復(fù)變函數(shù)4.1復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)(講義)PPT課件

1、2021/7/241第一節(jié) 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)4.1.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.1.2復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.1.3解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.1.4 小結(jié)與思考小結(jié)與思考 2021/7/2424.1.0 4.1.0 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限1.1.定義定義0,( )N 如如任任意意給給定定相相應(yīng)應(yīng)地地都都能能找找到到一一個(gè)個(gè)正正整整數(shù)數(shù) , nnN使使在在時(shí)時(shí): :成成立立 , 時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列那那末末 nn 記作記作.lim nn . 收斂于收斂于此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列n , ), 2 , 1( 其其中中為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè) nn ,nnniba ,

2、 為為一一確確定定的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)又又設(shè)設(shè)iba 2021/7/2432.復(fù)數(shù)列收斂的條件復(fù)數(shù)列收斂的條件 (1,2,) nnnaibnaib 定定理理 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于的的充充要要條條件件是是lim,lim.nnnnaabb ,lim nn如如果果那末對于任意給定的那末對于任意給定的0 就能找到一個(gè)正數(shù)就能找到一個(gè)正數(shù)N, , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,)()( ibaibann證證,)()( bbiaaaannn從而有從而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理2021/7/244.2,2 bbaann反之反之, 如果如果,lim,limbbaannnn , 時(shí)時(shí)那末當(dāng)那末當(dāng)Nn

3、從而有從而有)()(ibaibannn )()(bbiaann 該定理說明該定理說明: 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.lim nn所所以以證畢證畢, bbaann2021/7/245定理：數(shù)列收斂的定理：數(shù)列收斂的Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 (1,2,) nn 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列收收斂斂的的充充要要條條件件是是: :0:NnNpN , , 0 0, ,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,對對|npn 課堂練習(xí)課堂練習(xí): :下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2

4、innenz 2021/7/2461.定義定義(1,2,),nnnaibn 設(shè)設(shè)為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列121 (4.1)nnn 表達(dá)式表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù).（4.1）最前面）最前面 n 項(xiàng)的和記為項(xiàng)的和記為:nns 21稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和.部分和部分和若部分和數(shù)列若部分和數(shù)列sn(n=1,2,)以有限復(fù)數(shù)以有限復(fù)數(shù)s為極限為極限,lim()nnss 4.1.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)即若即若2021/7/247收斂與發(fā)散（斂散性）收斂與發(fā)散（斂散性）說明說明: 與實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)相同與實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)相同, 判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的基本方法是性的基本方法是:.lim

5、ssnn 利用極限利用極限1nns 則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)(4.1)收斂于收斂于s,且稱且稱s為為(4.1)的和的和,寫成寫成否則若復(fù)數(shù)列否則若復(fù)數(shù)列sn(n=1,2,)無有限極限無有限極限,則稱級則稱級數(shù)數(shù)(4.1)為發(fā)散為發(fā)散.2021/7/248:,0 nnz級數(shù)級數(shù)例如例如1-21nnzzzs ,1時(shí)時(shí)由于當(dāng)由于當(dāng) z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂所以當(dāng)所以當(dāng) z2021/7/249 定理定理4.1 設(shè)設(shè) n=an+ibn(n=1,2,),an及及bn為實(shí)為實(shí)數(shù)數(shù),則復(fù)級數(shù)則復(fù)級數(shù)(4.1)收斂于收斂于s=a+i

6、b(a,b為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù))的充要的充要條件為條件為:11,nnnnab 分別收斂于分別收斂于a及及b. 證證 111:,nnnnknknkkkksAaBb 設(shè)設(shè)則則 sn=An+iBn (n=1,2,),由第一章習(xí)題由第一章習(xí)題(一一)17 limsn=a+ib的充要條件為的充要條件為:limAn=a及及l(fā)imBn=bnnn2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的條件復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的條件實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)2021/7/2410說明說明 該定理的作用是將復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題該定理的作用是將復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題 實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題(定理定理4.1)111),nnnnab 分別收斂于分別收斂于a及

7、及b.1()nnsaib 112),nnnnab 至至少少一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)散散1nn 發(fā)發(fā)散散2021/7/2411 )1(1 1是是否否收收斂斂？級級數(shù)數(shù) nnin解解; 1 11發(fā)發(fā)散散因因?yàn)闉?nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb所以原級所以原級數(shù)發(fā)散數(shù)發(fā)散. . 課堂練習(xí)課堂練習(xí)11(2)(1)ninn 2 2級級數(shù)數(shù) 是是否否收收斂斂？ 2111;nnnan 因因?yàn)闉?收收斂斂111.nnnbn 3 3 收收斂斂 所以原級所以原級數(shù)收斂數(shù)收斂. . 2021/7/2412 定理定理4.2 (Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則)復(fù)級數(shù)復(fù)級數(shù)(4.1)收斂的收斂的充要充要條件為條件為:對任對任給給

8、0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N(),當(dāng)當(dāng)nN且且p為為任何正整數(shù)時(shí)任何正整數(shù)時(shí) | n+1+ n+2+ n+p|.推論推論2 收斂級數(shù)的各項(xiàng)必是有界的收斂級數(shù)的各項(xiàng)必是有界的.推論推論1 收斂級數(shù)的通項(xiàng)必趨于零收斂級數(shù)的通項(xiàng)必趨于零:lim0nn (事實(shí)上，取事實(shí)上，取p=1,則必有則必有|an+1|0,以及給定的以及給定的zE,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(,z),使當(dāng)使當(dāng)nN時(shí)時(shí),有有|f(z)-sn(z)|0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(z),當(dāng)當(dāng)nN時(shí)時(shí),對一切的對一切的zE均有均有 |f(z)-sn(z)|0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(),使當(dāng)使當(dāng)nN時(shí)時(shí),對于對于一切一切zE,均有均有

9、 |fn+1(z)+fn+p(z)| (p=1,2,).Weierstrass優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則: 如果整數(shù)列如果整數(shù)列Mn(n=1,2,),使對一切使對一切zE,有有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正項(xiàng)而且正項(xiàng)級數(shù)級數(shù) 收斂收斂,則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在點(diǎn)集在點(diǎn)集E上上絕對收斂且一致收斂絕對收斂且一致收斂: 這樣的正向級數(shù)這樣的正向級數(shù) 稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的的優(yōu)級數(shù)優(yōu)級數(shù).1nnM 1( )nnfz 1nnM1)(nnzf2021/7/2425定理定理4.6 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 的各項(xiàng)在的各項(xiàng)在點(diǎn)集點(diǎn)集E上連續(xù)上連續(xù),并并 且且一致收斂于一致收斂于f(z),則和數(shù)則和

10、數(shù) 也在也在E上連續(xù)上連續(xù).1)(nnzf1)()(nnzfzf定理定理4.7 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 的各項(xiàng)在的各項(xiàng)在 曲線曲線C上連續(xù)上連續(xù),并并 且在且在C上上一致收斂于一致收斂于f(z),則沿則沿C可以逐項(xiàng)積分可以逐項(xiàng)積分:1)(nnzf1)()(nncdzzfdzzf定義定義4.5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)fn(z)(n=1,2,)定義于區(qū)域定義于區(qū)域D內(nèi)內(nèi),若若 級數(shù)級數(shù)(4.2)在在D內(nèi)任一有界閉集上一致收斂內(nèi)任一有界閉集上一致收斂,則稱則稱 此級數(shù)在此級數(shù)在D內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂.2021/7/2426定理定理4.8 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)(4.2)在圓在圓K:|z-a|R內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂的的充要

11、條件充要條件為為:對于任意正數(shù)對于任意正數(shù),只要只要R,級數(shù)級數(shù)(4.2)在在閉圓閉圓K:|z-a| 上一致收斂上一致收斂. 證證 必要性 因?yàn)镵,就是K 內(nèi)的有界閉集. 充分性 因?yàn)閳AK內(nèi)的任意閉集F,總可以包含在圓K內(nèi)的某個(gè)閉圓Kp上. 顯然,在區(qū)域D內(nèi)一致收斂的級數(shù)必在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂,但其逆不真.例如我們考察幾何級數(shù)231nz zzz 當(dāng)當(dāng)|z|1時(shí)時(shí),此級數(shù)收斂此級數(shù)收斂,但不一致收斂但不一致收斂.可是由例可是由例4.2知它在單位圓知它在單位圓|z|0,使閉圓使閉圓K:|z-a| 全含于全含于D內(nèi)內(nèi).若若C為圓為圓K:|z-z0|0，使閉圓，使閉圓K:|z-z0| 全含于全含于D內(nèi)內(nèi),K的邊界是圓周的邊界是圓周:|z-z0|= 故有定理故有