非線性數(shù)值模擬進(jìn)展評價

1、非線性數(shù)值模擬進(jìn)展評價通過對程林松、姜瑞忠、黃延章、何順利、姚軍等人的相關(guān)文章調(diào)研發(fā)現(xiàn)，目前對于低速非達(dá)西模型的描述主要為啟動壓力梯度和毛管力動態(tài)效應(yīng)兩種表述方式。1. 單相啟動壓力梯度大量的實驗表明，關(guān)于低滲透性油層中滲流特征和滲流規(guī)律的表述可歸納為：具有啟動壓力梯度的非線性律，如圖1所示。其基本滲流特征為：(1) 當(dāng)壓力梯度小于某個值時，流體不流動。這個壓力梯度稱為最小啟動壓力梯度(真實啟動壓力梯度)，以a 表示.(2) 當(dāng)壓力梯度在比較低的范圍時，滲流速度的增加呈下凹型曲線。(3) 當(dāng)壓力梯度比較高時，滲流速度呈直線性增加。(4) 該直線段的延伸與壓力梯度軸交于某點(diǎn)而不通過坐標(biāo)原點(diǎn). 此

2、點(diǎn)稱為平均啟動壓力梯度 (擬啟動壓力梯度)，以b表示, c為最大啟動壓力梯度。圖1 滲流速度與壓力梯度的關(guān)系目前常用的單相啟動壓力梯度描述模型主要分為擬啟動壓力梯度模型、分段模型和連續(xù)模型。1.1 擬啟動壓力梯度模型一些研究人員基于擬啟動壓力梯度模型，針對擬啟動壓力梯度的求解方法進(jìn)行了實驗和理論研究，實驗流體從單一流體到多種流體，考慮的影響因素也從單一的滲透率變?yōu)闈B透率、粘度等多種因素的綜合作用。李忠興，程林松1-3等人（2004）使用抽真空煤油進(jìn)行室內(nèi)驅(qū)替實驗，依據(jù)考慮擬啟動壓力梯度的達(dá)西定律：Q=KAPL-對兩邊取常用對數(shù)得到：lgPL-=lgQ-lgKA該式中流量為零時驅(qū)替壓力梯度即為啟

3、動壓力梯度，通過回歸實驗數(shù)據(jù)，得出冪律關(guān)系式：=K-n最后研究人員繪制了確定低滲透油田啟動壓力梯度的理論圖版，如圖2所示。該求解方法僅考慮了滲透率和啟動壓力梯度的關(guān)系。郝斐，程林松4等人（2006）使用模擬油、地層水、注入水和蒸餾水進(jìn)行物理模擬，實驗結(jié)果表明：雙對數(shù)坐標(biāo)中啟動壓力梯度與滲透率呈線性關(guān)系且斜率為-1(圖3所示)，這與理論研究相符合：lgG=-lgk+lgb驗證了壓力梯度與滲透率的冪函數(shù)關(guān)系，并且研究了不同粘度對啟動壓力梯度的影響，結(jié)果表明粘度越大，啟動壓力梯度越大。許建紅，程林松5-6等人（2007）使用抽真空煤油進(jìn)行驅(qū)替實驗，擬合得到驅(qū)動壓力梯度與滲流速度的關(guān)系式：v=ap2+

4、bp+c pG再與考慮擬啟動壓力梯度的達(dá)西定律進(jìn)行聯(lián)立求解，可以得到下式：Gi=-aP2+b-KiiP+cKii該求解方法不僅考慮了滲透率與啟動壓力梯度的關(guān)系，還考慮了流體粘度、驅(qū)動壓力梯度對啟動壓力梯度的影響。圖2 確定低滲透地層啟動壓力梯度大小理論圖版圖3 不同流體啟動壓力梯度與滲透率的關(guān)系也有一些研究人員討論了考慮擬啟動壓力梯度的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了數(shù)值模擬或者尋找簡化方法求得解析解。韓洪寶，程林松1-3,6-9等人（2004）引入了邊界層理論5，將油相粘度用表觀粘度來代替：B=A1+1-A2同時考慮了擬啟動壓力梯度（如圖4點(diǎn)C），將結(jié)果應(yīng)用到黑油模型中，得到了修正后的三維三相黑油模型：油

5、方程：kKroBoBpo-ogD-Go+qoosc=tSoBo 水方程 ：kKrwBwwpw-wgD+qwwsc=tSwBw 氣方程：kKroRsoBoBpo-ogD-Go+kKrwRswBwwpw-wgD+kKrgBggpg-ggD+qggsc=tSoRsoBo+SwRswBw+SgBg圖4 典型的非達(dá)西滲流關(guān)系曲線李莉，董平川等人（2006）基于擬啟動壓力梯度模型，建立了三維油水兩相非達(dá)西滲流數(shù)學(xué)模型，利用差分法得到數(shù)值模型，并設(shè)計了正方形注采單元進(jìn)行數(shù)值模擬，通過改變注采井距，的餓到了見水時地層壓力、壓力梯度等參數(shù)的空間分布，最后得到了有效驅(qū)動注采井距。一些研究人員也以擬啟動壓力梯度為基

6、礎(chǔ)建立了低滲透油藏非達(dá)西滲流模型，使用不同的方法探索模型的精確解。郝斐，程林松10-12等人（2006）建立了考慮擬啟動壓力梯度低滲透油藏不穩(wěn)定滲流模型，并在內(nèi)邊界條件中考慮了動邊界：pr-Gr=Rt=0p=pe rRt利用油藏壓力近似表達(dá)式：p=a0lnrRt+a1+a2rRt,rwrRt求得近似解和半解析解，分析了啟動壓力梯度對地層能量傳播和流體運(yùn)移的影響。兩種求解結(jié)果有較好的一致性，解決了數(shù)值解法計算量大的弊端。李松泉，程林松13等人（2008）在前人研究的基礎(chǔ)上，建立了考慮擬啟動壓力梯度和介質(zhì)變形的穩(wěn)定、不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型，利用近似求解方法，給出了定產(chǎn)、變產(chǎn)和定壓條件下的解。同時也低滲

7、透油藏產(chǎn)能遞減規(guī)律、井距確定和含水率變化進(jìn)行了分析。含有動邊界條件的低滲透油藏非達(dá)西不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型具有較強(qiáng)的非線性，難以求出精確解析解。劉文超，姚軍14-17等人（2013）建立了能反映動邊界移動規(guī)律的低滲透油藏不穩(wěn)定非達(dá)西滲流數(shù)學(xué)模型，模型中不含動邊界條件，經(jīng)過無因次化，模型如下：pDtD=1rDvDpDrD-rDvDpDrD2pDrD2pDtD=0=0rDpDrDrD=1=-1+DpDrD=reD=0vDpDrD=0 0-pDrDDpDrD+D -pDrDDvDpDrD=0 0-pDrDD-1 -pDrDD通過采用Douglas-Jones預(yù)估校正有限差分法，求得了該模型瞬時壓力的精確

8、數(shù)值解。計算結(jié)果表明井底瞬時壓力的雙對數(shù)曲線存在拐點(diǎn)，拐點(diǎn)前的曲線反映動邊界到達(dá)定壓邊界前的狀態(tài)，拐點(diǎn)后的曲線反映動邊界到達(dá)定壓邊界后的狀態(tài)，如圖5所示。圖5 瞬時井底壓力的雙對數(shù)曲線上述關(guān)于擬啟動壓力梯度問題的探討存在一定的局限性：井-網(wǎng)格方程未考慮擬啟動壓力梯度或因處理太簡單而不合理，流體在網(wǎng)格、網(wǎng)格之間的流動與井、網(wǎng)格之間的流動會產(chǎn)生矛盾，前者可使用模型直接離散化實現(xiàn)，后者需要對井附近的流動進(jìn)行解析研究，建立井-網(wǎng)格方程，從而修正了內(nèi)邊界條件。趙國忠18,19（2006）建立了考慮擬啟動壓力梯度的三維三相滲流數(shù)值模型，通過等效半徑（如圖6所示）re=xy/12將井與其所在網(wǎng)格關(guān)聯(lián)起來。圖

9、6 單位時間步內(nèi)的井-網(wǎng)格穩(wěn)定流動示意圖王建忠，姚軍等人（2013）建立了三維兩相數(shù)值模型，利用Peaceman等效半徑將網(wǎng)格壓力和井底壓力聯(lián)系起來：pi,j,k-pwf=Q2KxKy12hlnrorw+ro-rwG進(jìn)而推導(dǎo)了考慮啟動壓力梯度影響的定井底壓力、定產(chǎn)油量和定產(chǎn)液量條件下的內(nèi)邊界條件?，F(xiàn)有的低滲透油藏非線性流動數(shù)值模擬，大都采用傳統(tǒng)的有限差分法或控制體積有限差分，此類方法基于相鄰單元中心點(diǎn)的物理量來構(gòu)造數(shù)值計算個事，求取壓力梯度，進(jìn)而進(jìn)行求解。而非均質(zhì)低滲油藏中不同區(qū)域甚至不同網(wǎng)格單元的滲流模式不盡相同，必須獲取各個網(wǎng)格單元的壓力梯度，并選擇相應(yīng)滲流模式，因此傳統(tǒng)的數(shù)值模擬方法無法

10、滿足要求。姚軍，黃濤等人（2014）基于擬啟動壓力梯度模型，結(jié)合動態(tài)滲透率概念，建立了單相數(shù)值模型。在控制體積有限差分法的基礎(chǔ)上引入界面中心點(diǎn)壓力和速度，提出一種新的數(shù)值算法，該算法基于單個網(wǎng)格來構(gòu)造數(shù)值計算格式，課精確獲得每個網(wǎng)格的壓力梯度，單元間通過流量連續(xù)條件聯(lián)系起來?？偨Y(jié)：擬啟動壓力梯度模型較為成熟，但不能體現(xiàn)出非線性滲流的特點(diǎn)，且當(dāng)壓力梯度小于擬啟動壓力梯度時油藏流體無法動用，大大縮小了特低滲油藏的流動范圍。1.2 分段模型分段模型起步較早，黃延章22（1998）總結(jié)出目前主要的三種分段模型為：直線逼近法、冪律函數(shù)逼近法和二次函數(shù)逼近法，如下式所示。直線逼近法v=0 PLa v=K1

11、PL-a aPLbv=K2PL-c bPL冪律函數(shù)逼近法v=0 PLav=a1KPL-Gia2aPLb v=K2PL-c bPL二次函數(shù)逼近法v=0 PLav=APL2+BPL+c aPLbv=K2PL-c bPL尹芝靈，孫文靜等人（2011）以分段模型為基礎(chǔ)，結(jié)合了姚軍教授提出的動態(tài)滲透率概念：K=f1pKe GApmGcf1p=2ap+b2aGc+b建立了涵蓋非線性段和擬線性段的油藏數(shù)值模擬模型，其運(yùn)動方程為：v1=0, plGA f1plKmaxKrllpl-GA, GAplGc通過全隱式差分格式建立了數(shù)值模型，采用預(yù)處理共軛梯度法進(jìn)行求解。結(jié)果表明：啟動壓力梯度對壓力場有顯著地影響，且

12、用此非線性滲流模型計算的壓力變化比擬線性情況平緩，更符合油藏開發(fā)實際（如圖7所示）圖7 不同滲流模型條件下注采井間的壓力分布鑒于現(xiàn)有分段模型的連續(xù)性和確定性問題，難以直接應(yīng)用于建模，劉文超，姚軍24等人（2012）從低滲透多孔介質(zhì)滲透率漸變理論出發(fā)，將冪律分段模型進(jìn)行了公式化，得到了非線性運(yùn)動方程實數(shù)域內(nèi)的表示：v=0, dPdrCv=-dPdrdPdrkA-BA-CndPdr-Cn,CPPmincpP=rmax3-rmin33 PPmaxrmax3-r33PmaxPPmin楊仁峰，姜瑞忠等人29-32（2011）提出了一個新模型，并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，編制了三維三相非線性滲流數(shù)值模擬軟件，

13、為非線性滲流模型的工程化應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，該模型如下：Q=KA1-1P-12PP-2P該模型引入的兩個新參數(shù)具有豐富的內(nèi)涵，體現(xiàn)了屈服應(yīng)力和邊界層對滲流的影響，較好地體現(xiàn)出低滲透油藏最小啟動壓力梯度 、壓力梯度隨驅(qū)替壓力梯度增加而增加、非線性滲流等滲流特征。作者同時考慮了壓敏效應(yīng)，建立了三維三相數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造了響應(yīng)的有限差分離散化格式，確定了考慮非線性滲流的井-網(wǎng)格流動方程。姜瑞忠，李林凱等人33（2012）基于毛細(xì)管模型，結(jié)合邊界層理論，通過引入描述低滲透儲層滲流的特征參數(shù)c1和c2，建立了新的數(shù)學(xué)模型，從根本上解釋了啟動壓力梯度和非線性滲流產(chǎn)生的原因，該模型如下：v=K1-c1P-c2P該模

14、型及包含了達(dá)西模型，又包含了擬啟動壓力梯度模型，且反映了最小啟動壓力梯度的現(xiàn)象。黃延章，楊正明等人34（2013）提出了一個新的非線性滲流模型，該方程各項參數(shù)由實驗直接得出，且含義明確，是一個通用方程，模型如下：v=KodPdx1-cdPdx+c-a 該模型是一個通用方程，當(dāng)a=c0時，該方程為賓漢流體的滲流方程；當(dāng)a=0時，該方程變成無真實啟動壓力梯度的非線性滲流方程；當(dāng)a=c=0時，該方程為達(dá)西線性滲流方程。 以上模型為近期的連續(xù)函數(shù)模型，此類模型適用性較強(qiáng)，具有連續(xù)性易于離散后建立數(shù)值模型，發(fā)展前景大；但是模型中的參數(shù)均需要實驗或者擬合得到，且有些參數(shù)具體含義不明確。2. 兩相啟動壓力梯

15、度蘇法卿，孫志剛35等人（2004）實驗研究了油水兩相最小啟動壓力梯度，實驗發(fā)現(xiàn)：（1） 最小啟動壓力梯度與孔隙滲透率呈冪函數(shù)關(guān)系；（2） 最小啟動壓力梯度隨含水飽和度升高先增大后減小；（3） 兩相啟動壓力梯度比單相的值增大510倍。郝斐，程林松4等人（2006）比較了單相油、水及束縛水、殘余油狀態(tài)下的啟動壓力梯度。單相滲流時，啟動壓力梯度較小；兩相驅(qū)替時，啟動壓力梯度值較大，即隨著含水飽和度增大，兩相啟動壓力梯度逐漸增大，在某一含水飽和度時達(dá)到最大值，隨著含水飽和度繼續(xù)增大，啟動壓力梯度反而減小，如圖8所示。分析認(rèn)為，兩相啟動壓力梯度大很多的原因主要是毛管力影響的結(jié)果。圖8 典型巖樣啟動壓力

16、梯度與含水飽和度關(guān)系鄧玉珍，劉慧卿36（2006）通過室內(nèi)試驗測定了油水兩相啟動壓力梯度，提出了適合兩相滲流的啟動壓力梯度模型，認(rèn)為兩相啟動壓力梯度與流度呈冪指數(shù)關(guān)系，其中引入了油水兩相綜合流度的概念，兩相流體粘度用油水兩相粘度的飽和度加權(quán)形式。G=k-n隨著流度增加，啟動壓力梯度逐漸減小，如圖9所示。圖9 油水兩相啟動壓力梯度與流體流度的關(guān)系李松泉，程林松13等人（2008）實驗測量了束縛水和殘余油飽和度狀態(tài)下的啟動壓力梯度值，結(jié)果與郝斐（2006）的結(jié)果一直，分析原因是賈敏效應(yīng)使得連續(xù)的液流變?yōu)榉稚⒌囊旱?，大大增加了水?qū)油所需的壓力，反映在啟動壓力梯度的增大。同時，作者在油相和水相運(yùn)動方程

17、中加入擬啟動壓力梯度，給出了油水兩相非活塞驅(qū)替的分流量、壓力、產(chǎn)量方程。時宇，楊正明27等人（2008）根據(jù)巖心實驗提出了單相啟動壓力梯度的兩參數(shù)模型，并在B-L方程的基礎(chǔ)上建立了非線性非混相驅(qū)替方程進(jìn)行了求解，得出的含水率公式如下：fw=krwswwkrwsww+kroswo1+badpdx-1楊仁峰，姜瑞忠等人37（2011）深入分析了相對滲透率引入的基本假設(shè)，將建立的單相模型推廣到兩相體系，得出了多相非線性滲流新模型：Ql=KKrllA1-1lPl-1l2lPlPl-2lPl式中1l、2l應(yīng)取單相的值。同時，作者分析了現(xiàn)有兩相非線性滲流理論研究方面存在的誤區(qū)，指出現(xiàn)有連續(xù)模型中的參數(shù)均應(yīng)

18、取單相滲流時的測量值。總結(jié)：現(xiàn)有關(guān)于兩相啟動壓力梯度的研究多為實驗測量并定性地分析規(guī)律，而關(guān)于非線性滲流數(shù)學(xué)模型也僅僅是將單相模型推廣到兩相模型的油相運(yùn)動方程中，并沒有專門描述兩相啟動壓力梯度的數(shù)學(xué)模型。3. 毛管力動態(tài)效應(yīng)多數(shù)國內(nèi)學(xué)者只研究了油水界面平衡狀態(tài)下的靜態(tài)毛細(xì)管壓力及其對低滲透油藏水驅(qū)油效果的影響，認(rèn)為毛細(xì)管壓力只是含水飽和度的函數(shù)。以Hassanizadeh 38-44為代表的國外學(xué)者研究了動態(tài)毛細(xì)管壓力的效應(yīng)，認(rèn)為在非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動過程中，毛細(xì)管壓力不斷變化，其不僅是濕相流體飽和度的函數(shù)，還受到濕相流體飽和度變化率的影響，即：Pc=Po-Pw=fSw,SwtHassanizadeh4

19、4(2002)提出動態(tài)毛管力與含水飽和度變化率有以下關(guān)系：Pc,dyn=Po-Pw=Pc,statSw+10-6Swt田樹寶，何順利45等人（2012）首次實驗研究了低滲透油藏中毛細(xì)管理的動態(tài)效應(yīng)，實驗發(fā)現(xiàn)巖心滲透率和毛細(xì)管動態(tài)系數(shù)呈反比，如圖10所示；同時，作者建立了數(shù)值模型，考慮了動態(tài)毛細(xì)管壓力，沒有單獨(dú)引入啟動壓力梯度，即將Pc,dyn=Po-Pw=Pc,statSw+10-6Swt引入了輔助方程，對模型進(jìn)行了求解，計算結(jié)果與滲流實驗規(guī)律基本吻合，表明低滲透油藏油水兩相動態(tài)毛細(xì)管壓力是導(dǎo)致油水兩相產(chǎn)生非達(dá)西流動的原因之一。 （a） （b）圖10 不同進(jìn)汞速度條件下測定的低滲透巖心和高滲透

20、巖心毛細(xì)管壓力曲線對比舒衛(wèi)兵，許鶴華46等人（2014）建立了二次函數(shù)非線性滲流模型，自定義了三種不同變化率的飽和度時變曲線，如圖11所示。Sw1=0.1T Sw2=0.4167lnT+1 Sw3=0.01T2圖11 數(shù)值模擬采用的三種飽和度時變曲線通過有限元數(shù)值模擬一維驅(qū)油過程，研究了毛管力動態(tài)效應(yīng)。結(jié)果表明：三種不同飽和度時變曲線得到的毛細(xì)管壓力存在明顯的差異（圖12所示）圖12 模擬所得到的毛細(xì)管壓力曲線同時，計算結(jié)果表明動態(tài)系數(shù)與滲透率呈負(fù)相關(guān)，與潤濕相流體粘滯系數(shù)呈正相關(guān)。參考文獻(xiàn)：1 李忠興，程林松.特低滲油藏啟動壓力梯度新的求解方法及應(yīng)用.2 馮文光，葛家理.單一介質(zhì)、雙重介質(zhì)中

21、非定常非達(dá)西低速滲流問題.3 馮文光.非達(dá)西低滲滲流的研究現(xiàn)狀與展望.4 郝斐，程林松.特低滲透油藏啟動壓力梯度研究.5 許建紅，程林松.低滲透油藏啟動壓力梯度新算法及應(yīng)用.6 韓洪寶，程林松.特低滲透油藏考慮啟動壓力梯度的物理模擬及數(shù)值模擬方法.7 黃延章，嚴(yán)衡文，楊正明.低滲透油層滲流機(jī)理.8 鄧英爾，閆慶來.界面分子力作用于滲透率的關(guān)系及其對滲流的影響.9 黃延章.低滲透油層分線性滲流特征.10 郝斐，程林松等.考慮啟動壓力梯度的低滲透油藏不穩(wěn)定滲流模型.11 李凡華，劉慈群.含啟動壓力梯度的不定常滲流的壓力動態(tài)分析.12 程時清，徐論勛等.低速非達(dá)西滲流試井典型曲線擬合法.13 李松泉

22、，程林松.特地滲透油藏非線性滲流模型.14 劉文超，姚軍等.低滲透油藏非達(dá)西滲流瞬時壓力計算方法.15 程時清，黃延章等.低速非達(dá)西滲流流動邊界問題的積分解.16 郭永存，曾清紅等.動邊界低滲透油藏的無網(wǎng)格方法數(shù)值模擬.17 Wu J S.Flow and displacement of Bingham non Newtonian fluids in porous media18 趙國忠.變啟動壓力梯度三維三相滲流數(shù)值模擬方法.19 郭永存，曾清紅燈.有啟動壓力梯度滲流的數(shù)學(xué)模型.20 王建忠，姚軍等.考慮井網(wǎng)格影響的油水兩相低滲油藏數(shù)值模擬.21 姚軍，黃濤.非均質(zhì)低滲透油藏非線性流動數(shù)值模

23、擬.22 尹芝靈，孫文靜.動態(tài)滲透率三維油水兩相低滲透油藏數(shù)值模擬.23 姚軍，劉順.基于動態(tài)滲透率效應(yīng)的低滲透油藏試井解釋模型.24 劉文超，姚軍等.基于滲透率連續(xù)變化的低滲透多孔介質(zhì)非線性滲流模型.25 鄧英爾，劉慈群.低滲油藏非線性滲流規(guī)律數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用.26 楊清立，楊正明等.特低滲透油藏滲流理論研究.27 時宇，楊正明.低滲透油藏非線性兩相滲流研究.28 時宇，楊正明.低滲透儲層非線性滲流模型研究.29 楊仁峰，姜瑞忠等.特地滲透油藏非線性滲流數(shù)值模擬.30 楊清立，楊正明等.特地滲透油藏滲流理論研究.31 徐運(yùn)亭，徐啟等.低滲透油藏滲流機(jī)理研究及應(yīng)用.32 楊正明，于榮澤等.特地滲透油藏非線性滲流數(shù)值模擬.33 姜瑞忠，李林凱等.低滲透油藏非線性滲流新模型及試井分析.34 黃延章，楊正明等.低滲透多孔介質(zhì)中的非線性滲流理論.35 蘇法卿，孫志剛等.低滲透砂巖油藏油水兩相最小啟動壓力梯度實驗研究.36 鄧玉珍，劉慧卿.低滲透巖心中油水兩相滲流啟動壓力梯度實驗.37 楊仁峰，姜瑞忠等.低滲透油藏單相及兩相非線性滲流新模型.38 Mirzaei M, Das D B. Dynamic effects in capillary pressure-saturations relation