有關(guān)球的高考題

1、1. 2021 陜西高考理科T5底面邊長為1,側(cè)棱長為 的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，那么該球的體積為A. B.4 n C.2 n D.33【解題指南】 根據(jù)截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出球的半徑，代入球的體積公式求解.【解析】 選D.由正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，可設(shè)正四棱柱的上底所在截面圓的半徑為R,那么R； +R；=1可得R：=二又側(cè)棱長為應(yīng)，所以球心到截面圓的距離 d二手；由截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理得球半徑 R=；二| - r二=1，代入球的體積公式得球的體積為一.% 、亠- 32.2021全國卷文科 T4體積為8

2、的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，那么該球的外表積為( )32A.12 n B. n C.8 n D.4 n3【解題指南】利用正方體的體對角線就是球的直徑求解【解析】選A.因?yàn)檎襟w的體積為8,所以正方體的棱長為 2,其體對角線長為 2 3 ,所以正3.2021 新課標(biāo)全國卷U理科T9A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB=90 ,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)三棱錐O-ABC體積的最大值為 36,那么球O 的外表積為A.36 n B.64 nC.144 n D.256 n【解題指南】 當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積 最大，利用VO-abc=Vc-aob列出關(guān)于半徑 R的方程

3、，求出球的半徑，然后求出球的表 面積.【解析】選C.如下圖，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐0-i i 2 i 3ABC的體積最大,設(shè)球0的半徑為 R,此時(shí)Vo-abc=Vc-aob=; X二R X R= R=36,故R=6,那么球0的外表積為S=4 n R=144 n .4.(2021 全國卷川 文科T 11)與(2021 全國卷3理科T 10)相同在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為 V的球.假設(shè)AB丄BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,那么V的最大值是9冗32冗A.4 n B. C.6 n D.23【解題指南】 注意當(dāng)球和直三棱柱的三個(gè)側(cè)面內(nèi)切時(shí)，球已不在

4、直三棱柱內(nèi)【解析】選B.當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積最大在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí)， 因?yàn)锳B丄BC , AB=6 , BC=8 ,所以AC=10 ,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑r=10 =2 ,直徑為4側(cè)棱所以球的最大直徑為 3 ,半徑為-，此時(shí)體積V=-.2 2 2方體的外接球的半徑為3 ,所以球的外表積為 4 n ( 3)2=12 n.5. (2021 遼寧高考文科 T 11)S, A, B, C是球O外表上的點(diǎn)，SA 丄平面ABCAB丄BC, SA=AB=1 , BO-.2,那么球O的外表積等于()(A) 4 二(B ) 3 二(C)2 -(D)二【命題立意】 此題考查了

5、空間兩點(diǎn)間距離公式和球的外表積公式【思路點(diǎn)撥】建立空間坐標(biāo)系1設(shè)球心坐標(biāo)球的半徑球的外表積【標(biāo)準(zhǔn)解答】 選A. ； SA丄平面ABC AB, Ab平面ABC,二SA丄AB , SA丄AC ,故可以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為y軸，AS所在的直線為z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，貝V A(0, 0,0),0) , C(0,3,0), S(0,0,1),設(shè)球心 O坐標(biāo)為(X0,y0,z0),那么點(diǎn)o到各頂點(diǎn)S, A, B, C的距離相等，都等于球的半徑R.r 222f2X0 +y +z =RJ6 2寸3 222(X0?) +(y?) +(z0) =R(冷一0)2+(丫0-/3)2+(6-0

6、)2 =只2、(X0 0)2 +(y。0)2 +(zi)2 =R273i 2解得 x0 =0, y 二牙，z0 = , R ，2球的外表積為4二R =4二1 =4二.應(yīng)選A.【方法技巧】1.選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來確定球心，才能求出半徑，2. 也可用另外的方法找到球心，因?yàn)?ABC是直角，所以 AC是過A，B，C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面 SAC中，又因?yàn)榍蛐牡?占八、S, A，C的距離都相等，且 SAC是直角三角形，所以球心 就是斜邊SC的中點(diǎn)，球的半徑為 SC的一半，3. 另外，可將三棱錐 S-ABC補(bǔ)成一個(gè)長方體進(jìn)行求解.6. (20

7、21 海南寧夏高考理科 T10)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱 的長為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，那么該球的外表積為()711(A)二a2( B) 7二a2(C)二a2( D) 5：a233【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題.【思路點(diǎn)撥】 找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長之間的 關(guān)系.【標(biāo)準(zhǔn)解答】 選E .設(shè)球心為O，設(shè)正三棱柱上底面為ABC，中心為O，因?yàn)槿庵欣獾拈L為a，那么可知oo遽，OA=a，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑 R二.00 2 O A2，所以球的外表積為 4二R2=7二a2，故637. 2021 遼寧高考文科10球的直徑 SC=4，A，B是該球

8、球面上的兩點(diǎn)，AB=2，Z ASC=/ BSC=45，那么棱錐 S-ABC的體積為【思路點(diǎn)撥】(B)2.3(C)4、, 3(D)5.3找到直徑SC的垂截面是解決此題的關(guān)鍵.【精講精析】選C,設(shè)球心為0，那么AO,BO是兩個(gè)全等的等腰直角三角形斜 邊上的高，斜邊 SC=4,故A0二B0=2，且有 AO_SC , BO _ SC .1 1 J324無 VwVsob V5S aob(so OC) = 3 24 右8. 2021 遼寧高考理科12球的直徑 SC=4, A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB = , 3， . ASC - BSC = 30，那么棱錐 S - ABC的體積為(A) 3：3(B) 2

9、,3(D) 1【思路點(diǎn)撥】找到直徑SC的垂截面是解決此題的關(guān)鍵.【精講精析】 選C.由題意可知 SAC和SBC是兩個(gè)全等的直角三角形，過直角頂點(diǎn)A,B分別作斜邊上的高線 AH ,BH，由于 ASC=/BSC=30，求得AH ，所以等邊ABH的面積為S ABH訐號，所求棱錐S-ABC的體積等于以“ABH為底的兩個(gè)小三棱錐的體積的和，其高的和即為球的直徑SC的長，故VsBC二9. 2021 新課標(biāo)全國高考理科15 矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且 AB = 6,BC = 2 、3 ,那么棱錐O - ABCD的體積為【思路點(diǎn)撥】 畫出圖形，找出球心位置，然后數(shù)形結(jié)合求出棱錐O-ABC

10、D的體積【精講精析】如下圖，00 垂直于矩形ABCD所在的平面,垂足為0 ,連接 OB , 0B，那么在 Rt.OOB 中，由 0B= 4, 0B =2.、3，可1 1得 00 = 2, . VobcdS OO 6 2、. 3 2=8.3.【答案】8,310. 2021 新課標(biāo)全國高考文科16兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩 個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，假設(shè)圓錐底面面積是這個(gè)球面 面積的-，那么這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為16【思路點(diǎn)撥】 畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，然后利用球及圓的性質(zhì)求解【精講精析】如圖設(shè)球的半徑為 R，圓錐的底面圓半徑為r，那么依題意得二 r2

11、4- R2，即丄=cos 乙0 C0 ,16R21110C0 =30 , 00 R， A0 二 R - 一 R, B0 二 R R,2 22【答案】丄311. 2021 新課標(biāo)全國高考理科T11 三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球 0的球面上， ABC是邊長為1的正三角形,SC為球0的直徑，且SC=2,那么此棱錐的體積為6(B)(C)3(D)【解題指南】 思路一：取AB的中點(diǎn)為D，將棱錐分割為兩局部，利用V =vb_cds vcds求體積；思路二：設(shè)點(diǎn) O到面ABC的距離為d,利用V Js abc 2d3 BC求體積;思路三：利用排除法求解.【解析】 選A.方法一 ：；SC是球0的直徑，CAS-

12、 CBS = 90 :BA 二 BC 二 AC=1， SC =2， AS 二 BS3，取 AB 的中點(diǎn)為 D，顯然AB CD, AB_SD, AB 平面 CDS.在CDS中，心子DS2SC = 2，利用余弦定理可得cos CDS = -1,J33sin. CDS=4 2 故33，、21 .3 ,11 42=XXX1V 二 Vb -CDS +Va _CDS = X32 22.332S曲DS 漢 BD + S曲DS 江 A- ScdB- 3 3326 r =方法二：ABC的外接圓的半徑 3，點(diǎn)O到平面ABC的距離斗2d=SC為球0的直徑=點(diǎn)S到平面ABC的距離為 3 ，1、3V w S jabc

13、X 2R = 方法三：3 ABC 6，排除B,C,D.12. (2021 新課標(biāo)I高考理科T6)如圖,有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口 ，再向容器內(nèi)注水當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，那么球的體積為()A. 50 cm3B.3866 二 3cm3C.31372二 3cmD.2048二 3cm3【解題指南】 結(jié)合截面圖形，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于球 半徑的方程，求出球半徑，再利用V二4二R3求出球的體積.3【解析】選A.設(shè)球的半徑為R,由勾股定理可知， R2 = (R-2)2 42,解 得R=5，所以球的體積V=4：R3

14、=4： 53二色匹(cm2)3 3313. (2021 新課標(biāo)全國高考文科8)平面a截球O的球面所得圓的半徑為1 ,球心O到平面a的距離為2,那么此球的體積為()(A) 6n(B) 43n(C) 4 6 n( D) 6 3n【解題指南】 利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿 足勾股定理求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積【解析】選B.設(shè)球O的半徑為R,那么R12 ( 2)2 *3，故V球二R3 =4、3二球 314. 2021 遼寧高考文科T 16點(diǎn)P, A, B, C, D是球O外表上的點(diǎn)，PAX平面ABCD四邊形ABCD是邊長為2靈的正方形.假設(shè)PA=2胚,那么厶OAB的面

15、積為.【解題指南】 注意到條件中的垂直關(guān)系，將點(diǎn)P,A,B,C,D 看作長方體的頂點(diǎn)來考慮.【解析】由題意，PAX平面ABCD那么點(diǎn)P,A,B,C,D,可以視為球O的內(nèi) 接長方體的頂點(diǎn)，球 O位于該長方體的對角線的交點(diǎn)處，那么 OAB的面積為長方體對角面的四分之一ABB=2233PAg22 65,. P攻OABDi面積=1丄 22 33 66=3 33 .44【答案】3 315. 2021 遼寧高考文科10 與2021 遼寧高考理科10相同三棱柱ABC-ABG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，假設(shè)AB =3, AC =4, AB _ AC, AA =12,，那么球 0 的半徑為【解題指南】 對于某些

16、簡單組合體的相接問題，通過作出截面，使得有 關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對集中在某個(gè)平面圖形中【解析】選C.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過球心 0和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的 大圓，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形,其外接圓的圓心0為其斜邊BC的中點(diǎn)，連接OA,OO ,OA,由勾股定理，OA2 =0 o2 O A2其中OA = R, OO AA “?；V弓所以球。的半徑為16. 2021 新課標(biāo)I高考文科T 15H是球。的直徑AB上一點(diǎn)，AH:HB=1:2,AB丄平面:,H為垂足，：截球。所得截面的面積為n，那么 球。的外表積為.【解析】因?yàn)椋航厍?。所得截面的面積為n，所以截面:的半徑為1.

17、設(shè) 球的半徑為R,那么AH二空，BH =4R,由勾股定理得12 -R2,解得333R2 =9.所以球。的外表積為4 :R2=9二.8 2【答案】9二.217. 2021 大綱版全國卷高考文科16 與2021 大綱版全國 卷高考理科16相同圓。和圓K是球。的大圓和小圓，其公共弦長等于球 。的半徑，0K，且圓。與圓K所在的平面所成角為60,那么球。的外表積等于.2【解題指南】 解決此題要明確球大圓是指球的切面過圓心的圓.根據(jù)題意畫出圖形，確定圓。與圓K所在平面的二面角，構(gòu)造直角三角形求出 半徑長【解析】如圖，設(shè)公共弦 MN二R, E為MN的中點(diǎn)，貝卩0E MN， KE MNOEK為圓。與圓K所在平

18、面的二面角所以.OEK =60，又OMN為等邊三角形，所以 OE -R.又因?yàn)?OK =3, OK _ EK ,2 2 所以O(shè)E sin60，即衛(wèi)仝=3.2 2 2 2解得 R = 2，所以 S R2 =16二.【答案】16二19. 2021 天津高考文科10一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.假設(shè)球的體積為,那么正方體的棱長為2 【解題指南】 先根據(jù)球的體積求出半徑，再根據(jù)球的直徑與其內(nèi)接正方體對角線的相等關(guān)系求其棱長【解析】設(shè)球半徑為R,因?yàn)榍虻捏w積為仝r3=?，所以R=3，又由球3 22的直徑與其內(nèi)接正方體對角線的相等知正方體的對角線長為3,故其棱長為3.【答案】-.320. 2021 福建高考理科T12某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖均如下圖，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，那么該球的外表積是 .【解題指南】 如果考球，我們只要清