少開一輛車，那么，這批老人剛好平均分乘余下的大巴那么有多少個老人？原有多少輛大巴？【解析】 仍按每車坐22人計算，少開一輛車將有23人無座位，這些人剛好平均分乘余下的車，23是質(zhì)數(shù)，所以余下23輛車，原有24輛車

11、，原有老人 (個)【鞏固】 (俄羅斯數(shù)學奧林匹克)萬尼亞想了一個三位質(zhì)數(shù)，各位數(shù)字都不相同如果個位數(shù)字等于前兩個數(shù)字的和，那么這個數(shù)是幾？【解析】 因為是質(zhì)數(shù)所以個位數(shù)不可能為偶數(shù)0，2，4，6，8也不可能是奇數(shù)5如果末位數(shù)字是3或9，那么數(shù)字和就將是3或9的兩倍，因而能被它們整除，這就不是質(zhì)數(shù)了所以個位數(shù)只能是7這個三位質(zhì)數(shù)可以是167，257，347，527或617中間的任一個【鞏固】 (第五屆“華杯賽”口試第15題)圖中圓圈內(nèi)依次寫出了前25個質(zhì)數(shù)；甲順次計算相鄰二質(zhì)數(shù)之和填在上行方格中；乙順次計算相鄰二質(zhì)數(shù)之積填在下行方格中問：甲填的數(shù)中有多少個與乙填的數(shù)相同?為什么?【解析】 質(zhì)數(shù)中

12、只有一個偶數(shù)2，其余的質(zhì)數(shù)均為奇數(shù)所以甲填的“和數(shù)”中除第一個是奇數(shù)5外，其余的均為不小于8的偶數(shù)乙填的“積數(shù)”中除第一個是偶數(shù)6外，其余所填的全是不小于15的奇數(shù)所以甲填的數(shù)與乙填的數(shù)都不相同【鞏固】 (全國小學數(shù)學奧林匹克)從19中選出8個數(shù)排成一個圓圈，使得相鄰的兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)排好后可以從任意兩個數(shù)字之間切開，按順時針方向讀這些八位數(shù)，其中可以讀到的最大的數(shù)是多少？【解析】 由于質(zhì)數(shù)除了2以外都是奇數(shù)，所以數(shù)字在順時針排列時應(yīng)是奇偶相間排列切開后的數(shù)仍然具有“相鄰兩數(shù)之和是質(zhì)數(shù)”，并且最高位與最低位之和也是質(zhì)數(shù)，考慮到“最大”的限制條件，最高位選9，第二位選8，第三位最大可以選7，但7

13、與8之和不是質(zhì)數(shù)，再改選5，8與5之和是質(zhì)數(shù)，符合要求第四位可選剩余的最大數(shù)字6，如此類推十位可選3，個位選2所以，可以讀到的最大數(shù)是98567432數(shù)字排列如下圖【鞏固】 (保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學邀請賽)用l表示所有被3除余1的全體正整數(shù)如果l中的數(shù)(1不算)除1及它本身以外，不能被l的任何數(shù)整除，稱此數(shù)為“l(fā)質(zhì)數(shù)”問：第8個“l(fā)質(zhì)數(shù)”是什么？【解析】 “l(fā)數(shù)”為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，“l(fā)質(zhì)數(shù)”應(yīng)為上列數(shù)中去掉1，16，28，即為4，7，10，13，19，22，25，31，34，所以，第8個“l(fā)質(zhì)數(shù)”是31【例 4】 9個連續(xù)的自然數(shù)，每個數(shù)都大

14、于80，那么其中最多有多少個質(zhì)數(shù)？請列舉和最小的一組【解析】 我們知道任意連續(xù)9個自然數(shù)中最多有4個質(zhì)數(shù)，本題考察對100以外的質(zhì)數(shù)的熟練情況，有101，103，107，109是4個質(zhì)數(shù)?！眷柟獭?(我愛數(shù)學少年數(shù)學夏令營)用0，1，2，9這10個數(shù)字組成6個質(zhì)數(shù)，每個數(shù)字至多用1次，每個質(zhì)數(shù)都不大于500，那么共有多少種不同的組成6個質(zhì)數(shù)的方法請將所有方法都列出來【解析】 除了2以外，質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，因為09中只有5個奇數(shù)，所以如果想組成6個質(zhì)數(shù)，則其中一定有2又尾數(shù)為5的數(shù)中只有5是質(zhì)數(shù)，所以5只能單獨作為6個質(zhì)數(shù)中的一個數(shù)另4個質(zhì)數(shù)分別以1，3，7，9為個位數(shù)，從而列舉如下：2，3，5，7

15、，41，89，2，3，5，7，61，89，2，3，5，7，89，401，2，3，5，7，89，461，2，3，5，7，61，409，2，3，5，47，61，89，2，3，5，41，67，89，2，3，5，67，89，401，2，5，7，43，61，89，2，5，7，61，83，409即共有10種不同的方法【鞏固】 從小到大寫出5個質(zhì)數(shù)，使后面數(shù)都比前面的數(shù)大12.這樣的數(shù)有幾組？【解析】 考慮到質(zhì)數(shù)中除了2以外其余都是奇數(shù)，因此這5個質(zhì)數(shù)中不可能有2；又質(zhì)數(shù)中除了2和5，其余質(zhì)數(shù)的個位數(shù)字只能是1、3、7、9.若這5個質(zhì)數(shù)中最小的數(shù)其個位數(shù)字為1，則比它大24的數(shù)個位即為5，不可能是質(zhì)數(shù)；若最

16、小的數(shù)其個位數(shù)字為3，則比它大12的數(shù)個位即為5，也不可能為質(zhì)數(shù)；由此可知最小的數(shù)其個位數(shù)字也不可能是7和9，因此最小的數(shù)只能是5，這5個數(shù)依次是5，17，29，41，53.這樣的數(shù)只有一組.【例 5】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質(zhì)數(shù).【解析】 要使質(zhì)數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有2、3、5、7均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用有1、4、8、9可以組成質(zhì)數(shù)41、89，而6可以與7組合成質(zhì)數(shù)67所以這9個數(shù)字最多可以組成6個質(zhì)數(shù)?！眷柟獭?有三張卡片，它們上面各

17、寫著數(shù)字1，2，3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來. 【解析】 抽一張卡片，可寫出一位數(shù)1，2，3；抽兩張卡片，可寫出兩位數(shù)12，13，21，23，31，32；抽三張卡片，可寫出三位數(shù)123，132，213，231，312，321，其中三位數(shù)的數(shù)字和均為6，都能被3整除，所以都是合數(shù).這些數(shù)中，是質(zhì)數(shù)的有：2，3，13，23，31.【鞏固】 某質(zhì)數(shù)加6或減6得到的數(shù)仍是質(zhì)數(shù)，在50以內(nèi)你能找出幾個這樣的質(zhì)數(shù)？把它們寫出來. 【解析】 有六個這樣的數(shù)，分別是11，13，17，23，37，47.【例 6】 7個連續(xù)質(zhì)數(shù)從

18、大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它們的和是偶數(shù)，那么d是多少？【解析】 因為7個質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，所以這7個質(zhì)數(shù)不可能都是奇數(shù).我們知道是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，因此這7個質(zhì)數(shù)中必有一個是2.又因為2是最小的質(zhì)數(shù)，并且這7個連續(xù)質(zhì)數(shù)是從大到小排列的，所以.其他6個數(shù)從大到小依次是17、13、11、7、5、3.這樣.【鞏固】 從以內(nèi)的質(zhì)數(shù)中選出個，然后把這個數(shù)分別寫在正方體木塊的個面上，并且使得相對兩個面的數(shù)的和都相等.將這樣的三個木塊擲在地上，向上的三個面的三個數(shù)之和可能有多少種不同的值？【解析】 小于的質(zhì)數(shù)有，其中.每個木塊擲在地上后向上的數(shù)可能是六個數(shù)中的任何一個，三個數(shù)的和最小是，最大

19、是，經(jīng)試驗，三個數(shù)的和可以是從到的所有奇數(shù)，所有可能的不同值共有個?！眷柟獭?將八個不同的合數(shù)填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數(shù)互質(zhì)，那么a最小是幾？a=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）【解析】 首先列出前幾個合數(shù)4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因為相加的合數(shù)互質(zhì)，所以不能同時為偶數(shù)，要想a盡量小，這兩個數(shù)也不能都同時為奇數(shù)，因為奇合數(shù)比較少，找出8個來必然很大。所以應(yīng)該是一奇一偶，經(jīng)試驗得a=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即a的最小值為29。大部分的題考的都是質(zhì)數(shù)，此題考

20、合數(shù)，重在強化合數(shù)以及互質(zhì)的概念?！眷柟獭?4只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8，9，10，11，12，13已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù)，求最重的兩瓶內(nèi)有多少油？【解析】 由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數(shù)據(jù)之和是瓶油(連瓶)重量之和的倍，即瓶油(連瓶)共重()(千克)而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù)，所以它們必為一奇一偶，由于是唯一的偶質(zhì)數(shù)，只有兩種可能： 油重之和為千克，瓶重之和為千克，每只瓶重千克，最重的兩瓶內(nèi)的油為(千克) 油重之和為千克，瓶重之和為千克，每只瓶重千克，最重的兩瓶內(nèi)的油為(千克)，這與油重之和千克矛盾因此最重的兩

21、瓶內(nèi)共有千克油?！纠?7】 將60拆成10個質(zhì)數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是多少【解析】 最大的質(zhì)數(shù)必大于5，否則10個質(zhì)數(shù)之和將不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8個7與2個2的和為60，故其中最大的質(zhì)數(shù)是7【鞏固】 將50分拆成10個質(zhì)數(shù)的和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則這個最大的質(zhì)數(shù)是多少？【解析】 若要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則其余9個質(zhì)數(shù)應(yīng)盡可能小，最佳的方案是9個2。但是此時剩余的數(shù)為32，不是質(zhì)數(shù)，所以退而求其次，另其余9個數(shù)為8個2，1個3，那么第10個數(shù)為31【鞏固】 將37拆成若干個不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種

22、拆法中拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個最??？【解析】 枚舉法：有些學生會問，老師：什么時候用枚舉法？1.數(shù)不大，種類比較少2.沒有規(guī)律，不能用排列組合等方法3.能有方法做的時候建議不采用枚舉的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+197+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17共有10種不同的拆法，其中3529=435最小【鞏固】 如果一個數(shù)不能表示為三個不同合數(shù)的和，那么我們稱這樣的數(shù)為智康數(shù)，那么最大的智康數(shù)是幾？【解析】 首先我們可以分析出大多數(shù)自然數(shù)都是智康數(shù)，所以核心的思想是找到智康

23、數(shù)與其他自然數(shù)的“分界線”。我們知道最小的三個不同合數(shù)是4,6,8，它們的和是18,則比18小的數(shù)一定都不是智康數(shù)，而比18大的數(shù)中，我們可以分為與18的差是“奇數(shù)”或者是“偶數(shù)”。如果與18的差是偶數(shù)，那么這類自然數(shù)一定不是智康數(shù)，可以寫作4+6+(8+2n),如果與18的差是一個奇數(shù)，那么可以寫作4+(6+2n)+(8+1)也不是一個智康數(shù)，所以最大的智康數(shù)為17。模塊二、分解質(zhì)因數(shù)【例 8】 兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積是，這兩個奇數(shù)之和是多少? 【解析】 分解質(zhì)因數(shù)：()()，所以和為.本講不僅要求學生熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的?！眷柟獭?三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是，求這三

24、個數(shù)是多少？ 【解析】 分解質(zhì)因數(shù)：，可知這三個數(shù)是、和?！眷柟獭?把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每組中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么至少要分幾組. 【解析】 要保證每組中的任意2個數(shù)均互質(zhì)，需要每組中的每個數(shù)字都有獨有的質(zhì)因數(shù)才能實現(xiàn)?？梢詫σ陨厦總€數(shù)字進行分解質(zhì)因數(shù)，容易得出最少分3組.【鞏固】 把40，44，45，63，65，78，99，105這八個數(shù)平分成兩組，使每組四個數(shù)的乘積相等。【解析】 ，要使每組四個數(shù)的乘積相等，需要每組含有相同的質(zhì)因數(shù)，看質(zhì)因數(shù)2，第一組含有40，第二組含有44，78，再看，第一組應(yīng)有40，99，65，再看5第二組應(yīng)有4

25、4，78，45，105，最后看7，第一組應(yīng)有40，99，65，63【例 9】 4個一位數(shù)的乘積是360，并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個是多少？【解析】 將360分解質(zhì)因數(shù)得，它是6個質(zhì)因數(shù)的乘積.因為題述的四個數(shù)中只有一個是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為個質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個2相乘才能是一位數(shù)，所以這4個乘數(shù)分別為3，3，5，8，所組成的最大四位數(shù)是8533.【鞏固】 將19九個自然數(shù)分成三組，每組三個數(shù).第一組三個數(shù)的乘積是48，第二組三個數(shù)的乘積是45，第三組三個數(shù)字之和最大是多少？【解析】 分解質(zhì)因數(shù)，可知45只能是1，5，9的乘積，而48可能是2，4，

26、6或2，3，8或1，6，8(舍去)，則第三組的三個數(shù)可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是.【例 10】 在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少? 【解析】 如下圖，設(shè)長、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209，而209=1119當a=11時，c+b=19，當兩個質(zhì)數(shù)的和為奇數(shù)，則其中必定有一個數(shù)為偶質(zhì)數(shù)2，則c+b=2+17;當a=19時，c+b=11，則c+b=2+9，b為9不是質(zhì)數(shù)，所以不滿足題意所以它們的乘積為11217=374【鞏固】 一個長方體的長、寬、

27、高是連續(xù)的3個自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米? 【解析】 39270=23571117，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，而343434最接近39270，39270的約數(shù)中接近或等于34的有35、34、33，有333435=39270所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高則長方體的表面積為：2(長寬+寬高+高長)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17，如果17作為長、寬或高顯然不滿足當17與2結(jié)合即34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù)7，與34接

28、近的數(shù)3236中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270的質(zhì)因數(shù)中只剩下了3和1l，所以這個長方體的大小為333435長方體的表面積為2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)【鞏固】 一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米? 【解析】 我們知道任意個已確定個數(shù)的數(shù)的乘積一定時，它們相互越接近，和越小如3個數(shù)的積為18，則三個數(shù)為2、3、3時和最小，為81998=233337，37是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以2333對應(yīng)的兩個數(shù)應(yīng)越接近越好有2333=69時，即1

29、998=6937時，這三個自然數(shù)最接近它們的和為6+9+37=52(厘米)【例 11】 （老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大歲，他們四個人年齡的乘積是。問他們四個人的年齡各是幾歲？ 【解析】 題中告訴我們，是四個人年齡的乘積，只要我們把分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來分成四個數(shù)相乘，這四個數(shù)就是四個人的年齡了。，由此得出這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。由題意可知，這四個數(shù)是相差2的四個整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當然這四個數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因為的個位數(shù)字不是0，顯然這四個數(shù)

30、中，沒有個位數(shù)字是0的，那么這四個數(shù)的個位數(shù)字一定是2、4、6、8。又因為，而，所以可以斷定，這四個數(shù)一定是12、14、16、18。也就是說，這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。答：這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。【鞏固】 甲乙兩人的年齡和為一個質(zhì)數(shù)，這個數(shù)的個位與十位數(shù)字的和是13，甲比乙大13歲，那么乙今年多大？ 【解析】 個位與十位數(shù)字之和為13，那么這樣的質(zhì)數(shù)在兩位數(shù)中只有67，三位數(shù)中為167，再繼續(xù)則不符合常理，所以甲乙年齡有可能分別為40,27歲，或者90，77歲，所以乙的年齡可能為27歲或77歲?！纠?1】 甲數(shù)比乙數(shù)大，乙數(shù)比丙數(shù)大，三個數(shù)

31、的乘積是，求這三個數(shù)？ 【解析】 將分解質(zhì)因數(shù)，則其中必有一個數(shù)是或的倍數(shù)；經(jīng)試算，恰好，所以這三個數(shù)即為，.一般象這種類型的題，都是從最大的那個質(zhì)因數(shù)去分析.如果這道題里不符合要求，下一個該考慮，再下一個該考慮，依此類推 【鞏固】 如果兩數(shù)的和是64，兩數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差等于多少？ 【解析】 4875=355513，有ab為4875的約數(shù)，且這兩個數(shù)的和為64發(fā)現(xiàn)39=313、25=55這兩個數(shù)的和為64，所以39、25為滿足題意的兩個數(shù)那么它們的差為39-25=14。【鞏固】 四個連續(xù)自然數(shù)的乘積是3024，這四個自然數(shù)中最大的一個是多少？ 【解析】 分解質(zhì)因數(shù)，考慮

32、其中最大的質(zhì)因數(shù)7，說明這四個自然數(shù)中必定有一個是7的倍數(shù).若為7，因3024不含有質(zhì)因數(shù)5，那么這四個自然數(shù)可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，經(jīng)檢驗6、7、8、9恰符合.【鞏固】 的計算結(jié)果能夠整除三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少？【解析】 首先分解質(zhì)因數(shù)，其中最大的質(zhì)因數(shù)是167，所以所要求的三個連續(xù)自然數(shù)中必定有167本身或者其倍數(shù). ，所以，都沒有4個2，不滿足題意.說明167不可行.嘗試，包括了中的所有質(zhì)因數(shù)，所以這組符合題意，以此三數(shù)之和最小為1005.【鞏固】 三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質(zhì)數(shù). 【解析】 設(shè)這三個

33、質(zhì)數(shù)分別是、，滿足，則可知、中必有一個為11，不妨記為，那么，整理得()()，又，對應(yīng)的、或、或、 (舍去)，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是2，11，13或3，7，11.【鞏固】 三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質(zhì)數(shù)【解析】 設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是、，滿足，則可知、中必有一個為7，不妨記為，那么，整理得，又，對應(yīng)的2、9(舍去)或3、5，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是3，5，7【例 2】 個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是，則這個質(zhì)數(shù)之和為多少【解析】 設(shè)這個質(zhì)數(shù)從小到大為、，它們的倒數(shù)分別為、，計算它們的和時需通分，且通分后的分母為，求和得到的分數(shù)為,如果這個分數(shù)能夠約分，那么得到的分數(shù)的分母為、或它們之間的積.現(xiàn)在

34、和為，分母，所以一定是，檢驗滿足.所以這個質(zhì)數(shù)的和為【鞏固】 有一種最簡真分數(shù)，它們的分子與分母的乘積都是140如果把所有這樣的分數(shù)從小到大排列，那么第三個分數(shù)是多少？ 【解析】 有140=2257，要保證分數(shù)最簡即要讓分子與分母是互質(zhì)的，那么兩個質(zhì)因數(shù)2必須同時位于分子或者同時位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡分數(shù)依次是，倒數(shù)第三小的是。【鞏固】 一個分數(shù)，分母是，分子是一個質(zhì)數(shù)現(xiàn)在有下面兩種方法： 分子和分母各加一個相同的一位數(shù)； 分子和分母各減一個相同的一位數(shù)用其中一種方法組成一個新分數(shù)，新分數(shù)約分后是那么原來分數(shù)的分子是多少 【解析】 因為新分數(shù)約分后分母是，而原分母為，由于，所以分

35、母是加上或者減去若是前者則原來分數(shù)分子為，但，不是質(zhì)數(shù)；若是后者則原來分數(shù)分子是，而是質(zhì)數(shù)所以原來分數(shù)分子為【例 3】 在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8，由此得乘積為1872那么原來的乘積是多少? 【解析】 1872=22223313=口口口口，其中某個口為8，一一驗證只有：1872=4839，1872=7824滿足當為1872=4839時，小馬虎錯把5看成8，也就是錯把45看成48，所以正確的乘積應(yīng)該是4539=1755當為1872=7824時，小馬虎錯把5看成8，也就是錯把75看成78，所以正確的乘積應(yīng)該是7524=1800所以原來的積為1755或1800

36、【鞏固】 某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元這個學校共有35名教師，14個教學班各班學生人數(shù)相同且多于30人不超過45人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元? 【解析】 這個學校最少有35+1430=455名師生，最多有35+1445=665名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除19951995=35133，在455665之間的約數(shù)只有5133=665，所以師生總數(shù)為665人，則平均每人捐款1995665=3元【例 4】 在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)甲、乙兩名運動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)求甲

37、、乙的總環(huán)數(shù)各是多少？ 【解析】 應(yīng)對應(yīng)為5個小于10的自然數(shù)乘積通常我們會考慮將1764的6個質(zhì)因數(shù)組合為5個因數(shù)，從而這5個因數(shù)一定都是大于1的，于是得到了如下幾種分解情況1764=43377 =26377=22977但是發(fā)現(xiàn)其中任何兩組的和的差均不是4.原因是我們忽略了在題目敘述實際環(huán)境中還會有1環(huán)存在，從而要考慮含有因數(shù)1的另外2種情況1784=16677=14977所以總的情況對應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28對應(yīng)的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7

38、，乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7所以甲的總環(huán)數(shù)為24，乙的總環(huán)數(shù)為28?！眷柟獭?已知5個人都屬牛，它們年齡的乘積是589225，那么他們年齡的和為多少？【解析】 基本思路與上題一樣，重點還是在“1”這個因數(shù)的使用上，所以分解因數(shù)得到，五個人的年齡和為125歲。模塊三、質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合型題目【例 5】 是質(zhì)數(shù)，都是質(zhì)數(shù)求是多少？【解析】 由題意知是一個奇數(shù)，因為，所以是3的倍數(shù)，所以【鞏固】 已知是質(zhì)數(shù)，也是質(zhì)數(shù)，求是多少？【解析】 是質(zhì)數(shù)，必定是合數(shù)，而且大于1又由于是質(zhì)數(shù)，大于1，一定是奇質(zhì)數(shù)，則一定是偶數(shù)所以必定是偶質(zhì)數(shù)，即【例 6】 有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)之和的形式，并且在

39、不計加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有13種。那么所有這樣的自然數(shù)中最小的一個是多少 【解析】 根據(jù)題意在不計加數(shù)順序的情況下一個自然數(shù)能有13種表示成一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)和的形式，說明這個自然數(shù)一定比從2開始的第13個質(zhì)數(shù)要大。從2開始數(shù)的13個質(zhì)數(shù)分別是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么這個數(shù)一定要比41大，為了滿足這個自然數(shù)能夠分別寫成上面質(zhì)數(shù)與另一個合數(shù)的和的形式，所求自然數(shù)只要是個奇數(shù)即可，這樣這個奇數(shù)與從3開始的質(zhì)數(shù)的差只要都是一個大于2的偶數(shù)即可滿足條件。【鞏固】 如果一些不同質(zhì)數(shù)的平均數(shù)是21，那么這些質(zhì)數(shù)中最大的一個可能是多少？ 【

40、解析】 如果想使得這些質(zhì)數(shù)中最大的一個盡可能大，那么一定要求這些質(zhì)數(shù)在滿足平均數(shù)為21的條件下數(shù)量盡可能多，且比21大的質(zhì)數(shù)只能有一個。21以下的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，則說明這些質(zhì)數(shù)最多可能有8+1=9個，則大于21的那個數(shù)為21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但112不是質(zhì)數(shù)。分析原因，發(fā)現(xiàn)在上面算式中有一個除了21以外的奇數(shù)19，使得結(jié)果為偶數(shù)，說明在原來的一組質(zhì)數(shù)中不能有2，否則無法使得比21大的數(shù)是質(zhì)數(shù)。去掉2再次求和為112-19=93，仍然不是質(zhì)數(shù)，則可以做微調(diào)93-4=89，即在原來的一組質(zhì)數(shù)中再去掉一個17即可，這組數(shù)為3，5，7，

41、11，13，19，89，最大的一個是89?！眷柟獭?求1-100中不能表示成兩個合數(shù)的乘積再加一個合數(shù)的最大數(shù)是多少？ 【解析】 考慮最小的合數(shù)是4，先把表示方法簡化為4合數(shù)合數(shù)而合數(shù)最簡單的表現(xiàn)形式就是大于等于4的偶數(shù)因此該表示方法進一步表示為4(2n)合數(shù)即8n合數(shù)(其中n1即可)當該數(shù)被8整除時， 該數(shù)可表示為4(2n)8 ，n1,所以大于等于24的8的倍數(shù)都可表示當該數(shù)被8除余1時，該數(shù)可表示為4(2n)9，n1,所以大于等于25的被8除余1都可表示當該數(shù)被8除余2時，該數(shù)可表示為4(2n)10，n1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示當該數(shù)被8除余3時，該數(shù)可表示為4(2n)27

42、，n1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示當該數(shù)被8除余4時，該數(shù)可表示為4(2n)4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示當該數(shù)被8除余5時，該數(shù)可表示為4(2n)21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示當該數(shù)被8除余6時，該數(shù)可表示為4(2n)6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示當該數(shù)被8除余7時，該數(shù)可表示為4(2n)15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示綜上所述，不能表示的最大的數(shù)是經(jīng)檢驗，35的確無論如何也不能表示成合數(shù)合數(shù)合數(shù)的形式，因此我們所求的最大的數(shù)就是35【例 7】 已知p,q都是質(zhì)數(shù)，并且，則=【解析】 本題充分考察質(zhì)數(shù)與數(shù)字奇偶性知識點的結(jié)合。通過

43、觀察發(fā)現(xiàn)題目中有2個未知數(shù)，但是都是質(zhì)數(shù)，從結(jié)果上看2003是一個奇數(shù)，那么前面2個乘積必須為1個奇數(shù)1個偶數(shù)，那么p和q中必須有一個是2才可以。由大小關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)只能q是2，解出p=199,pq=398?！眷柟獭?將1到9這9個數(shù)字在算式的每一個括號內(nèi)各填入一個數(shù)字，使得算式成立，并且要求所填每一個括號內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù)? 【解析】 本題中括號內(nèi)所填的數(shù)字要求為個位質(zhì)數(shù)，那么只能是2，3，5，7.將原始代入字母分析有，即有，那么很容易發(fā)現(xiàn)只有35-27=1。符合原式的填法為。【鞏固】 三個質(zhì)數(shù)、，如果1，那么是多少？【解析】 除了2以外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，這樣的兩個奇數(shù)相加必然得偶數(shù)不成立，所以、必

44、有一個偶質(zhì)數(shù)2，又因為1，所以2【例 8】 有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù).求這兩個整數(shù)分別是多少？ 【解析】 兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如，共有16種形式，如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了.可以從乘積入手，因為三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數(shù)都是111的倍數(shù)，而，因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩

45、位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍(想想為什么？)3倍就不是兩位數(shù)了.把九個三位數(shù)分解：、.把兩個因數(shù)相加，只有()和()的兩位數(shù)字相同.所以滿足題意的答案是74和3，37和18.【鞏固】 兩個學生抄寫同一個乘法算式，兩個乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯了一個數(shù)字，于是得到兩個不同的算式，但巧合的是，他們計算的結(jié)果都是936.如果正確的乘積不能被6整除，那么它等于多少？ 【解析】 注意936中有質(zhì)因數(shù)13，故易見將其分解成兩個兩位數(shù)相乘的形式有，這5種可能，由于兩人各抄錯了一個數(shù)字，因此兩人的算式中應(yīng)有兩個位置上的數(shù)字相同.經(jīng)枚舉可知，他們所抄錯的算式可能是(，)，(，)

46、，(，)或(，).對于第一種情況，兩人抄錯的是第一個乘數(shù)的個位數(shù)字和第二個乘數(shù)的十位數(shù)字，正確的算式應(yīng)是或，后者乘積是6的倍數(shù)，與題意不符，故原算式應(yīng)為前者，正確的乘法算式是.對后三種情況作類似分析，可得出種可能的原乘法算式，但它們的結(jié)果都是6的倍數(shù)，不合題意.因此676即為所求.【例 12】 如果某整數(shù)同時具備如下三條性質(zhì)： 這個數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5，那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù)。求出所有的兩位幸運數(shù)【解析】 由條件可知，所求的數(shù)是偶數(shù)，因此可設(shè)所求的幸運數(shù)是質(zhì)數(shù)的兩倍，即此幸運數(shù)為2，則的所有可能取值為5，7，11，13，17，19，23，