傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式(圖)

1、傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式（圖）上一回說到，利用傅立葉級數(shù)（Fourier Series，簡稱FS）這個數(shù)學(xué)法寶，可以將一般的周期信號分解為直流成分、基波和無窮多個高次諧波成分的疊加，從而方便地確定其頻譜。但上述的傅立葉級數(shù)表達(dá)式只是傅立葉級數(shù)的三角形式，在實用中還有傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式，本文介紹。一、傅立葉級數(shù)的三角形式對于一個周期為T的周期函數(shù)fT（t），在一定條件下可以在連續(xù)點t處展開為傅立葉級數(shù)的三角形式，即：（1）其中1=2/T為周期函數(shù)的圓頻率，也就是信號的基頻；傅立葉系數(shù)分別為（2）（3）（4）在信號分析理論中a0叫做直流分量，an叫做余弦分量系數(shù)，bn叫做正弦分量系數(shù)。二、傅立葉級數(shù)

2、的指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式有（5）其中j為虛數(shù)單位，即（6）不難從傅立葉級數(shù)的三角形式導(dǎo)出傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式：（7）其中傅立葉系數(shù)一般為復(fù)數(shù)（8）三、傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式與三角形式的關(guān)系根據(jù)歐拉公式由式（7）有（9）不難看出傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式與三角形式可以描述同一個周期信號，只是數(shù)學(xué)形式不同而已。其中兩種形式的傅立葉系數(shù)關(guān)系如下：（10）或（11）可以看出傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式中的傅立葉系數(shù)不再是實數(shù)，而是復(fù)數(shù)。四、周期信號的頻譜分析從傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式也可以進(jìn)行頻譜分析。由式（9）得（12）可知，周期函數(shù)fT（t）包含的直流分量為（13）基波分量的振幅為（14）基波初相位為（15）各高次諧波

3、分量的振幅為（16）各高次諧波分量的初相位為（17）這樣，周期信號fT（t）的振幅頻譜函數(shù)可表示為（18）五、為什么需要傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式？實際上，如果考慮信號的雙邊頻譜，用傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式更方便。在雙邊頻域（，）內(nèi)，周期信號的頻譜函數(shù)就是傅立葉系數(shù)，即（19）傅立葉系數(shù)一般為復(fù)數(shù)，可寫成（20）其模就是雙邊的振幅頻譜（21）其幅角n就是雙邊頻率各次諧波成分的初相位，其中n為整數(shù)。再看看傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式可寫成（22）其數(shù)學(xué)含義就是說，一般周期信號可以分解為無窮多個離散頻率分量的疊加，各分量的頻率是基頻的整數(shù)倍，振幅是傅立葉系數(shù)Cn的復(fù)模，初相位是傅立葉系數(shù)Cn的幅角。注意：當(dāng)n=0時

4、傅立葉系數(shù)C0為大于或等于0的實數(shù)，其代表的成分就是周期信號的直流分量；當(dāng)n=1時所代表的雙邊頻率成分就是周期信號的基波分量；而其余各對雙邊頻率成分就是周期信號的各個高次諧波分量。可見采用指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)，分析周期信號的頻譜更為直截了當(dāng)。六、周期矩形脈沖信號的頻譜分析例如：前面講過的周期矩形脈沖信號，波形如下圖：圖1 周期矩形脈沖的時域波形可根據(jù)傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式，直接求其雙邊頻譜函數(shù)為（23）其中（24）稱之為抽樣函數(shù)或Sa（x）函數(shù)，是信號分析技術(shù)中非常有用的函數(shù)，其圖象如下：圖2 抽樣函數(shù)的圖象由上可知，周期矩形脈沖信號的雙邊頻譜函數(shù)的模為（25）其雙邊振幅頻譜如下圖所示：圖3 周期矩形脈沖函數(shù)的雙邊振幅頻譜頻譜函數(shù)的幅角，即各次諧波分量的初相位為（26）相位頻譜如下圖：圖4 周期矩形脈沖信號的相位頻譜可以看出，對于一個以T為周期的周期矩形脈沖信號fT（t），可以利用傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式方便地分析出其離散頻譜。基頻1越低（即周期T越長），或脈沖寬度越小，其頻譜