第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(3)

1、第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 作定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積等作定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積等 于作用在剛體上的合外力矩。于作用在剛體上的合外力矩。 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律MJ 2 1 22 21 11 d 22 AMJJ 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體剛體 轉(zhuǎn)動動能的增量。轉(zhuǎn)動動能的增量。 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 機械能守恒定律機械能守恒定律 系統(tǒng)系統(tǒng)- 剛體剛體 + 地球地球 EmghJ c 1 2 2 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 例例 一質(zhì)量為一

2、質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為 R 的圓盤，可繞一垂直的圓盤，可繞一垂直 通過盤心的無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動通過盤心的無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動 . . 圓盤上繞有圓盤上繞有 輕繩，一端掛質(zhì)量為輕繩，一端掛質(zhì)量為m 的物體的物體. . 問物體在靜止下問物體在靜止下 落高度落高度 h 時，其速度的大小為多少時，其速度的大小為多少? ? 設繩的質(zhì)設繩的質(zhì) 量忽略不計量忽略不計 . . o R h M m m 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 分析：分析：繩子拉力是內(nèi)力，作功之和為零，系統(tǒng)機械繩子拉力是內(nèi)力，作功之和為零，系統(tǒng)機械 能守恒。能守恒。 o T F N F P T F P m 設下落設下落h h時系統(tǒng)

3、重力勢能為零時系統(tǒng)重力勢能為零 下落前下落前 1 Emgh 下落后下落后 22 2 2 1 2 1 0JmvE 22 2 1 2 1 Jmvmgh ), 2 1 ( 2 RvMRJ 2mM mgh 2v 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 自由度自由度: :決定一個物體在空間位置所需的 決定一個物體在空間位置所需的獨立坐標獨立坐標的數(shù)目。的數(shù)目。 4-5 4-5 剛體的自由度剛體的自由度 1 1、質(zhì)點：、質(zhì)點： 注意：當物體運動受到一定限制或約束時，自由度減少。注意：當物體運動受到一定限制或約束時，自由度減少。 x y z0 zyxP,空間：位置（空間：位置（x,y,zx,y,z）自由度是）自

4、由度是3 3 3 3個個平動平動自由度自由度 平面：平面： 位置（位置（x,yx,y）自由度是）自由度是2 2 直線：直線： 位置（位置（x x）自由度是）自由度是1 1 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 X Y Z A B C （1 1）質(zhì)心位置（）質(zhì)心位置（x,y,zx,y,z） 2 2、剛體、剛體 （2 2）轉(zhuǎn)軸方位）轉(zhuǎn)軸方位( , , ) （3 3）轉(zhuǎn)過角度）轉(zhuǎn)過角度 ( ) 自由運動剛體的自由度是自由運動剛體的自由度是6 6 3 3個平動自由度；個平動自由度； 3個轉(zhuǎn)動自由度。個轉(zhuǎn)動自由度。 平動平動 + 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 力的時間累積效應力的時間累積效

5、應 沖量、動量、動量定理沖量、動量、動量定理. . 回顧：回顧： t L M d d LM ,0 恒矢量恒矢量 質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒 4-6 4-6 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 和角動量守恒定律和角動量守恒定律 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 一、一、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 12 2 1 dJJtM t t d d MJ t 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理:作用在剛體上的沖量矩作用在剛體上的沖量矩 等于剛體角動量的增量。等于剛體角動量的增量。 剛體對定軸的角動量剛體對定軸的角動量 JL 剛

6、體對定軸的轉(zhuǎn)動定律剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律 MJ d() d J t 非剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理非剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 1122 2 1 dJJtM t t d d L t 轉(zhuǎn)動定律的轉(zhuǎn)動定律的微分形式微分形式 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律角動量守恒定律是自然界的一個基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量. 守守 恒條件恒條件0M 若若 不變，不變， 不變；若不變；若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變. JJLJ 二二 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 0 M常量JL，則，則若若 討論討論 exin

7、MM 在在沖擊沖擊等問題中等問題中 L 常量常量 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 有許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明有許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明. 茹可夫斯茹可夫斯 基轉(zhuǎn)椅基轉(zhuǎn)椅 花樣滑冰花樣滑冰 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 L A B A B C C 常平架上的回轉(zhuǎn)儀常平架上的回轉(zhuǎn)儀 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照 質(zhì)點的直線運動質(zhì)點的直線運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 t

8、 x v d d 2 2 d d d d t x t v a td d 2 2 dd ddtt mvP 2 2 1 mvEKJL 2 2 1 JEK F mMJ xFAddtF dddMA tM d maF MJ 0 dPPtF 0 dLLtM 2 0 2 2 1 2 1 dmvmvxF 2 0 2 2 1 2 1 dJJM 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 例例1 質(zhì)點與質(zhì)量均勻的細棒相撞質(zhì)點與質(zhì)量均勻的細棒相撞(如圖如圖) 解：解：過程過程1 質(zhì)點與細棒相碰撞質(zhì)點與細棒相碰撞 碰撞過程中系統(tǒng)對碰撞過程中系統(tǒng)對o 點點 的合力矩為的合力矩為0M o lM m 0 設，完全非彈性碰撞設，完全

9、非彈性碰撞 求：棒擺的最大角度求：棒擺的最大角度 所以，系統(tǒng)對所以，系統(tǒng)對o點的角動量守恒。點的角動量守恒。 即，即， 1 3 1 22 0 mlMllm 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 222 1 1 2 3 1cos1cos2 2 Mlml l Mgmgl o lM m 0 過程過程2 質(zhì)點、細棒上擺質(zhì)點、細棒上擺 系統(tǒng)包括地球，機械能守恒。系統(tǒng)包括地球，機械能守恒。 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 v o v o o m p T R 圓圓 錐錐 擺擺 子子 彈彈 擊擊 入入 桿桿 o v 以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng) 機械能機械能不不守恒守恒 . 角動量守恒；角動量守恒； 動

10、量動量不不守恒；守恒； 以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng) 動量守恒；動量守恒； 角動量守恒；角動量守恒； 機械能機械能不不守恒守恒 . 圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng) 動量動量不不守恒；守恒； 角動量守恒；角動量守恒； 機械能守恒機械能守恒 . 討討 論論 子子 彈彈 擊擊 入入 沙沙 袋袋 細細 繩繩 質(zhì)質(zhì) 量量 不不 計計 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 長為長為 2l 的均勻細棒，開始時細棒在水的均勻細棒，開始時細棒在水 平位置，一質(zhì)量為平位置，一質(zhì)量為 m/ 的小球，以速度的小球，以速度 u 垂直落到棒垂直落到棒 的端點。設小球與棒作完全彈性碰撞，求碰撞后，小

11、的端點。設小球與棒作完全彈性碰撞，求碰撞后，小 球的回彈速度球的回彈速度u/及棒的角速度及棒的角速度 ？ l 2 u / u 解：以小球、細棒為一系統(tǒng)，解：以小球、細棒為一系統(tǒng)， 其對水平軸的角動量和機械能其對水平軸的角動量和機械能 守恒。守恒。 / u 2 2 2 /2/ 2 12 1 2 1 2 1 2 1 lmumum / 2 / 2 12 1 ulmlmuml 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 解得：解得： / / 3 3 mm mmu u lmm um / / 3 6 2 2 2 /2/ 2 12 1 2 1 2 1 2 1 lmumum / 2 / 2 12 1 ulmlmuml

12、 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 例例 A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為 ： A=50=50rad. .s-1 -1, , B=200=200rad. .s-1 -1。已知 。已知A A 圓盤半徑圓盤半徑 R RA A=0.2m, =0.2m, 質(zhì)量質(zhì)量m mA A=2kg, =2kg, B B 圓盤的半徑圓盤的半徑R RB B=0.1m, =0.1m, 質(zhì)量質(zhì)量 m mB B=4kg. =4kg. 試求兩圓盤對心銜接后的角速度試求兩圓盤對心銜接后的角速度 . . A B A B 解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接