平面圖形的幾何性質

1、附錄A 平面圖形的幾何性質學時2基本內(nèi)容靜矩、矩形及相互關系，慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑，慣性矩與慣性積的移軸公式和轉軸公式，主軸與形心主軸、主矩與形心主矩，組合圖形的形心、形心主軸與形心主矩的計算方法。教學目的1、 理解平面圖形幾何性質（形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等）的概念。2、 能正確計算組合圖形的形心、形心主軸、形心主慣性矩。重點和難點重點：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等概念及其計算。難點：慣性矩與慣性積的轉軸公式及主慣性矩的計算。教學方法以常見的圓形、圓環(huán)、矩形、T形、常見型鋼截面的組合圓形為主。作業(yè) 附錄A 平面圖形的幾何性質

2、A-1 引言不同受力形式下桿件的應力和變形，不僅取決于外力的大小以及桿件的尺寸，而且與桿件截面的幾何性質有關。當研究桿件的應力、變形，以及研究失效問題時，都要涉及到與截面形狀和尺寸有關的幾何量。這些幾何量包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性短、慣性積、主軸等，統(tǒng)稱為“平面圖形的幾何性質”。研究上述這些幾何性質時，完全不考慮研究對象的物理和力學因素，作為純幾何問題加以處理。A-2 靜矩、形心及相互關系任意平面幾何圖形如圖A-1所示。在其上取面積微元dA，該微元在Oxy坐標系中的坐標為x、y。定義下列積分： （A-1） 分別稱為圖形對于x軸和y軸的截面一次矩或靜矩，其單位為 。如果將dA視為

3、垂直于圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對于z軸和y軸的力矩； 和 則分別為dA對z軸和y軸之矩。圖A-1圖形的靜矩與形心圖形幾何形狀的中心稱為形心,若將面積視為垂直于圖形平面的力，則形心即為合力的作用點。設 、 為形心坐標，則根據(jù)合力之矩定理 (A-2)或 (A-3)這就是圖形形心坐標與靜矩之間的關系。根據(jù)上述定義可以看出：1.靜矩與坐標軸有關，同一平面圖形對于不同的坐標軸有不同的靜矩。對某些坐標軸靜矩為正；對另外某些坐標軸為負；對于通過形心的坐標軸，圖形對其靜矩等于零。2.如果已經(jīng)計算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形心位置，則可計算圖形的靜矩。實際計算中，對于簡單的、規(guī)

4、則的圖形，其形心位置可以直接判斷。例如矩形、正方形、圓形、正三角形等的形心位置是顯而易見的。對于組合圖形，則先將其分解為若干個簡單圖形(可以直接確定形心位置的圖形)；然后由式(A-2)分別計算它們對于給定坐標軸的靜矩，并求其代數(shù)和；再利用式(A-3),即可得組合圖形的形心坐標。即: (A-4) (A-5)A-3 慣性炬、極慣性炬、慣性積、慣性半徑圖A-1中的任意圖形，以及給定的Oxy坐標，定義下列積分： (A-6) (A-7)分別為圖形對于x軸和y軸的截面二次軸矩或慣性矩。定義積分 (A-8)為圖形對于點O的截面二次極矩或極慣性矩。定義積分 (A-9)為圖形對于通過點O的一對坐標軸x、y的慣性

5、積。定義 , 分別為圖形對于x軸和y軸的慣性半徑。根據(jù)上述定義可知：1.慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標軸位置的不同，可能為正，也可能為負。三者的單位均為 或 。2.因為 = + ，所以由上述定義不難得出= + (A-10)3.根據(jù)極慣性矩的定義式(A-8)，以及圖A-2中所示的微面積取法，不難得到圓截面對其中心的極慣性矩為(A-11) (A-12)式中,d為圓的直徑；R為半徑。類似地，還可以得圓環(huán)截面對于圓環(huán)中心的極慣性矩為 , (A-13)式中，D為圓環(huán)外徑；d為內(nèi)徑。 4.根據(jù)慣性矩的定義式(A-6)、(A-7)，注意微面積的取法(圖A-3所示)，不難求得矩形對于平行其邊界的軸

6、的慣性矩： , (A-14) 根據(jù)式(A-10)、(A-11)，注意到圓形對于通過其中心的任意兩根軸具有相同的慣性矩，便可得到圓截面對于通過其中心的任意軸的慣性矩均為 (A-15)對于外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)截面, (A-16) 應用上述積分，還可以計算其他各種簡單圖形對于給定坐標軸的慣性矩。必須指出，對于由簡單幾何圖形組合成的圖形，為避免復雜數(shù)學運算，一般都不采用積分的方法計算它們的慣性矩。而是利用簡單圖形的慣性矩計算結果以及圖形對于平行軸慣性矩之間的關系，由求和的方法求得。A-4 慣性矩與慣性積的移軸定理圖A-4中所示之任意圖形，在坐標系Oxy系中，對于x、y軸的慣性矩和慣性積為另有一坐標

7、系Ox1y1，其中x1和y1分別平行于x和y軸，且二者之間的距離為a和b。所謂移軸定理是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關系。即通過已知對一對坐標軸的慣性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標軸的慣性矩與慣性積。下面推證二者間的關系。根據(jù)平行軸的坐標變換 將其代人下列積分 ， 得展開后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定義，得 (A-17)如果x、y軸通過圖形形心，則上述各式中的 = =0。于是得 (A-18)此即關于圖形對于平行軸慣性矩與慣性積之間關系的移軸定理。其中，式(A-18)表明：1.圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的慣性矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的

8、乘積。2.圖形對于任意一對直角坐標軸的慣性積，等于圖形對于平行于該坐標軸的一對通過形心的直角坐標軸的慣性積，加上圖形面積與兩對平行軸間距離的乘積。3.因為面積及a2、b2項恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。a、b為原坐標系原點在新坐標系中的坐標，故二者同號時abA為正，異號時為負。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。A-5 慣性矩與慣性積的轉軸定理所謂轉軸定理是研究坐標軸繞原點轉動時，圖形對這些坐標軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。圖A-5所示的圖形對于x、y軸的、慣性矩和慣性積分別為 、 和 。現(xiàn)將Oxy坐標系繞坐標原點。反時針方向轉過角，得到一新的坐標系，記為Ox1

9、y1。要考察的是圖形對新坐標系的 、 、 與 、 、 之間的關系。根據(jù)轉軸時的坐標變換：于是有 將積分記號內(nèi)各項展開，得 (A-19)改寫后，得 （A-20） 上述式(A-19)和(A-20)即為轉軸時慣性矩與慣性積之間的關系。若將上述 與 相加，不難得到這表明：圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與角無關，即在軸轉動時，其和保持不變。上述式(A-19)、(A-20)，與移軸定理所得到的式(A-18)不同，它不要求x、y通過形心。當然，對于繞形心轉動的坐標系也是適用的，而且也是實際應用中最感興趣的。A-6主軸與形心主軸、主矩與形心主矩從式(A-19)的第三式可以看出，對于確定的點(坐標原點)，當坐標軸

10、旋轉時，隨著角度的改變，慣性積也發(fā)生變化，并且根據(jù)慣性積可能為正，也可能為負的特點，總可以找到一角度0以及相應的x0、y0軸，圖形對于這一對坐標軸的慣性積等于零。為確定0，令式(A-19)中的第三式為零，即 由此解得 (A-21)或 (A-22)如果將式(A-20)對求導數(shù)并令其為零，即， 同樣可以得到式(A-21)或(A-22)的結論。這表明:當改變時, 、 的數(shù)值也發(fā)生變化，而當=0時，二者分別為極大值和極小值。定義 過一點存在這樣一對坐標軸，圖形對于其慣性積等于零，這一對坐標軸便稱為過這一點的主軸。圖形對主軸的慣性矩稱為主軸慣性矩，簡稱主慣性矩。顯然，主慣性矩具有極大或極小的特征。根據(jù)式

11、(A-20)和(A-21)，即可得到主慣性矩的計算式 (A-23)需要指出的是對于任意一點(圖形內(nèi)或圖形外)都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。工程計算中有意義的是形心主軸和形心主矩。當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點的主軸。例如圖A-6所示的具有一根對稱軸的圖形，位于對稱軸y一側的部分圖形對x、y軸的慣性積與位于另一側的圖形的慣性積，二者數(shù)值相等，但反號。所以，整個圖形對于x、y軸的慣性積 =0，故圖A-6對稱軸為主軸x、y為主軸。又因為C為形心，故x、y為形心主軸。A-7組合圖形的形心、形心主軸工程計算中應用最廣泛的是組

12、合圖形的形心主慣性矩，即圖形對于通過其形心的主軸之慣性矩。為此必須首先確定圖形的形心以及形心主軸的位置。因為組合圖形都是由一些簡單的圖形(例如矩形、正方形、圓形等)所組成，所以在確定其形心、形心主軸以至形心主慣性矩的過程中，均不采用積分，而是利用簡單圖形的幾何性質以及移軸和轉軸定理。一般應按下列步驟進行。將組合圖形分解為若干簡單圖形，并應用式(A-5)確定組合圖形的形心位置。以形心為坐標原點，設Ozy坐標系x、y軸一般與簡單圖形的形心主軸平行。確定簡單圖形對自身形心軸的慣性矩，利用移軸定理(必要時用轉軸定理)確定各個簡單圖形對x、y軸的慣性矩和慣性積，相加(空洞時則減)后便得到整個圖形的 、

13、和 。應用式(A-21)和(A-22)確定形心主軸的位置，即形心主軸與x軸的夾角0。利用轉軸定理或直接應用式(A-23)計算形心主慣性矩 和 ?？梢钥闯?，確定形心主慣性矩的過程就是綜合應用本章A-2A-6全部知識的過程。常用圖形的慣性矩與抗彎截面系數(shù)(2) 空心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)(3) 實心圓截面的慣性矩及抗彎截面系數(shù)(4) 空心圓截面的慣性矩A-8 例題例題A-1 截面圖形的幾何尺寸如圖A-7所示。試求圖中具有斷面線部分的Ix、Iy。解: 根據(jù)積分定義，具有斷面線的圖形對于x、y軸的慣性矩，等于高為h、寬為b的矩形對于x、y軸的慣性矩減去高為 的矩形對于相同軸的慣性矩，即上述方法稱為

14、負面積法。用于圖形中有挖空部分的情形，計算比較簡捷。例題A-2 T形截面尺寸如圖A-8a所示。試求其形心主慣性矩。解：1.分解為簡單圖形的組合。將T形分解為如圖A-8b所示的兩個矩形I和II。2.確定形心位置首先，以矩形I的形心C1為坐標原點建立如圖A-8b所示的C1xy坐標系。因為y軸為T字形的對稱軸，故圖形的形心必位于該軸上。因此，只需要確定形心在y軸上的位置，即確定yc。根據(jù)式(A-5)的第二式，形心C的坐標。 3.確定形心主軸因為對稱軸及與其垂直的軸即為通過二者交點的主軸，所以以形心C為坐標原點建立如圖A-12c所示的Cx0y0坐標系，其中y0通過原點且與對稱軸重合，則x0、y0即為形心主軸。4.采用疊加法及移軸定理計算形心主慣性矩 和 根據(jù)慣性矩的積分定義，有 例題A-3 圖A-9a所示為一薄壁圓環(huán)截面，D0為其平均直徑，為厚度，若、D0均為已知，試求薄壁圓環(huán)截面對其直徑軸的慣性矩。 解：求圓環(huán)截面對其直徑軸的慣性矩可采用負面積法，即 其中, 。對于 的薄壁圓環(huán)截面，為了使公式簡化，可采用近似方法計算。 取積分微元dA如圖