極限存在準則兩個重要極限和連續(xù)復利公式PPT學習教案

1、會計學1極限存在準則兩個重要極限和連續(xù)復利極限存在準則兩個重要極限和連續(xù)復利公式公式1.夾逼準則夾逼準則準則準則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1頁/共23頁,1 ayNnn時恒有時恒有當當,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nn , ayan即即,2 azNnn時恒有時恒有當當, azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成

2、立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限第2頁/共23頁準則準則 如果當如果當)(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .準則準則 I和和準則準則 I稱為稱為夾逼準則夾逼準則.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構造出鍵是構造出利用夾逼準則求極限關利用夾逼準則求極限關nnnnzyzy注注第3頁/共23頁例例1 1).

3、12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第4頁/共23頁x1x2x3x1 nxnx2.單調有界準則單調有界準則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調增加單調增加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數(shù)列單調數(shù)列準則準則 單調有界數(shù)列必有極限單調有界數(shù)列必有極限.幾何解釋幾何解釋:AM第5頁/共23頁例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nx

4、n 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx第6頁/共23頁AC)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設單位圓設單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 圓扇形AOB的面積AOB 的面

5、積AOC的面積1.1sinlim0 xxx第7頁/共23頁,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當當 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注當20 x時，xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx第8頁/共23頁例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第9頁/共23頁定義定義ennn )11(limnnnx)11(

6、設設 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 2.nnen1lim(1)第10頁/共23頁).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,第11頁/共23頁,1時時當當 x, 1 xxx有有,)11

7、()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 第12頁/共23頁, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim第13頁/共23頁設本金為 0A，年利率為 r，則 一年末的本利和 )101rAA （二年末的本利和2012)1 ()1rAr

8、AA （k年末的本利和 k0)1 (rAAk如果一年分 n期計息，年利率仍為 r，則每期利率為 nr且前一期的本利和為后一期的本金， 于是一年末的本利和 nnrAA)101 （k年末共計復利 nk次，其本利和為 第14頁/共23頁nkknrAA)1 (0如果計息期數(shù) n，即利息隨時計入本金（連續(xù)復利），則k年末的本利和為 rknnknkeArnAnrAA0rknr0011lim)1 (lim上述兩式中： 0A稱為現(xiàn)值， kA稱為將來值（終值），已知0A求 kA，稱為復利問題， 已知 kA，求 0A稱為貼現(xiàn)問題，這時的利率稱為貼現(xiàn)率。 第15頁/共23頁例例4 4.)11(limxxx 求求解解

9、xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 第16頁/共23頁1.兩個準則兩個準則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; 單調有界準則單調有界準則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設設 第17頁/共23頁思考練習. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 選擇選擇C).(1sinlim)1( xxx xxx20lim 1 （2）（ ）.)(; 0)(;)(;)(DCBA e2

10、 e2D第18頁/共23頁._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習習 題題._arcsinlim30 xxx、第19頁/共23頁xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、第20頁/共23頁 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準則證明數(shù)列利用極限存在準則證明數(shù)列,.222,22,2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 .