和倍差倍及和差問題

1、小學(xué)奧數(shù)：和倍、差倍及和差問題（適合四至六年級學(xué)生自學(xué)）第一講和倍問題和倍問題是已知大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的應(yīng)用題。為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1甲班和乙班共有圖書 160本。甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為 1倍數(shù)，則甲班圖書為 3倍數(shù)，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和是4倍數(shù)。4倍數(shù)的數(shù)量是160本，可以求出1倍數(shù)，即乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù)。用下圖表示它3傾廠八、 LGO們的關(guān)系：1解：160“ （3+1 ）= 40 （本）”

2、，”， 乙班40 3 = 120 （本）或 160-40= 120 （本）”,，”甲班答：甲班有圖書120本，乙班有圖書 40本。這道應(yīng)用題答完了，怎樣驗算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本：再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍。如果與條件相符，表明這題作對了。注意驗算決不是把原式再算一遍。驗算：120+40 = 160 （本）120 40= 3 （倍）。例2甲班有圖書120本，乙班有圖書 30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍?分析：解這題的關(guān)鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量。從已知條件中得出，不管甲班給乙班多 少本書，還是乙班從甲班得到多少本

3、書，甲、乙兩班圖書總和是不變_的量。最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總丨丨I和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍。依-倬電據(jù)例1解和倍問題的方法，先求出31f 縱乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖|書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（如上圖所示）。解：（30+120）（2+1 ） = 150亠3-=50 （本），,，乙班現(xiàn)有圖書50-30= 20 （本）答：甲班給乙班 20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗算：（120 20） （ 30+20 ）= 2 （倍） （120 20） + （ 30+20 ）= 150 （本）。例3光明小學(xué)有學(xué)生 760人，其中男生比女生的 3倍少40

4、人，男、女生各有多少人？分析：把女生人數(shù)看作 1倍數(shù)， 則男生人數(shù)加上40是3倍數(shù)，那么全校人數(shù)加上 40就是4倍數(shù)（見.$人、I1* .圖）。n I 解：（760+40） “ （ 3+1 ）= 200II（人）”,，女生200 3- 40= 560 （人）或 760- 200 = 560 （人），”，”，”，男生答：男生有560人，女生有200人。驗算：560+200 = 760 （人）（560+40） “ 200= 3 （倍）。552棵。桃樹比梨樹的 2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少 20棵，求例4果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共 桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析：把梨樹看作 1倍數(shù)，則（桃樹1

5、2）是2倍數(shù)，（蘋果樹+20） 是1倍數(shù)。那么（552 12+20 ）就 是（2+1+1 ）倍數(shù)，可以求出1倍數(shù)。（如圖）解：（552 12+20） “ （2+1+1）=560亠4= 140 （棵）”梨樹1402+12=292（棵）, 桃樹140 20= 120（棵）”，”,，”，蘋果樹答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5.549是甲、乙、丙、丁 4個數(shù)的和。如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2,丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后,則4個數(shù)相等。求4個數(shù)各是多少？分析：右圖可以看出，丙數(shù)取小。由于丙數(shù)乘以 2和丁數(shù)除以 2 相等 也就是丙數(shù)的2P倍數(shù)Ayv/1少、jI n jjI i-

6、i?1_-4 x1 1 J倍和丁數(shù)的半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍。乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙1 ji 口1i1 1的2倍。根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，LJ2再分別求出其他各數(shù)。 7%解：(549+2 2) 一：一 (2+2+1+4 )=549 9ii4 二 *(=61,丙數(shù)（1倍數(shù)）1IIi j61 2 2=120,甲數(shù)61 2+2 = 124,乙數(shù)61 4= 244,丁數(shù)答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、 61、244。驗算：120+124+61+244 = 549120+2=122124 2=12261 2 = 122244 2= 122小結(jié)：禾U用關(guān)鍵字“是”

7、和“比”設(shè)1倍數(shù)解題什么方便。一般是設(shè)“是”或“比”后面的量為1倍數(shù)。如例1中“甲班的圖書本數(shù)是乙班的 3倍”，“是”后面的量是乙班的圖書本數(shù)，因些設(shè)乙班的圖書本 數(shù)為1倍數(shù)；例2中“甲班的圖書是乙班圖書的 2倍”,設(shè)乙班圖書本數(shù)為 1倍數(shù)；例3中“男生比女生 的3倍少40人”,“比”后面的量是女生人數(shù)，因些設(shè)女生人數(shù)為1倍數(shù)；例4中“桃樹比梨樹的2倍多12棵”，設(shè)梨樹為1倍數(shù)。后面將會學(xué)到的差倍問題也是利用關(guān)鍵字“是”和“比”設(shè)1倍數(shù)。和倍問題習(xí)題1. 小明和小強共有圖書 120本，小強的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？2. 果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹

8、的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵?3. 一個長方形，周長是 30厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。4. 甲水池有水2600立方米，乙水池有水 1200立方米，如果甲水池里的水以每分鐘23立方米的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池中的水是甲水池的4倍？5. 甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶 油的2倍？6. 有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長 8米，問3條繩子各長多少米？和倍問題習(xí)題解答1. 小明的本數(shù)：120 （2+1 ）= 40 （本）。小強的本數(shù)：20 2= 80 （本）2. 杏樹：（340- 2

9、0） - （ 3+1 ）= 80 （棵）。桃樹：80 3+20= 260 （棵）。3. 寬：（30亠2） （2+1 ）= 5 （厘米）。長：5 2 = 10 （厘米）。面積：10 5= 50 （平方厘米）4. 乙兩水池共有水：2600+1200 = 3800 （立方米）。甲水池剩下的水：3800亠（4+1 ）= 760 （立方米）。甲水池流入乙水池中的水：2600 760= 1840 （立方米）。經(jīng)過的時間（分鐘）：1840-：-23= 80 （分鐘）5. 乙兩桶油總重量：470+190 = 660 （千克）。當(dāng)甲桶油是乙桶油 2倍時，乙桶油是：660 （2+1 ）= 220（千克）。由甲桶倒

10、入乙桶中的油：220 190 = 30 （千克）。6. 變化后的繩子總長：95 7+8 = 96 （米）。第二條繩子長：96 （1+1 + 1） = 32 （米）。第一條繩長：32+7 =39 （米）。第三條繩子長：32 8 = 24 （米）。第二講差倍問題前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”應(yīng)用題，這種方法使分析問題具體、形象，使我們能比較順利地解 答些類應(yīng)用題。下面我們再來研究與“和倍”問題有相似之處的“差倍”應(yīng)用題?！安畋秵栴}”就是已知兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1倍數(shù)，再畫圖確定解題方法。被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對應(yīng)，相除

11、后得到的結(jié)果是一倍數(shù)，然后求出另一個數(shù)，最后答題和驗算。例1.甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析：如右圖：把乙班的圖書本數(shù)看作1倍數(shù)，則甲班的圖書本數(shù)是3倍數(shù)，-那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍數(shù)。又知“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍數(shù)與80本相對應(yīng)，可以理解為 2倍數(shù)|是80,這樣可以算出1倍數(shù)是多少本。最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：80“（ 3 1）= 40 （本）”，”， 乙班40 3 = 120 （本）或 40+80 = 120 （本）, 甲班 答：甲班有圖書120本，乙班有圖書 40本。驗算：120 40= 80 （

12、本）120 40= 3 （倍）例2.菜站運來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運來的白菜和蘿卜各是多少千克？分析：這樣想：根據(jù)“菜站運來的白菜是蘿卜的3倍”應(yīng)把運來的蘿卜的重量-看作1倍數(shù)；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相；等”，說明運來的白菜比蘿卜多1800 300 . .=1500 （千克）。從右圖中清楚地看到這個重量相當(dāng)于蘿卜重量的3 1 = 2 （倍），這樣就可以先求出運來的蘿卜是多少千克，再求運來的白菜是多少千克。解：（1800 300） “ （3 1）= 750 （千克）”,，蘿卜 750X3=

13、 2250 （千克）,白菜答：菜站運來白菜 2250千克，蘿卜750千克。驗算：2250 1800= 450 （千克）”,，（白菜剩下部分）750 300= 450 （千克），,，（蘿卜剩下部分）例3有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時第二根長度是第一根長的3倍,兩根繩子原來各長多少米？分析：如圖所示，兩根繩子原 來的長度一樣長，但是從第一根截 去12米，第二根繩子又接上 14米 后，第二根的長度是第一根的3倍。應(yīng)該把變化后的第一根長度看作1倍數(shù)，而12+14= 26 （米），正好是 2倍數(shù)。所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長度可以求出來了，那 么第一根、第二根原有長

14、度也就可以求出來了。解：（12+14）：- （3 1）= 13 （米），”，（1倍數(shù)，即第一根截去 12米剩下的長度）13+12 = 25 （米）,（兩根繩子原來的長度）答：兩根繩子原來各長25米。自己進(jìn)行驗算，看答案是否正確。另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長。小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個數(shù)量的差與兩個數(shù)量的倍數(shù)的差的對應(yīng)關(guān)系。用除法求出1倍數(shù)，再求其它數(shù)量。解題規(guī)律：差“倍數(shù)的差=1倍數(shù)例4三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多。后來，三（1）班又買來新書 74本，三（2）本從本班原書中拿出96本送給一年級小同學(xué)，這時，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書

15、各多 少本？i它分析：如圖所示：兩個班原有圖書 一樣多。后來三（1）班又買新書74本， 即增加了 74本；三（2）班從本班原有 圖書中取出96本送給一年級同學(xué)，則圖 書減少了 96本。結(jié)果是一個班增加，另 一個班減少，這樣兩個班圖書就相差 96+74 = 170 （本），也就是三（1）班比 三（2）班多了 170本。又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班現(xiàn)有圖書的3倍，把三（2）班現(xiàn)有圖書看作 1倍數(shù)，則三（1）班現(xiàn)有圖書是3倍數(shù)，相差3 1= 2倍數(shù)，2倍數(shù)對應(yīng)170本，從而可以求得一倍數(shù)。 隨之原有圖書也可以求出來了。解：74+96 （ 3 1）=170 一2=85 （本），,，（1 倍數(shù)）8

16、5+96 = 181 （本）答：兩班原來各有圖書181本。例5兩塊同樣長的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？分析：如圖所示：已知兩塊花布同樣 長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的 少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的1多。所剩下的布第二塊比第一塊多31 19= 12 （米）。又知第二塊所剩下的布是 第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的 （4 1）倍， 這樣，第一塊所剩布的長度即可求出。解：（31 19） （ 4 1）=12 3=4（米（1倍數(shù)，即第一塊剩下的）4+31 = 35 （米）答:每塊花布原有35米。差倍問

17、題習(xí)題1. 一只大象的體重比一頭牛重4500千克，又知大象的重量是一頭牛的10倍，一只大象和一頭牛的重量各是多少千克？2. 果園里的桃樹比杏樹多 90棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？3. 有兩塊布，第一塊長 74米，第二塊長50米，兩塊布各剪去同樣長的一塊布后，剩下的第一塊 米數(shù)是第二塊的3倍，問每塊布各剪去多少米？4. 甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調(diào)30人到乙校去，這時乙校教師人數(shù)正好是甲校教師人數(shù)的 3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？5. 兩筐重量相同的蘋果，從甲筐蘋果取出7千克，乙筐加入19千克，這時乙筐是甲筐蘋果的3倍，問兩筐原有蘋果多少千克？6

18、. 甲、乙兩個數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了。如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，兩個數(shù)各是多少？7. 有兩塊同樣長的布，第一塊賣出25米，第二塊賣出14米，剩下的布第二塊是第一塊的2倍，求每塊布原有多少米？差倍問題習(xí)題解答1. 一頭牛重量是： 4500-（10 1）= 500 （千克）。一只大象重量：500 10= 5000 （千克）。2. 杏樹棵樹：90 （ 3 1）= 45 （棵）。桃樹棵數(shù)：45 3 = 135 （棵）3. 把第二塊布剩下的米數(shù)看作1倍數(shù)：（74 50） （ 3 1 ）= 12 （米）。剪去的米數(shù)：50 12 = 38 （米）4. 把甲校調(diào)走30人后的甲校人數(shù)看作

19、1倍數(shù)：（30 2） （ 3 1 ）= 30 （人）。甲、乙兩校原有教師各30+30 = 60 （人）。5. 甲筐重量：（19+7（31）= 13（千克）。乙筐重量：133=39（千克）。原有重量：13+7 = 20 （千克）6. 甲數(shù)：（320+460） - 2= 390。乙數(shù)：390+320 = 710。7. （25 14） （ 2 1） +25 = 11 1+25 = 11+25 = 36 （米）。第三講和差問題和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。為了解答這種問題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式。有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而 有些應(yīng)用題把兩個

20、數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出 3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多?！边@說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支,也說明姐姐和弟弟鉛筆相差 3支。7小學(xué)奧數(shù)：和倍、差倍及和差問題（適合四至六年級學(xué)生自學(xué)）再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟 3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多?！比绻J(rèn)為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯了。實際上姐姐比弟弟多2個3支。姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多。這里3 2=6支，就是暗差。“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”,這說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多例1.已知甲數(shù)比乙數(shù)大分析：如圖所示： 假設(shè)甲

21、數(shù)為1倍數(shù)，則（乙數(shù)+8）也是1倍數(shù)，兩 數(shù)的和98加上8就是2倍 數(shù)，從而可以求出一倍數(shù)， 即甲數(shù)。也可以假設(shè)乙數(shù)為 1倍數(shù)，貝U （甲數(shù)一8）是1 倍數(shù)，兩數(shù)的和98減去8是 2倍數(shù)，也可以求出1倍數(shù)， 即乙數(shù)。記住以下兩個公式很有用：大數(shù)=（兩數(shù)的和+兩數(shù)的差）:2小數(shù)=（兩數(shù)的和一兩 數(shù)的差）2解：（98+8 ）2 = 116 2 =3 2+1 = 7 （支）。甲數(shù)和乙數(shù)的和是98 ,求甲、乙兩個數(shù)各是多少？53,（98 8 ）- 2 = 90 “2 = 45 ,答：甲數(shù)是53,乙數(shù)是45。例2今年小強7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是 分析：如圖，題中沒有給出小強和爸爸年齡之 差，但是

22、已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年 齡差是35 7= 28 （歲）。不論過多少年，兩人的年 齡差是保持不變的。所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是 28歲。根據(jù)例1的和差公式直 接求出。解: 35 7= 28 （歲）,（58+28） - 2=86 2=43 （歲）， （58 28） 2 = 15答：當(dāng)兩人年齡和是（差）* Ji/ni- j,甲數(shù),乙數(shù)58歲時，兩人年齡各多少歲？,爸爸（把爸爸年齡看作（歲）或 58 43 = 15 （歲）,58歲時，爸爸43歲，小強151倍數(shù)）,小強歲。例3.小明期末考試時語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？分析：解和

23、差問題的關(guān)健就是求 得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績 之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語文成績之 和沒有直接告訴我們?？墒?，條件中 給出了兩科的平均成績是94分，這 就可以求得這兩科的總成績。解：942 = 188 （分）,（和）9小學(xué)奧數(shù)：和倍、差倍及和差問題（適合四至六年級學(xué)生自學(xué)）（188+8）十2 = 196+2 = 98 （分），數(shù)學(xué)（把數(shù)學(xué)成績看作1倍數(shù)）（188-8） “ 2 = 180 “2 = 90 （分）,語文（把語文成績看作1倍數(shù)） 答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學(xué)得98分。例4.甲、乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同 學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？分析：如圖所示：這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)一由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多32 2+48 = 112 （人）。112是兩校人+數(shù)差。儀II解: 322+48 = 112（人）,（差）（864 112） “ 2 = 376 （人），乙校864 376 = 488 （人），甲校答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。和差問題習(xí)題1. 果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？2. 甲、乙兩桶油共重 30千克，如果把甲桶中 6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問