考點測試16　導數的應用(二)

1、金版教程一輪首選用卷 文數考點測試16導數的應用(二)高考概覽本考點是高考必考知識點，常考題型為選擇題、填空題、解答題，分值5分、12分，中、高等難度考綱研讀1.了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間(其中多項式函數不超過三次)2了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數不超過三次)3會用導數解決實際問題一、基礎小題1函數f(x)xln x的單調遞增區(qū)間為()A(，0) B(0,1)C(1，) D(，0)(1，)答案C解析函數的定義域為(0，)f(

2、x)1，令f(x)0，得x1.故選C.2已知奇函數f(x)是函數f(x)(xR)的導函數，若x0時，f(x)0，則()Af(0)f(log32)f(log23)Bf(log32)f(0)f(log23)Cf(log23)f(log32)f(0)Df(log23)f(0)f(log32)答案C解析因為f(x)是奇函數，所以f(x)是偶函數所以f(log23)f(log23)，而log23log221,0log321，所以0log320時，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函數，所以f(log23)f(log32)f(0)，所以f(log23)f(log32)f(0)3若曲線f(x)，g(x

3、)x在點P(1,1)處的切線分別為l1，l2，且l1l2，則實數的值為()A2 B2 C D答案A解析f(x)，g(x)x1，所以曲線f(x)，g(x)在點P處的切線斜率分別為k1，k2，因為l1l2，所以k1k21，所以2，選A.4函數y的圖象大致為()答案C解析因為y，所以y，令y0，則x0，令y0，令y0，則x0，所以函數y在(，0)上為增函數，在(0，)上為減函數，且x0是函數的極大值點，結合4個函數的圖象，故選C.5若函數f(x)2x2ln x在其定義域內的一個子區(qū)間(k1，k1)內不是單調函數，則實數k的取值范圍是()A1，) BC1,2) D答案B解析因為f(x)的定義域為(0，

4、)，f(x)4x，由f(x)0，得x.據題意得解得1k.故選B.6已知定義在(0，)上的函數f(x)，滿足f(x)f(2) Be2f(1)f(2)C9f(ln 2)4f(ln 3) D9f(ln 2)4f(ln 3)答案A解析令h(x)，則h(x)h(2)，即，所以e2f(1)f(2)，ln 2h(ln 3)，即，所以9f(ln 2)4f(ln 3)故選A.7已知函數f(x)ax3bx2cx17(a，b，cR)的導函數為f(x)，f(x)0的解集為x|2x3，若f(x)的極小值等于98，則a的值是()A B C2 D5答案C解析由題意，f(x)3ax22bxc，因為f(x)0的解集為x|2x3

5、，所以a0，且23，23，則3a2b，c18a，又f(x)的極小值為f(3)27a9b3c1798，解得a2，b3，c36，故選C.8已知函數f(x)的導函數為f(x)5cosx，x(1,1)，且f(0)0，如果f(1x)f(1x2)0，則實數x的取值范圍為_答案(1，)解析導函數f(x)是偶函數，且f(0)0，原函數f(x)是奇函數，且定義域為(1,1)，又導函數值恒大于0，原函數在定義域上單調遞增，所求不等式變形為f(1x)f(x21)，11xx211，解得1x0恒成立，當a1時，f(x)minf(a)2aa20，0a1時，f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立設g(x)，則g(x).令

6、g(x)0，得xe，且當1xe時，g(x)e時，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.綜上，a的取值范圍是0ae，即0，e故選C.10(2017山東高考)若函數exf(x)(e2.71828是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質下列函數中具有M性質的是()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cosx答案A解析當f(x)2x時，exf(x)x.1，當f(x)2x時，exf(x)在f(x)的定義域上單調遞增，故函數f(x)具有M性質易知B，C，D不具有M性質，故選A.11(2015全國卷)設函數f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若

7、存在唯一的整數x0使得f(x0)0，則a的取值范圍是()A. BC. D答案D解析由f(x0)0，即ex0(2x01)a(x01)0，得a(x01)當x01時，得e1，則a .令g(x)，則g(x).當x時，g(x)0，g(x)為增函數，要滿足題意，則x02，此時需滿足g(2)ag(3)，得3e2ae3，與a1矛盾，所以x01.因為x01，所以a0，g(x)為增函數，當x(0,1)時，g(x)0，g(x)為減函數，要滿足題意，則x00，此時需滿足g(1)ag(0)，得a1(滿足a2；a0，b2；a1，b2.答案解析設f(x)x3axb.當a3，b3時，f(x)x33x3，f(x)3x23，令f

8、(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x2時，f(x)x33xb，易知f(x)的極大值為f(1)2b0，極小值為f(1)b20，x時，f(x)，故方程f(x)0有且僅有一個實根，故正確當a0，b2時，f(x)x32，顯然方程f(x)0有且僅有一個實根，故正確當a1，b2時，f(x)x3x2，f(x)3x210，則f(x)在(，)上為增函數，易知f(x)的值域為R，故f(x)0有且僅有一個實根，故正確綜上，正確條件的編號有.三、模擬小題14(2019河南豫南九校聯考)設定義在(0，)上的函數f(x)的導函數f(x)滿足xf(x)1，則()Af(2)f(1)ln 2 Bf(2)f(1)1 Df

9、(2)f(1)1f(x)(ln x)，即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x，則F(x)在(0，)上單調遞增，故f(2)ln 2f(1)ln 1，即f(2)f(1)ln 2.15(2019安陽模擬)已知函數f(x)與g(x)6xa的圖象有3個不同的交點，則a的取值范圍是()A. BC. D答案B解析原問題等價于函數h(x)6x的圖象與直線ya有三個不同的交點h(x)x2x6(x2)(x3)，當x(，3)時，h(x)0，h(x)單調遞增；當x(3,2)時，h(x)0，h(x)單調遞增函數h(x)的圖象如圖所示又h(3)，h(2)，數形結合可得a的取值范圍是.故選B.16(2019沈

10、陽質量監(jiān)測(三)已知函數f(x)aln x2x，若不等式f(x1)ax2ex在x(0，)上恒成立，則實數a的取值范圍是()Aa2 Ba2 Ca0 D0a2答案A解析由函數f(x)aln x2x，得f(ex)aln ex2exax2ex.f(x1)ax2ex，即f(x1)f(ex)，因為x0時，1x11時，f(x)20恒成立，即a2x在(1，)上恒成立，所以a2，故選A.17(2019徐州模擬)已知函數f(x)，g(x)，若函數yfg(x)a有三個不同的零點x1，x2，x3(其中x1x20)，所以函數g(x)在(e，)上單調遞減，在(0，e)上單調遞增，所以g(x)maxg(e)，作出函數g(x

11、)的大致圖象如圖2所示f.因為fg(x)a0有三個不同的零點，所以yfg(x)的圖象與直線ya有三個不同的交點，所以a，即a.令g(x)t，則問題等價于方程a0，即t2(a1)t1a0有兩個解t1，t2，不妨設t10；當x時，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(2)由題設知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一個零點，設為x0，且當x(0，x0)時，f(x)0；當x(x0，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調遞增，在(x0，)上單調遞減又f(0)0，f()0，所以當x0，時，f(x)0.又當a0

12、，x0，時，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，02(2019天津高考)設函數f(x)ln xa(x1)ex，其中aR.(1)若a0，討論f(x)的單調性；(2)若0ax0，證明3x0x12.解(1)由已知，f(x)的定義域為(0，)，且f(x)aexa(x1)ex.因此當a0時，1ax2ex0，從而f(x)0，所以f(x)在(0，)內單調遞增(2)證明：由(1)知，f(x).令g(x)1ax2ex，由0a0，且g1a2120，故g(x)0在(0，)內有唯一解，從而f(x)0在(0，)內有唯一解，不妨設為x0，則1x00，所以f(x)在(0，x0)內單調遞增；當x(x0，)時，f(

13、x)1時，h(x)11時，h(x)h(1)0，所以ln xx1，從而fln aeln ln ln 1hf(1)0，所以f(x)在(x0，)內有唯一零點又f(x)在(0，x0)內有唯一零點1，從而，f(x)在(0，)內恰有兩個零點由題意，即從而ln x1ex1x0，即ex1x0.因為當x1時，ln xx01，故ex1x0x，兩邊取對數，得ln ex1x0ln x，于是x1x02ln x02.3(2019江蘇高考)設函數f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)為f(x)的導函數(1)若abc，f(4)8，求a的值；(2)若ab，bc，且f(x)和f(x)的零點均在集合3,1,3中，

14、求f(x)的極小值；(3)若a0,0b1，c1，且f(x)的極大值為M，求證：M.解(1)因為abc，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3.因為f(4)8，所以(4a)38，解得a2.(2)因為bc，所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，從而f(x)3(xb).令f(x)0，得xb或x.因為a，b，都在集合3,1,3中，且ab，所以1，a3，b3.此時，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1)令f(x)0，得x3或x1.列表如下：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的極小值為f(1)(13)(13)

15、232.(3)證明：因為a0，c1，所以f(x)x(xb)(x1)x3(b1)x2bx，f(x)3x22(b1)xb.因為0b1，所以4(b1)212b(2b1)230，則f(x)有2個不同的零點，設為x1，x2(x1x2)由f(x)0，得x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的極大值Mf(x1)證法一：Mf(x1)x(b1)xbx13x2(b1)x1bx1()3()3.因此M.證法二：因為0b1，所以x1(0,1)當x(0,1)時，f(x)x(xb)(x1)x(x1)2.令g(x)x(x1)2，x(0,1)，則g(x)3

16、(x1)令g(x)0，得x.列表如下：xg(x)0g(x)極大值所以當x時，g(x)取得極大值，且是最大值，故g(x)maxg.所以當x(0,1)時，f(x)g(x).因此M.二、模擬大題4(2019吉林省長春市高三第二次模擬)已知函數f(x)exbx1(bR)(1)討論f(x)的單調性；(2)若方程f(x)ln x有兩個實數根，求實數b的取值范圍解(1)由題可得，f(x)exb，當b0時，f(x)0，f(x)在(，)上單調遞增；當b0時，若xln (b)，則f(x)0，f(x)在ln (b)，)上單調遞增；若xln (b)，則f(x)0，f(x)在(，ln (b)上單調遞減(2)令g(x)e

17、xbx1ln x，則g(x)exb，易知g(x)單調遞增且一定有大于0的零點，不妨設為x0，g(x0)0，即ex0b0，bex0，故若g(x)有兩個零點，需滿足g(x0)0，即ex0bx01ln x0ex0x01ln x0ex0ex0x0ln x00.令h(x)exexxln x，h(x)exx0，所以h(x)在(0，)上單調遞減，由h(1)0，得ex0ex0x0ln x00的解集為(1，)，由bex0，得b1e.當b1e時，exbx1ln xxbxln x，有g(eb)ebbebln eb(b1)ebb，令(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，由于x1e，所以x12e0，ex1，故(x)(x1)exx0，所以g(eb)0，故g(eb)g(x0)0，g(x)在(0，x0)上有唯一零點，另一方面，在(x0，)上，當x時，由ex增長速度大，所以有g(x)0，即g(x)在(x0，)上有唯一零點故當bx1.解(1)f